Eudoxus of Cnidus

Volentieri brucierei come Fetonte, se questo fosse il prezzo per raggiungere il sole e conoscerne la forma, le dimensioni e la sostanza.

Eudosso di Cnido era un antico astronomo, matematico, studioso greco e allievo di Archita e Platone. Tutte le sue opere sono andate perdute, sebbene alcuni frammenti siano conservati nel commento di Ipparco al poema sull'astronomia di Arato. Sferica di Teodosio di Bitinia potrebbe basarsi su un'opera di Eudosso.

Vita

Eudosso nacque e morì a Cnido, anche scritto Knidos, una città sulla costa sudoccidentale della Turchia moderna. Gli anni di nascita e morte di Eudosso non sono completamente noti, ma l'intervallo potrebbe essere stato c. 408 – c. 355 BC, oppure c. 390 – c. 337 BC. Il suo nome Eudosso significa "onorato" o "di buona reputazione" εὔδοξος, da eu "buono" e doxa "opinione, credenza, fama". È analogo al nome latino Benedictus.

Il padre di Eudosso, Eschine di Cnido, amava osservare le stelle di notte. Eudosso viaggiò prima a Taranto per studiare con Archita, da cui imparò la matematica. Mentre era in Italia, Eudosso visitò la Sicilia, dove studiò medicina con Filistione.

All'età di 23 anni, viaggiò con il medico Teomede—che secondo Diogene Laerzio alcuni credevano fosse il suo amante—ad Atene per studiare con i seguaci di Socrate. Alla fine frequentò le lezioni di Platone e di altri filosofi per diversi mesi, ma a causa di un disaccordo ebbero una rottura. Eudosso era piuttosto povero e poteva permettersi solo un appartamento al Pireo. Per partecipare alle lezioni di Platone, camminava 7 miglia 11 km in ogni direzione ogni giorno. A causa della sua povertà, i suoi amici raccolsero fondi sufficienti per mandarlo a Eliopoli, Egitto, per proseguire lo studio dell'astronomia e della matematica. Visse lì per 16 mesi. Dall'Egitto, viaggiò quindi verso nord a Cizico, situata sulla riva meridionale del Mare di Marmara, il Ponto. Viaggiò verso sud alla corte di Mausolo. Durante i suoi viaggi raccolse molti studenti propri.

Intorno al 368 BC, Eudosso tornò ad Atene con i suoi studenti. Secondo alcune fonti, intorno al 367 assunse la direzione dell'Accademia durante il periodo di Platone a Siracusa, e insegnò ad Aristotele. Alla fine tornò nella sua nativa Cnido, dove servì nell'assemblea della città. Mentre era a Cnido, costruì un osservatorio e continuò a scrivere e a tenere lezioni su teologia, astronomia e meteorologia. Aveva un figlio, Aristagora, e tre figlie, Attide, Filtide e Delfide.

Nell'astronomia matematica, la sua fama è dovuta all'introduzione delle sfere concentriche e ai suoi primi contributi alla comprensione del movimento dei pianeti.

Il suo lavoro sulle proporzioni mostra intuizione sui numeri reali; consente un trattamento rigoroso delle quantità continue e non solo dei numeri interi o persino dei numeri razionali. Quando fu ripreso da Tartaglia e altri nel XVI secolo, divenne la base per il lavoro quantitativo in scienza per un secolo, fino a quando non fu sostituito da Richard Dedekind.

Crateri su Marte e sulla Luna sono nominati in suo onore. Una curva algebrica la Campile di Eudosso è anche nominata in suo nome.

Matematica

Eudosso è considerato da alcuni il più grande dei matematici greci classici, e in tutta l'Antichità secondo solo ad Archimede. Eudosso era probabilmente la fonte per la maggior parte del libro V degli Elementi di Euclide. Sviluppò rigorosamente il metodo di esaustione di Antifone, un precursore del calcolo integrale che fu usato anche magistralmente da Archimede nel secolo successivo. Nell'applicare il metodo, Eudosso provò affermazioni matematiche come: le aree dei cerchi stanno le une alle altre come i quadrati dei loro raggi, i volumi delle sfere stanno gli uni agli altri come i cubi dei loro raggi, il volume di una piramide è un terzo del volume di un prisma con la stessa base e altitudine, e il volume di un cono è un terzo di quello del cilindro corrispondente.

