Tomasz Mrowka: Il topologo che ha domato quattro dimensioni

Tomasz Mrowka ha trascorso gran parte della sua carriera dimostrando proprietà dello spazio quadridimensionale che nessun altro riusciva ad affrontare, utilizzando equazioni prese in prestito dalla fisica delle particelle per risolvere questioni secolari di topologia pura. Il suo risultato più citato, elaborato con un collaboratore di una vita, ha risolto una congettura che i matematici avevano smesso di tentare di dimostrare, riuscendovi in poche dense pagine di analisi.

Un'eredità matematica

Mrowka è nato l'8 settembre 1961, figlio del matematico polacco-americano Stanisław Mrówka, specialista in topologia generale emigrato negli Stati Uniti e docente alla City University of New York. Il percorso del figlio è passato per il MIT per gli studi universitari, dove ha conseguito la laurea nel 1983, e poi per l'Università della California, Berkeley, dove ha completato il dottorato nel 1988 sotto la supervisione di Clifford Taubes e Robion Kirby con una tesi sugli spazi dei moduli di Yang-Mills. La scelta del relatore è stata cruciale: Taubes era al centro di una rivoluzione che stava trasformando la topologia di bassa dimensione, importando i meccanismi della fisica teorica — la teoria di gauge, la matematica sviluppata per descrivere le forze che legano i nuclei atomici — nello studio delle forme astratte.

La teoria di gauge come strumento del topologo

L'intuizione alla base di quella rivoluzione, associata soprattutto a Simon Donaldson, era che le soluzioni alle equazioni di campo dei fisici, se studiate su una varietà quadridimensionale, codificano informazioni sottili sulla forma della varietà che nessuna tecnica topologica classica poteva vedere. Mrowka è diventato uno dei più abili utilizzatori di questo apparato. All'inizio della sua carriera è passato per Stanford, una posizione di visiting professor al Caltech e poi una cattedra lì dal 1992 al 1996, prima di unirsi alla facoltà di matematica del MIT nel 1996, dove è rimasto per il resto della sua carriera — ricoprendo la cattedra Simons dal 2007 al 2010, la cattedra Singer dal 2010 in poi e dirigendo il dipartimento dal 2014 al 2017.

Il sodalizio con Kronheimer

La relazione scientifica determinante di Mrowka è stata la sua collaborazione pluridecennale con il matematico anglo-americano Peter Kronheimer, conosciuto come compagno di dottorato nel circolo Yang-Mills degli anni '80. Insieme hanno prodotto un corpo di lavoro così sostanzioso che l'American Mathematical Society lo ha premiato due volte come risultato congiunto anziché accreditare uno solo dei due. Il loro primo grande risultato ha introdotto quelle che il campo chiama oggi le classi di base di Kronheimer-Mrowka, invarianti che estraggono informazioni topologiche su una quadrivarietà dalla struttura dei suoi spazi dei moduli di istantoni, raffinando gli invarianti originali di Donaldson in una forma più precisa e calcolabile.

Risolvere la congettura di Thom

Il loro successo individuale più celebre è arrivato all'inizio degli anni '90, dopo che la scoperta delle equazioni di Seiberg-Witten ha offerto ai teorici di gauge un'alternativa tecnicamente più semplice al vecchio approccio di Yang-Mills. Kronheimer e Mrowka hanno usato le nuove equazioni per dimostrare la congettura di Thom, un'affermazione aperta dagli anni '50 sul genere minimo di una superficie che rappresenta una data classe di omologia nel piano proiettivo complesso. La dimostrazione è stata una delle prime e più drammatiche dimostrazioni che la teoria di Seiberg-Witten poteva risolvere problemi che la generazione precedente di teorici di gauge considerava intrattabili, e ha contribuito a innescare la migrazione di massa del campo verso le nuove equazioni.

