राघवन नरसिंहन: वह व्यक्ति जिसने लेवी समस्या को हल किया

1962 में अंतर्राष्ट्रीय गणितज्ञ कांग्रेस ने एक युवा भारतीय विश्लेषक को अपना एक व्याख्यान देने के लिए आमंत्रित किया। वह पच्चीस वर्ष के थे और उन्हें अपनी डॉक्टरेट प्राप्त करने में अभी एक वर्ष और लगना था। यह आमंत्रण कोई शिष्टाचार नहीं था: दो साल पहले राघवन नरसिंहन (Raghavan Narasimhan) ने सम्मिश्र समष्टियों के लिए लेवी समस्या को हल कर दिया था, एक ऐसा प्रश्न जो आधी शताब्दी से अनसुलझा था और यूरोप के सर्वश्रेष्ठ विश्लेषकों की एक पीढ़ी को मात दे चुका था। उन्होंने अपने अगले पांच दशक शिकागो में बिताए, और वे पाठ्यपुस्तकें लिखीं जिनसे बाकी सभी ने इस विषय को सीखा।

मद्रास और फादर रासीन

उन का जन्म 31 अगस्त 1937 को मद्रास में हुआ था। उनकी गणितीय शिक्षा वहीं के लोयोला कॉलेज में शुरू हुई, जहाँ उन्होंने 1957 में अपनी स्नातक की डिग्री प्राप्त की और फादर रासीन (Father Racine) के अधीन अध्ययन किया, जो एक फ्रांसीसी जेसुइट थे जो महाद्वीपीय विश्लेषण को एक ऐसे देश में लाए थे जिसने रामानुजन को जन्म दिया था लेकिन जिसके पास बहुत कम संस्थागत बुनियादी ढांचा था। नरसिंहन इसके बाद बॉम्बे चले गए, टाटा इंस्टीट्यूट के दायरे में आ गए, और 1963 में संख्या सिद्धांतकार के. चंद्रशेखरन (K. Chandrasekharan) के अधीन बॉम्बे विश्वविद्यालय से अपनी डॉक्टरेट की उपाधि प्राप्त की।

इस कालक्रम पर रुककर विचार करना चाहिए। डॉक्टरेट 1963 में मिली। प्रमेय 1960 और 1961 में आए।

लेवी समस्या

एक चर में सम्मिश्र विश्लेषण सुंदर कठोरता का विषय है: किसी डिस्क पर एक होलोमॉर्फिक फलन उल्लेखनीय रूप से बहुत कम डेटा द्वारा निर्धारित होता है। कई चरों में यह कठोरता अजीब हो जाती है। सम्मिश्र समष्टि के कुछ क्षेत्रों में यह गुण होता है कि उन पर हर होलोमॉर्फिक फलन स्वचालित रूप से एक बड़े क्षेत्र तक बढ़ जाता है — क्षेत्र, तथाकथित रूप से, अपने स्वयं का प्राकृतिक घर नहीं है। जो क्षेत्र अपने स्वयं के प्राकृतिक घर हैं, उन्हें होलोमॉर्फिक के डोमेन कहा जाता है, और 1910 में ई. ई. लेवी (E. E. Levi) ने पूछा कि वे कौन से हैं, और यह अनुमान लगाया कि सीमा पर एक ज्यामितीय स्थिति जिसे छद्मउत्तलता (pseudoconvexity) कहा जाता है, इसका उत्तर है।

यह प्रश्न क्रूर रूप से कठिन साबित हुआ। कियोशी ओका (Kiyoshi Oka) ने अंततः 1940 और 1950 के दशक में सम्मिश्र यूक्लिडियन समष्टि में डोमेन के लिए इसे हल किया। इसके बाद हंस ग्रॉएर्ट (Hans Grauert) ने सम्मिश्र बहुगुणा (manifolds) को संभाला। जो बचा रह गया वह सामान्य और सबसे नाजुक मामला था: सम्मिश्र समष्टियां, जिन्हें विलक्षणताओं (singularities) की अनुमति होती है — ऐसे बिंदु जहाँ समष्टि स्थानीय रूप से C^n का एक अच्छा पैच नहीं है बल्कि कुछ पिंचा हुआ या पार किया हुआ है। विलक्षणताएं उपकरणों को तोड़ देती हैं। 1961 में Mathematische Annalen में नरसिंहन के शोध पत्र, "The Levi problem for complex spaces" और इसके अनुक्रम ने उस मामले को बंद कर दिया। इस परिणाम को अभी भी ग्रॉएर्ट-नरसिंहन के रूप में उद्धृत किया जाता है, जो यह दर्ज करने का अनुशासन का तरीका है कि अंतिम और सबसे कठिन कदम उनका था।