Eudosso introdusse l'idea di grandezza matematica non quantificata per descrivere e operare con entità geometriche continue come linee, angoli, aree e volumi, evitando così l'uso di numeri irrazionali. Nel farlo, invertì un'enfasi pitagorica sul numero e l'aritmetica, concentrandosi invece su concetti geometrici come base della matematica rigorosa. Alcuni pitagorici, come il maestro di Eudosso Archita, credevano che solo l'aritmetica potesse fornire una base per le dimostrazioni. Spinto dalla necessità di comprendere e operare con quantità incommensurabili, Eudosso stabilì quella che potrebbe essere stata la prima organizzazione deduttiva della matematica sulla base di assiomi espliciti. Il cambio di focus di Eudosso stimolò una divisione nella matematica che durò duemila anni. In combinazione con un atteggiamento intellettuale greco disinteressato ai problemi pratici, ne seguì un significativo ritiro dallo sviluppo delle tecniche in aritmetica e algebra.

I pitagorici avevano scoperto che la diagonale di un quadrato non ha un'unità di misura comune con i lati del quadrato; questa è la famosa scoperta che la radice quadrata di 2 non può essere espressa come il rapporto di due interi. Questa scoperta aveva annunciato l'esistenza di quantità incommensurabili oltre i numeri interi e le frazioni razionali, ma allo stesso tempo metteva in discussione l'idea della misurazione e dei calcoli in geometria nel suo insieme. Ad esempio, Euclide fornisce una dimostrazione elaborata del teorema di Pitagora Elementi I.47, usando l'aggiunta di aree e solo molto più tardi Elementi VI.31 una dimostrazione più semplice da triangoli simili, che si basa su rapporti di segmenti di linea.

Gli antichi matematici greci non calcolavano con quantità ed equazioni come facciamo oggi, ma invece usavano proporzioni per esprimere la relazione tra quantità. Così il rapporto di due quantità simili non era solo un valore numerico, come pensiamo oggi; il rapporto di due quantità simili era una relazione primitiva tra loro.

Eudosso fu in grado di ripristinare la fiducia nell'uso delle proporzioni fornendo una definizione straordinaria per il significato dell'uguaglianza tra due rapporti. Questa definizione di proporzione costituisce l'argomento del Libro V di Euclide.

Nella Definizione 5 del Libro V di Euclide leggiamo:

Si dice che le grandezze stanno nella stessa proporzione, la prima con la seconda e la terza con la quarta, quando, se si prendono comunque equimultipli della prima e della terza, e comunque equimultipli della seconda e della quarta, gli equimultipli precedenti superano rispettivamente, sono rispettivamente uguali a, o rimangono comunque indietro dagli equimultipli ultimi presi in ordine corrispondente.

Usando la notazione moderna, questo è chiarito come segue. Se prendiamo quattro quantità: a, b, c, e d, allora la prima e la seconda hanno un rapporto a / b .

Ora, per dire che a / b = c / d facciamo quanto segue: Per due interi arbitrari, m e n, formiamo gli equimultipli m·a e m·c della prima e della terza; allo stesso modo formiamo gli equimultipli n·b e n·d della seconda e della quarta.

Se capita che m·a > n·b, allora dobbiamo anche avere m·c > n·d. Se capita che m·a = n·b, allora dobbiamo anche avere m·c = n·d. Infine, se capita che m·a < n·b, allora dobbiamo anche avere m·c < n·d.

Notiamo che la definizione dipende dal confronto delle quantità simili m·a e n·b, e delle quantità simili m·c e n·d, e non dipende dall'esistenza di un'unità comune per misurare queste quantità.

La complessità della definizione riflette l'innovazione concettuale e metodologica profonda coinvolta. Ricorda il famoso quinto postulato di Euclide riguardante i paralleli, che è più esteso e complicato nella sua formulazione rispetto agli altri postulati.

La definizione eudossiana di proporzionalità usa il quantificatore, "per ogni ..." per sfruttare l'infinito e l'infinitesimale, proprio come fanno le moderne definizioni epsilon-delta di limite e continuità.

Inoltre, la proprietà di Archimede enunciata come definizione 4 del libro V di Euclide è originariamente dovuta non ad Archimede ma a Eudosso.

Astronomia

Nell'antica Grecia, l'astronomia era un ramo della matematica; gli astronomi cercavano di creare modelli geometrici che potessero imitare gli aspetti dei moti celesti. Identificare il lavoro astronomico di Eudosso come una categoria separata è quindi una comodità moderna. Alcuni dei testi astronomici di Eudosso i cui nomi sono sopravvissuti includono:

• Scomparse del Sole, possibilmente sulle eclissi
• Oktaeteris Ὀκταετηρίς, su un ciclo lunisolare-Venere di otto anni del calendario
• Phaenomena Φαινόμενα e Entropon Ἔντροπον, sull'astronomia sferica, probabilmente basati su osservazioni fatte da Eudosso in Egitto e Cnido
• Sulle Velocità, sui moti planetari

Siamo abbastanza ben informati sui contenuti di Phaenomena, perché il testo in prosa di Eudosso era la base per un poema dello stesso nome di Arato. Ipparco citava il testo di Eudosso nel suo commento ad Arato.

