नोअम एल्किज़ (Noam Elkies): वह गणितज्ञ जिसने 21 साल की उम्र में 200 साल पुरानी धारणा को तोड़ दिया

1988 में, एक 21 वर्षीय स्नातक छात्र ने एक ऐसी धारणा का खंडन पेश किया जिसे लियोनहार्ड यूलर (Leonhard Euler) ने 1769 में प्रस्तावित किया था और जो इतिहास के कुछ महानतम गणितज्ञों द्वारा दो शताब्दियों तक जांचे जाने के बाद भी टिकी हुई थी। नोअम एल्किज़ ने न केवल यूलर की चौथी घातों के योग की धारणा को गलत साबित किया; उन्होंने यह काम एक साइड प्रोजेक्ट के रूप में किया, एक ऐसे करियर के बीच में जो उन्हें जल्द ही हार्वर्ड का सबसे कम उम्र का टेन्योर प्रोफेसर, शतरंज के ग्रैंडमास्टर-स्तर का खिलाड़ी, और उनके अपने गायक मंडली (choir) के निर्देशक के अनुसार, बाख (Bach) के समान एक संगीतकार बनाने वाला था।

प्रतिभा की तीन भाषाओं में पारंगत एक बच्चा

एल्किज़ का जन्म 25 अगस्त 1966 को न्यूयॉर्क शहर में एक इंजीनियर पिता और पियानो शिक्षिका माँ के घर हुआ था, और उन्होंने इज़राइल में अपने बचपन के आठ महत्वपूर्ण वर्ष बिताए, जिसके बाद उनका परिवार न्यूयॉर्क लौट आया। उन्होंने छह साल की उम्र में संगीत रचना शुरू कर दी और किशोरावस्था में जूलियर्ड (Juilliard) के प्री-कॉलेज कार्यक्रम में प्रशिक्षण लिया, जहाँ वे एक पियानोवादक और बास-बैरीटोन के रूप में विकसित हुए, जबकि उनकी गणितीय प्रतिभा को अनदेखा करना असंभव हो गया था। चौदह वर्ष की आयु में उन्होंने 1981 के अंतर्राष्ट्रीय गणितीय ओलंपियाड (International Mathematical Olympiad) में भाग लिया और 42 के पूर्ण स्कोर के साथ स्वर्ण पदक जीता, और सोलह वर्ष चार महीने की आयु में वे 'पुटनम फेलो' (Putnam Fellow) बने - जो कुख्यात रूप से कठिन पुटनम गणितीय प्रतियोगिता (Putnam Mathematical Competition) में शीर्ष स्कोरर में से एक थे - एक उपलब्धि जिसे वे दोहराते हुए कुल तीन बार पुटनम फेलो बने। उन्होंने 1982 में 15 वर्ष की आयु में स्टुवेसेंट हाई स्कूल (Stuyvesant High School) से स्नातक किया, और 1982 में ही साइंस टैलेंट सर्च में "इम्प्रूव्ड लोअर बाउंड ऑन द ग्रेटेस्ट एलिमेंट ऑफ ए सम-डिस्टिंक्ट सेट ऑफ फिक्स्ड ऑर्डर" शीर्षक से एक परियोजना प्रस्तुत की, जो उन संख्या-सैद्धांतिक (number-theoretic) प्रवृत्तियों का शुरुआती संकेत था जो उनके करियर को परिभाषित करेंगी।

कोलंबिया, हार्वर्ड, और दो सदियों पुरानी एक धारणा

एल्किज़ ने 1985 में कोलंबिया विश्वविद्यालय से अपनी स्नातक की डिग्री प्राप्त की और वे वैलेडिक्टोरियन (valedictorian) रहे, फिर वे अपनी डॉक्टरेट के लिए हार्वर्ड चले गए, जिसे उन्होंने 1987 में आधुनिक संख्या सिद्धांत के अग्रणी आंकड़ों में से दो, बेनेडिक्ट ग्रॉस (Benedict Gross) और बैरी माज़ुर (Barry Mazur) की देखरेख में पूरा किया। उसी वर्ष, उन्होंने साबित किया कि परिमेय संख्याओं पर दीर्घवृत्तीय वक्र (elliptic curves) अनंत अभाज्य संख्याओं पर सुपरसिंगुलर (supersingular) होते हैं, जो अंकगणितीय ज्यामिति में एक महत्वपूर्ण परिणाम है। लेकिन यह उनकी 1988 की खोज थी जिसने गणित विभागों से परे सुर्खियां बटोरीं: उन्होंने यूलर की चौथी घातों के योग की धारणा को खारिज करने वाला एक प्रतिउदाहरण पाया, एक ऐसा दावा जो 1769 से बिना किसी चुनौती के खड़ा था। इस खोज ने प्रदर्शित किया कि चार चौथी घातों को जोड़ने पर एक चौथी घात प्राप्त करने वाला समीकरण हल करने योग्य था, जो कि यूलर की धारणा के अनुसार असंभव था — उन्होंने एक स्पष्ट उदाहरण के साथ दो सौ वर्षों की गणितीय आम सहमति को पलट दिया।