एम्बेडिंग (अंतःस्थापन)

उनका दूसरा नामित प्रमेय पहले आया, 1960 में, American Journal of Mathematics में "Imbedding of Holomorphically Complete Complex Spaces" शीर्षक वाले एक शोध पत्र में। स्टीन बहुगुणा (Stein manifolds) वे सम्मिश्र-विश्लेषणात्मक वस्तुएं हैं जो अपने स्वयं के बिंदुओं को अलग करने के लिए पर्याप्त होलोमॉर्फिक फलन रखती हैं — एफ़िन बीजगणितीय किस्मों का विश्लेषणात्मक समकक्ष, और पूरे विषय के लिए प्राकृतिक सेटिंग। अमूर्त रूप से परिभाषित होने पर, उनकी कल्पना करना कठिन है। नरसिंहन ने सिद्ध किया कि सम्मिश्र आयाम n की प्रत्येक स्टीन बहुगुणा C^{2n+1} में एक अंतःक्षेपी उचित होलोमॉर्फिक इमर्शन को स्वीकार करती है।

वह वाक्य बहुत अधिक काम करता है। यह कहता है कि एक अमूर्त स्टीन बहुगुणा कभी भी विदेशी नहीं होती है: इसे हमेशा सीमित आयाम के सामान्य सम्मिश्र यूक्लिडियन समष्टि के एक बंद उपसमुच्चय के रूप में ठोस रूप से महसूस किया जा सकता है, जिसमें सीमा केवल n पर निर्भर करती है। यह अंतर विरुपविज्ञान (differential topology) में व्हिटनी के एम्बेडिंग प्रमेय का सम्मिश्र-विश्लेषणात्मक एनालॉग है, और इसने अमूर्त रूप से परिभाषित वस्तुओं के वर्ग को ऐसी चीज़ों में बदल दिया जिन्हें कोई पकड़ सकता है। परिणाम उनका नाम वहन करता है।

शिकागो

वह 1966 में प्रिंसटन में इंस्टीट्यूट फॉर एडवांस्ड स्टडी में एक विज़िटिंग विद्वान थे और 1969 में शिकागो विश्वविद्यालय के गणित संकाय में शामिल हो गए, जहाँ वे चार दशकों से अधिक समय तक रहे और प्रोफेसर एमेरिटस के रूप में समाप्त हुए। उनकी रुचि कम होने के बजाय और विस्तृत हुई: कई सम्मिश्र चरों के साथ-साथ उन्होंने विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में काम किया, और 1990 के दशक में उन्होंने प्रिंसटन के फील्ड्स मेडलिस्ट चार्ल्स फेफ़रमैन (Charles Fefferman) के साथ विश्लेषण और वास्तविक बीजगणितीय ज्यामिति के जंक्शन पर शोध पत्रों पर सहयोग किया — जो जीवित सबसे तकनीकी रूप से दुर्जेय विश्लेषकों में से दो का एक युग्मन था। जिनेवा विश्वविद्यालय ने उन्हें 1986 में मानद डॉक्टरेट से सम्मानित किया।

पुस्तकें

नरसिंहन ने छह पुस्तकें लिखीं, और उनका प्रभाव अंततः प्रमेयों के प्रभाव से भी अधिक हो सकता है। Analysis on Real and Complex Manifolds (1968), शिकागो व्याख्यान खंड Several Complex Variables (1971) और Complex Analysis in One Variable (2001) संक्षिप्त, सटीक और प्रसिद्ध रूप से क्षमा न करने वाली पुस्तकें हैं — ऐसी पुस्तकें जो मानती हैं कि पाठक को आश्वासन के बजाय सबसे छोटा सही मार्ग चाहिए। स्नातक छात्रों की पीढ़ियों ने उनसे कई सम्मिश्र चर सीखे। सहकर्मियों को एक ऐसे व्यक्ति की याद आई जो शास्त्रीय संगीत और शराब के बारे में समान रूप से गंभीर थे, और जिनके बारे में एक ने याद किया, "विश्लेषण में वास्तव में एक आश्चर्यजनक अंतर्दृष्टि थी।"

