पाल तुरान: एक श्रम शिविर से प्रमेय

जुलाई 1944 में, जबरन श्रम में लगा एक हंगेरियन यहूदी बुडापेस्ट के पास एक कारखाने में पटरियों पर ईंटों की गाड़ियाँ धकेल रहा था। जहाँ पटरियाँ आपस में मिलती थीं, गाड़ियाँ हिलती थीं और काम कठिन हो जाता था। अधिकांश लोग उन क्रॉसिंग को कोसते। तुरान ने सोचना शुरू किया कि m भट्टों और n गोदामों के लिए क्रॉसिंग की न्यूनतम संभव संख्या क्या है - और ऐसा करके उन्होंने वह प्रस्तुत किया जिसे अब 'तुरान की ईंट फैक्ट्री समस्या' कहा जाता है, जो क्रॉसिंग नंबर सिद्धांत के संस्थापक प्रश्नों में से एक है। वह एक कैदी थे। वह उस समय गणित भी कर रहे थे।

बुडापेस्ट, फेजेर, और एक बंद दरवाजा

तुरान का जन्म 18 अगस्त 1910 को बुडापेस्ट, तत्कालीन ऑस्ट्रिया-हंगरी, में एक हंगेरियन यहूदी परिवार में हुआ था। उनकी प्रतिभा माध्यमिक विद्यालय में दिखाई दी। उन्होंने 1933 में बुडापेस्ट विश्वविद्यालय से शिक्षण की डिग्री ली और 1935 में हंगेरियन विश्लेषण के केंद्रीय व्यक्ति लिपोट फेजेर (Lipót Fejér) के मार्गदर्शन में इओट्वोस लोरंड विश्वविद्यालय से पीएचडी प्राप्त की।

उन्होंने 1933 में अमेरिकी और लंदन गणितीय सोसायटियों की पत्रिकाओं में दो महत्वपूर्ण शोध पत्र प्रकाशित किए। इससे उनकी रोजगार क्षमता में कोई अंतर नहीं आया। उच्च शिक्षा में यहूदी भागीदारी को प्रतिबंधित करने वाले हंगरी के न्यूमेरस क्लॉज़स (numerus clausus) कानूनों ने उन्हें वर्षों तक स्थिर शैक्षणिक कार्य से दूर रखा, और 1938 में उन्हें जो पद मिला, वह बुडापेस्ट के एक रब्बी प्रशिक्षण स्कूल में था। यहाँ एक गणितज्ञ है जो तेईस साल की उम्र में अंतरराष्ट्रीय स्तर पर प्रकाशित कर रहा है और अट्ठाईस साल की उम्र में एक सेमिनरी में पढ़ा रहा है क्योंकि राज्य ने उन्हें कानूनी रूप से विश्वविद्यालय से बाहर कर दिया था।

एर्डोस से मुलाकात

1 सितंबर 1930 को, बुडापेस्ट विश्वविद्यालय में एक गणितीय सेमिनार में, तुरान की मुलाकात पॉल एर्डोस (Paul Erdős) से हुई। दोनों स्कूली छात्र के रूप में समस्या पत्रिका KöMaL में उल्लेखनीय उत्तरदाता रहे थे। उस दिन शुरू हुआ सहयोग छियालीस वर्षों तक चला और अट्ठाईस संयुक्त शोध पत्र तैयार किए - बीसवीं सदी के गणित में महान निरंतर साझेदारियों में से एक, और तुरान के चरित्र के बारे में हम जो जानते हैं उसका एक बड़ा स्रोत, क्योंकि एर्डोस ने उनके बारे में विस्तार से लिखा और उनकी चापलूसी नहीं की।

शिविरों में पाँच साल

सितंबर 1940 में तुरान को उनकी यहूदी विरासत के कारण गिरफ्तार कर लिया गया और श्रम शिविरों में भेज दिया गया। उन्होंने ट्रांसिल्वेनिया और हंगरी भर के विभिन्न शिविरों में पाँच साल बिताए।

यह अवधि उनकी ग्रंथ सूची में एक शून्य होनी चाहिए थी। ऐसा नहीं था। जोसेफ विंकलर (Joshef Winkler) नाम के एक अधिकारी, जो खुद गणित में प्रशिक्षित थे, ने तुरान के नाम को पहचाना और उनके लिए हल्के काम की व्यवस्था की। तुरान ने इस अवसर का उपयोग किया। उन्होंने नजरबंदी के दौरान रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन पर एक महत्वपूर्ण शोध पत्र तैयार किया, और समस्याओं को अपने दिमाग में हल करके और समस्याओं के बारे में सोचकर खुद को बरकरार रखा। ईंट फैक्ट्री का अवलोकन जुलाई 1944 में आया; उन्होंने इसे 1952 के बाद ही गंभीरता से लिया, लेकिन सवाल पटरियों पर पैदा हुआ था।