हार्वर्ड के इतिहास में सबसे युवा पूर्ण प्रोफेसर

एल्किज़ 1987 से 1990 तक हार्वर्ड की सोसाइटी ऑफ फेलोज़ में जूनियर फेलो के रूप में शामिल हुए, और 1993 में, छब्बीस वर्ष की आयु में, उन्हें टेन्योर (स्थायी पद) दिया गया, जिससे वे हार्वर्ड विश्वविद्यालय के इतिहास में सबसे युवा पूर्ण प्रोफेसर बन गए। वे तब से हार्वर्ड गणित संकाय में बने हुए हैं, संख्या सिद्धांत और अंकगणितीय ज्यामिति में परिणाम तैयार करना जारी रखा है, जिसमें ए. ओ. एल. एटकिन (A. O. L. Atkin) के साथ Schoof–Elkies–Atkin एल्गोरिदम का सह-विकास शामिल है, जो दीर्घवृत्तीय वक्रों पर बिंदुओं की गिनती के लिए व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विधि है जो आधुनिक क्रिप्टोग्राफी के कुछ हिस्सों को रेखांकित करती है। उन्होंने दशकों से दीर्घवृत्तीय वक्रों के क्षेत्र में रिकॉर्ड बनाना जारी रखा है: उन्होंने असाधारण रूप से उच्च रैंक वाले वक्रों की खोज की है, जिसमें कम से कम 28 रैंक वाला एक वक्र शामिल है और, अगस्त 2024 में, ज़ेव क्लैग्सब्रुन (Zev Klagsbrun) के साथ काम करते हुए, कम से कम 29 रैंक वाला एक वक्र खोजा — एक शोध कड़ी को आगे बढ़ाया जिसे उन्होंने एक युवा गणितज्ञ के रूप में लगभग चार दशकों में खोला था। 1994 में वे ज्यूरिख में अंतर्राष्ट्रीय गणितज्ञ कांग्रेस (International Congress of Mathematicians) में आमंत्रित वक्ता थे, जो इस क्षेत्र के सबसे चुनिंदा सम्मानों में से एक है, और 2017 में उन्हें नेशनल एकेडमी ऑफ साइंसेज के लिए चुना गया था।

शतरंज की बिसात पर दूसरा करियर

एल्किज़ की गणितीय प्रतिभा ने शतरंज में एक असामान्य दूसरा आउटलेट पाया, हालांकि मुख्य रूप से एक टूर्नामेंट खिलाड़ी के रूप में नहीं। उनके पास यूनाइटेड स्टेट्स चेस फेडरेशन से नेशनल मास्टर का खिताब है, लेकिन शतरंज की दुनिया में उनकी गहरी प्रसिद्धि समस्या रचना और समाधान से आती है: उन्होंने 1996 में विश्व शतरंज समाधान चैंपियनशिप जीती, एक ऐसी प्रतियोगिता जो टूर्नामेंट की ताकत का नहीं बल्कि निर्मित शतरंज स्थितियों के लिए मजबूर समाधान खोजने के विशिष्ट, अत्यधिक गणितीय कौशल का परीक्षण करती है। उनकी अपनी रची गई शतरंज समस्याओं में से एक इतनी महत्वपूर्ण थी कि उसे मार्क ड्वोरेत्स्की (Mark Dvoretsky) के व्यापक रूप से सम्मानित एंडगेम मैनुअल में शामिल किया गया, जो गंभीर शतरंज छात्रों के बीच एक मानक संदर्भ है।

गणितज्ञ के साथ संगीतकार

एल्किज़ का संगीत जीवन उनके गणित के साथ-साथ निरंतर चलता रहा। वे पहले हार्वर्ड ग्ली क्लब (Harvard Glee Club) के पियानोवादक के रूप में साथ देते थे, और इसके निर्देशक ने एक ऐसी तुलना पेश की जो शायद ही कभी किसी जीवित संगीतकार के लिए की जाती है, उन्होंने एल्किज़ को "एक बाख या मोजार्ट" के समान बताया और उनकी "प्रतिभाशाली संगीतबद्धता, श्रेष्ठ संगीतकारिता और दृष्टि-पाठ क्षमता" की प्रशंसा की। वे हार्वर्ड के लोवेल हाउस (Lowell House) में घंटियाँ भी बजाते हैं, जो एक पुरानी कैंपानोलॉजी परंपरा है, और उन्होंने अपने वयस्क जीवन में अपने गणितीय उत्पादन के साथ-साथ संगीत की रचना भी की है।