एक संक्षिप्त बीमारी के बाद 3 अक्टूबर 2015 को अठत्तर वर्ष की आयु में उनका निधन हो गया।

राघवन को एक प्रतिभावान क्यों कहा जाता है

ठोस बनिए, क्योंकि मामला वहीं रहता है। दो परिणाम, दोनों पच्चीस वर्ष के होने से पहले और डॉक्टरेट प्राप्त करने से पहले प्राप्त किए गए, जिनमें से प्रत्येक ने किसी समस्या को आगे बढ़ाने के बजाय उसे समाप्त कर दिया।

एम्बेडिंग प्रमेय अधिक स्वच्छ है। यह "ये वस्तुएं कितनी जंगली हो सकती हैं?" इस रूप के प्रश्न का उत्तर "बिल्कुल भी जंगली नहीं" के साथ देता है — आयाम n का प्रत्येक स्टीन बहुगुणा C^{2n+1} के भीतर ठीक से बैठता है। उस आकार के परिणाम दुर्लभ और असमान रूप से उपयोगी होते हैं, क्योंकि वे बाकी सभी को संभावित विकृति की एक पूरी श्रेणी के बारे में चिंता करना बंद करने देते हैं।

लेवी समस्या कठिन है, और समझाना भी कठिन है। ओका और ग्रॉएर्ट ने सुचारू मामलों को कर लिया था; अवशेष विलक्षणताओं के साथ सम्मिश्र समष्टियां थीं, बिल्कुल वहीं जहाँ मानक मशीनरी खतरनाक हो जाती है। एक स्नातक छात्र के रूप में, यूरोप के सर्वश्रेष्ठ विश्लेषकों के खिलाफ, इसके सबसे विकृत मामले में पचास साल पुरानी समस्या को समाप्त करना, वही है जिसे "प्रतिभा" शब्द का वर्णन करने के लिए गढ़ा गया था। डॉक्टरेट के बिना पच्चीस वर्ष के युवक को आईसीएएम (ICM) का निमंत्रण पेशे का अपना फैसला है, जो उस समय दिया गया था।

प्रति-मामला गुणवत्ता के बजाय पैमाने का है। नरसिंहन ने किसी क्षेत्र की स्थापना नहीं की या किसी अनुशासन को पुनर्रोपित नहीं किया; उन्होंने किसी अन्य द्वारा परिभाषित क्षेत्र के भीतर दो कठिन समस्याओं को हल किया, फिर उसके भीतर काम करते हुए पचास उत्पादक लेकिन कम शानदार वर्ष बिताए। उन्होंने कोई फील्ड्स मेडल, कोई वोल्फ़, कोई एबेल नहीं जीता; उनका प्रमुख अंतर जिनेवा से एक मानद डिग्री था। उन गणितज्ञों के साथ रखे जाने पर जिन्होंने इस विषय के बारे में बदला है, उनका रिकॉर्ड शुरुआती दो शानदार परिणामों और उसके बाद एक लंबे, प्रतिष्ठित पठार के साथ एक असाधारण शक्तिशाली विश्लेषक का है — एक कड़े, स्थानीय अर्थ में एक प्रतिभावान, जिसने तेईस वर्ष की आयु में वह देखा जो कोई और नहीं देख सकता था, न कि एक ऐसा दिमाग जिसने नक्शे को फिर से खींचा।

विरासत

नरसिंहन एम्बेडिंग प्रमेय और लेवी समस्या का ग्रॉएर्ट-नरसिंहन समाधान कई सम्मिश्र चरों के स्थायी स्थिरता हैं, जहाँ भी यह विषय पढ़ाया जाता है, वहाँ पढ़ाया जाता है। उनकी पाठ्यपुस्तकें दूसरी विरासत हैं, और वह है जिसने अधिक लोगों को छुआ है: गणितज्ञों की पीढ़ियों ने पहली बार उनकी सटीक गद्य में सम्मिश्र विश्लेषण से मुलाकात की। तीसरी संस्थागत है और इसे याद करना आसान है — वह उस समूह का हिस्सा थे जिसे फादर रासीन और के. चंद्रशेखरन ने 1950 और 1960 के दशक में उत्पादित किया था, वह पीढ़ी जिसने भारतीय गणित को कभी-कभार के चमत्कार के बजाय अंतर्राष्ट्रीय साहित्य में एक स्थायी उपस्थिति बनाया।