Modelli planetari eudossiani

Un'idea generale del contenuto di Sulle Velocità può essere ricavata dalla Metafisica XII, 8 di Aristotele, e da un commento di Simplicio di Cilicia VI secolo d.C. su De caelo, un'altra opera di Aristotele. Secondo una storia riportata da Simplicio, Platone pose una domanda agli astronomi greci: "Per mezzo dell'assunzione di quali moti uniformi e ordinati possono essere spiegati i moti apparenti dei pianeti?" citato in Lloyd 1970, p. 84. Platone propose che i moti apparentemente caotici e vagabondi dei pianeti potessero essere spiegati da combinazioni di moti circolari uniformi centrati su una Terra sferica, apparentemente un'idea nuova nel IV secolo BC.

Nella maggior parte delle ricostruzioni moderne del modello eudossiano, alla Luna sono assegnate tre sfere:

• La più esterna ruota verso ovest una volta in 24 ore, spiegando il sorgere e il tramontare.
• La seconda ruota verso est una volta al mese, spiegando il movimento mensile della Luna attraverso lo zodiaco.
• La terza completa anche la sua rivoluzione in un mese, ma il suo asse è inclinato ad un angolo leggermente diverso, spiegando il movimento in latitudine deviazione dall'eclittica, e il movimento dei nodi lunari.

Al Sole sono assegnate anche tre sfere. La seconda completa il suo movimento in un anno invece che in un mese. L'inclusione di una terza sfera implica che Eudosso erroneamente credeva che il Sole avesse movimento in latitudine.

I cinque pianeti visibili Venere, Mercurio, Marte, Giove e Saturno sono assegnati quattro sfere ciascuno:

• La più esterna spiega il moto diurno.
• La seconda spiega il moto del pianeta attraverso lo zodiaco.
• La terza e la quarta insieme spiegano la retrogradazione, quando un pianeta sembra rallentare, quindi brevemente invertire il suo movimento attraverso lo zodiaco. Inclinando gli assi delle due sfere l'una rispetto all'altra, e ruotandoli in direzioni opposte ma con periodi uguali, Eudosso poteva fare in modo che un punto sulla sfera interna tracciasse una forma a figura otto, o ippopede.

Importanza del sistema eudossiano

Callippo, un astronomo greco del IV secolo, aggiunse sette sfere alle originali 27 di Eudosso oltre alle sfere planetarie, Eudosso incluse una sfera per le stelle fisse. Aristotele descrisse entrambi i sistemi, ma insisté sull'aggiunta di sfere "srotolanti" tra ogni insieme di sfere per cancellare i moti dell'insieme esterno. Aristotele era preoccupato per la natura fisica del sistema; senza srotolatori, i moti esterni sarebbero stati trasferiti ai pianeti interni.

Un grande difetto del sistema eudossiano è la sua incapacità di spiegare i cambiamenti nella luminosità dei pianeti come visti dalla Terra. Poiché le sfere sono concentriche, i pianeti rimarranno sempre alla stessa distanza dalla Terra. Questo problema è stato sottolineato nell'Antichità da Autolico di Pitane. Gli astronomi hanno risposto introducendo il deferente e l'epiciclo, che ha causato a un pianeta di variare la sua distanza. Tuttavia, l'importanza di Eudosso per l'astronomia greca è considerevole, poiché fu il primo a tentare una spiegazione matematica dei pianeti.

Etica

Aristotele, nell'Etica Nicomachea, attribuisce a Eudosso un argomento a favore dell'edonismo—cioè, che il piacere è il bene ultimo verso cui mira l'attività. Secondo Aristotele, Eudosso propose i seguenti argomenti per questa posizione:

1. Tutte le cose, razionali e irrazionali, mirano al piacere; le cose mirano a ciò che credono sia buono; una buona indicazione di quale sia il bene principale sarebbe la cosa verso cui la maggior parte delle cose tende.
2. Allo stesso modo, l'opposto del piacere—il dolore—è universalmente evitato, il che fornisce ulteriore supporto all'idea che il piacere sia universalmente considerato buono.
3. Le persone non cercano il piacere come mezzo per qualcos'altro, ma come fine in sé.
4. Qualsiasi altro bene che tu possa pensare sarebbe migliore se il piacere fosse aggiunto ad esso, ed è solo dal bene che il bene può essere aumentato.
5. Di tutte le cose che sono buone, la felicità è peculiare per non essere lodata, il che può mostrare che è il bene supremo.