एर्डोस ने स्पष्ट रूप से कहा: तुरान "नाजी शिविरों में भी अपना उत्साह नहीं खोया और वहाँ शानदार काम किया।" उन्हें 1944 में मुक्त कर दिया गया और वे शिक्षण में लौट आए।

चरम ग्राफ सिद्धांत

तुरान ने जो सबसे महत्वपूर्ण चीज बनाई, वह उन्होंने कैद के दौरान बनाई। एर्डोस फिर से: "1940-1941 में उन्होंने ग्राफ सिद्धांत में चरम समस्याओं का क्षेत्र बनाया, जो अब कॉम्बिनेटरिक्स में सबसे तेजी से बढ़ते विषयों में से एक है।"

संस्थापक परिणाम, तुरान का प्रमेय, उन किनारों की संख्या पर एक ऊपरी सीमा देता है जो एक ग्राफ में r शीर्षों पर एक पूर्ण उप-ग्राफ शामिल किए बिना हो सकते हैं। इसे साबित करने के लिए उन्होंने तुरान ग्राफ का आविष्कार किया, जो पूर्ण द्विभाजित ग्राफ का एक सामान्यीकरण है। प्रमेय का महत्व विशिष्ट सीमा नहीं है बल्कि प्रश्न का वह रूप है जिसे उन्होंने स्थापित किया: किसी पैटर्न के प्रकट होने के लिए मजबूर होने से पहले आपके पास कितनी संरचना हो सकती है? वह प्रश्न, तब से हजारों सेटिंग्स में पूछा गया, वही है जो चरम कॉम्बिनेटरिक्स है। कोवारी-सोस-तुरान प्रमेय (Kővári–Sós–Turán theorem) ने इस दृष्टिकोण को निषिद्ध उप-ग्राफ वाले द्विभाजित ग्राफ तक विस्तारित किया।

छलनी और घात योग

संख्या सिद्धांत उनका प्राथमिक क्षेत्र था। 1934 की तुरान छलनी ने अलग-अलग अभाज्य विभाजकों की संख्या के सामान्य क्रम पर हार्डी और रामानुजन के 1917 के परिणाम का एक सरलीकृत प्रमाण दिया। हलाज़ (Halász) ने इसके वास्तविक महत्व की पहचान की: "इसका वास्तविक महत्व इस तथ्य में निहित है कि यह संभाव्यता संख्या सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु था।" एक सरलीकरण जो एक अनुशासन की स्थापना करता है, वह सरलीकरण नहीं है। तुरान-कुबिलियस असमानता ने काम को सामान्यीकृत किया।

उन्होंने अवशेष वर्गों में अभाज्य संख्याओं के वितरण के तरीके में अनियमितताओं के लिए "अभाज्य संख्या दौड़" शब्द गढ़ा, और चेबीशेव के पूर्वाग्रह से संबंधित परिणामों पर कनापोव्स्की के साथ काम किया। एर्डोस-तुरान अनुमान अंकगणितीय प्रगति में अभाज्य संख्याओं से संबंधित है। और उन्होंने घात योग विधि विकसित की, जो रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के शून्य के घातों के योग पर असमानताओं के लिए एक तकनीक है, जिसके अनुप्रयोग जटिल विश्लेषण, संख्यात्मक विश्लेषण, अंतर समीकरणों, पारलौकिक संख्या सिद्धांत और सामान्य रूप से शून्य के अनुमान तक पहुँचते हैं।

परिकल्पना पर ही, एर्डोस ने दर्ज किया कि तुरान एक "'अविश्वासी', वास्तव में, एक 'मूर्तिपूजक' थे: वे रीमैन की परिकल्पना की सच्चाई में विश्वास नहीं करते थे।" उनके विश्लेषण ने लेजेंड्रे बहुपद पर तुरान की असमानताओं को जन्म दिया और, एर्डोस के साथ, एर्डोस-तुरान समान वितरण असमानता को जन्म दिया।

एक निदान जिसे गुप्त रखा गया

वे 1945 में बुडापेस्ट विश्वविद्यालय में एसोसिएट प्रोफेसर और 1949 में पूर्ण प्रोफेसर बने। कोसुथ पुरस्कार 1948 में और फिर 1952 में मिला; उन्हें 1948 में हंगेरियन एकेडमी ऑफ साइंसेज का संबंधित सदस्य और 1953 में सामान्य सदस्य चुना गया। उन्होंने जानोस बोल्याई गणितीय सोसाइटी की स्थापना और अध्यक्षता की, प्रमुख पत्रिकाओं के संपादकीय बोर्डों में बैठे, 1970 में गणितज्ञों की अंतरराष्ट्रीय कांग्रेस में बात की और उस वर्ष फील्ड्स पुरस्कार समिति में आमंत्रित किए गए। तिबोर स्ज़ेले पुरस्कार 1975 में मिला।

