लियोपोल्ड क्रोनेकर: ईश्वर ने पूर्णांकों की रचना की

"ईश्वर ने पूर्णांकों (integers) की रचना की, बाकी सब कुछ मनुष्य का काम है।" (Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk)। हेनरिक वेबर (Heinrich Weber) ने यह पंक्ति रिपोर्ट की थी, और यह इसके लेखक द्वारा कही गई लगभग हर दूसरी बात से अधिक जीवित रही है, क्योंकि यह कोई धार्मिक टिप्पणी नहीं बल्कि युद्ध की घोषणा थी। जिस व्यक्ति ने इसे कहा, उसने अपने अंतिम दशक आधुनिक गणित से उन अनंत वस्तुओं को हटाने में बिताए जिनका आविष्कार करने में उनके सहयोगी व्यस्त थे, और ऐसा करने में उन्होंने इतने दुश्मन बनाए कि यूरोप के सबसे महान विश्लेषण विशेषज्ञों में से एक लगभग उन्हें छोड़ने के लिए बर्लिन छोड़ दिया।

लीग्निट्ज़ और कुमेर नाम के एक शिक्षक

लियोपोल्ड क्रोनेकर (Leopold Kronecker) का जन्म 7 दिसंबर 1823 को प्रशिया के लीग्निट्ज़ (Liegnitz) - जो अब पोलैंड का लेग्निका (Legnica) है - में एक धनी यहूदी परिवार में हुआ था। उनके माता-पिता, इसिडोर (Isidor) और जोहाना (Johanna, विवाह से पहले का नाम प्राउसनिट्ज़र (Prausnitzer)), ने उन्हें लीग्निट्ज़ व्यायामशाला (Gymnasium) में भेजने से पहले घर पर ही निजी ट्यूटर रखे, जहाँ उन्होंने विज्ञान, इतिहास और दर्शन में व्यापक रुचि ली और उतनी ही रुचि के साथ तैराकी और जिम्नास्टिक भी किया। उनके छोटे भाई ह्यूगो (Hugo) एक प्रतिष्ठित शरीर विज्ञानी बने। व्यायामशाला में उनके गणित शिक्षक अर्न्स्ट कुमेर (Ernst Kummer) थे, जिन्होंने उनकी प्रतिभा को पहचाना और उसे बढ़ावा दिया - एक ऐसा रिश्ता जो क्रोनेकर के शेष जीवन को आकार देगा, क्योंकि दोनों पुरुषों के करियर लगातार आपस में मिलते रहे।

उन्होंने 1841 में बर्लिन विश्वविद्यालय में दाखिला लिया, खगोल विज्ञान, दर्शन और गणित के बीच डगमगाते हुए, 1843 की गर्मियों में बॉन (Bonn) में खगोल विज्ञान का अध्ययन किया, फिर 1843-44 के लिए कुमेर के साथ ब्रेसलाऊ (Breslau) गए, उसके बाद बर्लिन लौट आए, जहाँ 1845 में उन्होंने पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट (Peter Gustav Lejeune Dirichlet) के अधीन बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में शोध प्रबंध का बचाव किया।

वह व्यवसायी जिसने गणित किया

इसके बाद उन्होंने जो किया वह उनकी प्रतिभा वाले व्यक्ति के लिए असामान्य था: बिल्कुल भी अकादमिक नहीं। वह एक बड़े कृषि क्षेत्र का प्रबंधन करने और परिवार के व्यवसाय की देखभाल करने के लिए घर लौट आए। उन्होंने 1848 में अपनी चचेरी बहन फैनी प्राउसनिट्ज़र (Fanny Prausnitzer) से शादी की और उनके छह बच्चे थे। वह लगभग एक दशक तक एक समृद्ध प्रांतीय व्यवसायी थे जो संयोगवश किनारे पर मूल गणित प्रकाशित करते थे - जिसमें समीकरणों की बीजगणितीय समाधानक्षमता पर 1853 का एक संस्मरण शामिल है जिसने गैलुआ (Galois) के काम का विस्तार किया, और समूह सिद्धांत (group theory) का उपयोग करके पंचघात समीकरण का 1850 का उपचार (मूलों द्वारा नहीं, जिसे एबेल (Abel) और रफिनी (Ruffini) ने पहले ही असंभव दिखा दिया था)।