Nodi, monopoli e proprietà P

Il lavoro successivo di Mrowka ha applicato lo stesso kit di strumenti alla teoria dei nodi. Con Kronheimer ha utilizzato l'omologia di Floer dei monopoli di Seiberg-Witten per dimostrare la congettura della proprietà P, una questione di lunga data su quali chirurgie su un complemento di nodo possono produrre la tre-sfera — un risultato con un impatto diretto sulla topologia delle tre-varietà in senso più ampio. La coppia ha poi dimostrato che l'omologia di Khovanov, un invariante combinatorio dei nodi senza un'origine geometrica ovvia, è abbastanza potente da rilevare il nodo banale, collegando due rami della materia — l'omologia di Floer della teoria di gauge e la costruzione algebrica di Mikhail Khovanov — che si erano sviluppati quasi indipendentemente. La loro monografia sui monopoli e le tre-varietà, pubblicata nel 2007, rimane un riferimento standard nel campo.

Riconoscimenti

Il giudizio della comunità matematica su questo corpo di lavoro è stato insolitamente coerente. Mrowka e Kronheimer hanno condiviso il premio Oswald Veblen in geometria nel 2007, il premio Joseph L. Doob dell'AMS nel 2011 e — il segnale più chiaro che i pari di un matematico possono inviare — il premio Leroy P. Steele per un contributo fondamentale alla ricerca nel 2023, assegnato specificamente per gli articoli che hanno introdotto le classi di base di Kronheimer-Mrowka e le hanno applicate alla congettura di Thom. Mrowka è stato eletto indipendentemente all'American Academy of Arts and Sciences nel 2007 e alla National Academy of Sciences nel 2015, e ha tenuto conferenze plenarie al Congresso Internazionale dei Matematici nel 1994 e di nuovo nel 2018 a Rio de Janeiro. Ha anche ricevuto borse di studio Sloan e Guggenheim e ha fatto da mentore a decine di dottorandi e post-dottorandi al MIT.

Perché Tomasz è chiamato genio

Il caso di Mrowka si basa su un tipo specifico e ben documentato di maestria tecnica: la capacità di prendere equazioni dalla fisica teorica e spingerle, attraverso un'analisi estremamente delicata di equazioni differenziali parziali non lineari, a rispondere a domande di topologia pura rimaste irrisolte per decenni. La congettura di Thom aveva resistito all'attacco diretto dagli anni '50; la congettura della proprietà P apparteneva a una famiglia altrettanto antica e ostinata di problemi sulle tre-varietà. Entrambe sono cadute non davanti a una nuova idea sui nodi o sulle superfici in quanto tali, ma davanti alla padronanza di Mrowka e Kronheimer dell'analisi degli spazi dei moduli — lo strato tecnico più difficile della teoria di gauge, dove la maggior parte dei matematici che comprendevano la fisica non riusciva ancora a far funzionare le stime. La sua elezione alla National Academy of Sciences e la citazione del premio Steele riflettono un autentico consenso tra i topologi sul fatto che questo sia stato un lavoro singolare. La complicazione onesta è che quasi nulla di tutto ciò è in solitaria: ogni risultato storico discusso qui è congiunto con Peter Kronheimer, e i premi Veblen, Doob e Steele sono stati tutti assegnati alla coppia, il che rende il genio di Mrowka, secondo le prove, inseparabile da un sodalizio piuttosto che da un dono solitario.

Eredità

Le classi di base di Mrowka e i suoi argomenti di Seiberg-Witten con Kronheimer sono ora strumenti standard insegnati a ogni studente laureato che entra nella topologia di bassa dimensione, e il suo mandato alla guida del dipartimento di matematica del MIT ha lasciato un segno istituzionale accanto a quello matematico. Le dimostrazioni di Thom e della proprietà P rimangono, quattro decenni dopo che Taubes e Donaldson hanno aperto il campo, tra le dimostrazioni più chiare di ciò che la teoria di gauge può fare per la topologia.