उन्होंने 1939 में एडिट कोबोर से शादी की, जिनसे उनका एक बेटा, रॉबर्ट था; 1952 में उन्होंने गणितज्ञ वेरा सोस से शादी की, जिनके साथ उन्होंने संयुक्त रूप से प्रकाशित किया और उनके दो बेटे, ग्योर्गी और तमस थे।

1970 के आसपास उन्हें ल्यूकेमिया का पता चला। केवल वेरा को पता था। उन्होंने उसे न बताने का फैसला किया, यह मानते हुए कि वह "जीवन के प्रति बहुत अधिक आसक्त" थे और निराश हो गए होते। उन्होंने एर्डोस को केवल 1976 में बताया। एर्डोस ने बाद में लागत पर विलाप किया: यह न जानते हुए कि उनका समय कम था, तुरान ने कुछ कार्यों को "बाद के लिए" स्थगित कर दिया और उन्हें कभी पूरा नहीं किया।

पाल को प्रतिभाशाली क्यों कहा जाता है

विशिष्ट संकाय पूरे विषयों के स्तर पर समस्या-निर्माण है। तुरान के व्यक्तिगत प्रमेय मजबूत हैं, लेकिन उनकी पहचान यह है कि तीन अलग-अलग क्षेत्र अपनी उत्पत्ति का पता उन तक लगाते हैं: चरम ग्राफ सिद्धांत, जिसे एर्डोस स्पष्ट रूप से 1940-41 में बनाने का श्रेय उन्हें देते हैं; संभाव्यता संख्या सिद्धांत, जो हलाज़ के अनुसार उनकी 1934 की छलनी से शुरू हुआ; और क्रॉसिंग नंबर सिद्धांत, जो ईंटों से शुरू हुआ। एक क्षेत्र की स्थापना करना एक करियर है। तीन की स्थापना करना कुछ और है - प्रश्न के नीचे के प्रश्न के लिए एक असामान्य वृत्ति, जिसका सामान्य रूप एक विशिष्ट कठिनाई का एक उदाहरण है।

परिस्थितियाँ दावे को केवल सजाने के बजाय उसे तेज करती हैं। उन्होंने एक श्रम शिविर में चरम ग्राफ सिद्धांत बनाया, बिना किसी पुस्तकालय, बिना किसी सहकर्मी और बिना किसी कागज के, संरचनाओं को अपने दिमाग में रखा। एर्डोस, जो गणितीय क्षमता के बारे में भावुक नहीं थे और हर उस व्यक्ति को जानते थे जिसे जानने लायक था, ने कहा कि उन्होंने वहाँ शानदार काम किया।

प्रति-मामला सामान्य से पतला है लेकिन वास्तविक है। एर्डोस छियालीस वर्षों तक उनके सबसे करीबी दोस्त और उनके सबसे उद्धृत मूल्यांकनकर्ता थे, जो एक स्वतंत्र स्रोत नहीं है। तुरान की घात योग विधि, अपनी पूरी पहुँच के बावजूद, रीमैन परिकल्पना को नहीं तोड़ पाई जिस पर वे विश्वास नहीं करते थे। उनके सम्मान - दो कोसुथ पुरस्कार, स्ज़ेले पुरस्कार, अकादमी सदस्यता - अनुशासन के शीर्ष अंतरराष्ट्रीय पुरस्कारों के बजाय हंगेरियन राष्ट्रीय मान्यताएँ हैं। और चरम ग्राफ सिद्धांत का विस्फोटक विकास उन लोगों का बहुत ऋणी है जिन्होंने उनके बाद इसे विकसित किया। उन्होंने सवाल रखा; दूसरों ने विषय बनाया।

विरासत

तुरान की 26 सितंबर 1976 को बुडापेस्ट में ल्यूकेमिया से मृत्यु हो गई, वे छियासठ वर्ष के थे, अभी भी अनजान थे कि उन्हें क्या मार रहा था। हर कॉम्बिनेटरिक्स पाठ्यक्रम अब उनके प्रमेय को सिखाता है, और संभाव्यता संख्या सिद्धांत अपनी स्थापना को उस छलनी से जोड़ता है जिसे उन्होंने चौबीस साल की उम्र में तैयार किया था। ईंट फैक्ट्री समस्या सामान्य रूप से खुली है। यह एक उपयुक्त स्मारक है: एक कैदी द्वारा पटरियों को पार करते हुए देखा गया एक सवाल, जिसका जवाब अनुशासन ने अभी तक पूरा नहीं किया है।