नोअम को जीनियस क्यों कहा जाता है

एल्किज़ के मामले में 'जीनियस' शब्द का आधार उन उपलब्धियों के असामान्य रूप से केंद्रित ओवरलैप पर टिका है जो व्यक्तिगत रूप से दुर्लभ हैं और लगभग कभी एक साथ नहीं पाए जाते: चौदह वर्ष की आयु में एक पूर्ण-स्कोर गणितीय ओलंपियाड स्वर्ण पदक, तीन बार पुटनम फेलोशिप, इक्कीस वर्ष की आयु में 200 साल पुरानी धारणा को पलटने वाला एक प्रतिउदाहरण, और छब्बीस वर्ष की आयु में हार्वर्ड में टेन्योर, साथ ही एक वास्तविक प्रतिस्पर्धी शतरंज रिकॉर्ड और ऐसी संगीत क्षमता जिसकी तुलना उनके अपने गायक मंडली के निर्देशक ने स्वतःस्फूर्त रूप से बाख और मोजार्ट से की। यह संयोजन व्यापक प्रतिभा के रूप में तैयार किया गया कोई एक संकीर्ण तकनीकी कौशल नहीं है — यह शुद्ध गणितीय अंतर्दृष्टि, दबाव में प्रतिस्पर्धी समस्या-समाधान, और प्रशिक्षित संगीत शिल्प को फैलाता है, जिसे उन लोगों द्वारा स्वतंत्र रूप से सत्यापित किया गया है जिनके पास इसका न्याय करने की स्थिति है: हार्वर्ड की टेन्योर समिति, विश्व शतरंज समाधान चैंपियनशिप के न्यायाधीश, और एक पेशेवर गायक मंडली निर्देशक। ईमानदार जटिलता यह है कि गणित अनुसंधान में "जीनियस" आमतौर पर एक अकेली चमक नहीं होती है; एल्किज़ के प्रमुख परिणाम, यूलर प्रतिउदाहरण सहित, ग्रॉस और माज़ुर जैसे पर्यवेक्षकों के तहत गहन प्रशिक्षण और उनसे पहले संख्या सिद्धांतकारों की पीढ़ियों द्वारा निर्मित एक शोध परंपरा से उभरे, और उनकी शतरंज और संगीत उपलब्धियां, हालांकि वास्तव में कुलीन हैं, लेकिन किसी भी क्षेत्र में पूर्णकालिक पेशेवरों की तुलना में शौकिया-निकट बनी हुई हैं। जो विवाद में नहीं है, वह उन डोमेन में स्वतंत्र रूप से सत्यापित उत्कृष्टता का दुर्लभ घनत्व है जिन्हें आमतौर पर प्रत्येक के लिए जीवन भर के विशेषज्ञता की आवश्यकता होती है।

विरासत

एल्किज़ अपने शुरुआती रिकॉर्ड स्थापित होने के दशकों बाद भी हार्वर्ड के एक सक्रिय प्रोफेसर बने हुए हैं, 2020 के दशक तक दीर्घवृत्तीय वक्र सिद्धांत में नए परिणाम दे रहे हैं और संख्या सिद्धांतकारों की अगली पीढ़ी को प्रशिक्षित कर रहे हैं। उनका यूलर प्रतिउदाहरण संख्या सिद्धांत पाठ्यक्रमों में इस सबक के रूप में एक स्थिरता बनी हुई है कि एक धारणा का लंबा अस्तित्व उसकी सच्चाई की कोई गारंटी नहीं है, और उनका Schoof–Elkies–Atkin एल्गोरिदम उन क्रिप्टोग्राफिक प्रणालियों के अंदर चुपचाप, गैर-शानदार काम करना जारी रखता है जो दीर्घवृत्तीय वक्रों पर निर्भर करती हैं — एक स्नातक संगोष्ठी से एक गणितज्ञ की अंतर्दृष्टि अब उस बुनियादी ढांचे में अंतर्निहित है जिसके अस्तित्व के बारे में अधिकांश उपयोगकर्ता कभी नहीं जान पाएंगे।