व्यवसाय इतना सफल रहा कि 1855 में वह बर्लिन लौट सकते थे और बिना किसी पद और बिना किसी आवश्यकता के एक निजी विद्वान के रूप में वहां रह सकते थे। 1861 में बर्लिन अकादमी में चुनाव ने उन्हें विश्वविद्यालय में व्याख्यान देने का अधिकार दिया, जो उन्होंने 1862 में शुरू किया; उन्होंने बिना कुर्सी के दो दशक तक पढ़ाया। 1866 में उन्होंने गोटिंगेन (Göttingen) में गणित की कुर्सी को अस्वीकार कर दिया - गॉस (Gauss) और डिरिचलेट की सीट, जो यकीनन यूरोपीय गणित में सबसे प्रतिष्ठित पद था - उन्होंने बर्लिन को प्राथमिकता दी। केवल 1883 में, जब कुमेर सेवानिवृत्त हुए, तब उन्होंने एक सामान्य प्रोफेसरशिप ली, और उस स्कूल मास्टर का उत्तराधिकारी बने जिसने उन्हें खोजा था।

संख्या सिद्धांत का सबसे प्यारा सपना

क्रोनेकर का गणित उस तरह का है जो एक अनुशासन को बंद करने के बजाय उसे बोता है। उन्होंने 1853 में वह सूत्रित किया जो बाद में क्रोनेकर-वेबर प्रमेय (Kronecker-Weber theorem) बन गया, जिसका पूर्ण प्रमाण डेविड हिल्बर्ट (David Hilbert) ने बाद में प्रदान किया। उन्होंने परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों (finitely generated abelian groups) के लिए संरचना प्रमेय पेश किया, जो आधुनिक बीजगणित के भार-वहन परिणामों में से एक है। उन्होंने अण्डाकार कार्यों (elliptic functions) पर काम किया और जिसे उन्होंने "सबसे प्यारा युवा सपना" (liebster Jugendtraum) कहा, उसकी कल्पना की - स्पष्ट क्लास फील्ड थ्योरी (explicit class field theory) का एक दृष्टिकोण जिसे हिल्बर्ट ने बाद में अपनी बारहवीं समस्या में शामिल कर लिया, जहाँ यह एक जीवित शोध कार्यक्रम बना हुआ है।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में उन्होंने डेडकाइंड (Dedekind) के आदर्शों (ideals) के सिद्धांत के विकल्प के रूप में विभाजकों (divisors) का एक सिद्धांत बनाया, और उन्होंने ऐसा तकनीकी कारणों के बजाय दार्शनिक कारणों से किया: विभाजकों को स्पष्ट निर्माण द्वारा संभाला जा सकता था, जबकि आदर्शों को अनंत सेट की आवश्यकता थी। डेडकाइंड का दृष्टिकोण सदी जीत गया, और क्रोनेकर का दृष्टिकोण व्यापक रूप से जिज्ञासा के रूप में माना जाता था - जब तक कि बीसवीं सदी ने इसे पुनर्जीवित नहीं किया। उनका नाम अब गणितीय फर्नीचर की एक अविश्वसनीय मात्रा से जुड़ा हुआ है: क्रोनेकर डेल्टा, क्रोनेकर उत्पाद, क्रोनेकर प्रतीक, क्रोनेकर सीमा सूत्र, क्रोनेकर प्रमेय, क्रोनेकर लेम्मा, क्रोनेकर-कैपेली प्रमेय, क्रोनेकर प्रतिस्थापन।

अनंत पर युद्ध

जिस दार्शनिक स्थिति ने विभाजक सिद्धांत को जन्म दिया, उसने शत्रुता सहित बाकी सब कुछ भी उत्पन्न किया। क्रोनेकर का मानना था कि गणित को पूर्णांकों से परिमित, स्पष्ट निर्माण द्वारा बनाया जाना चाहिए - एक सिद्धांत जिसे अब परिमितवाद (finitism) कहा जाता है, जिसने उन्हें अंतर्ज्ञानवाद (intuitionism) का अग्रदूत बना दिया। उन्होंने निरंतरता की अवधारणा और वास्तविक विश्लेषण में अपरिमेय संख्याओं के पुनर्निर्माण में योगदान दिया, लेकिन उन्होंने दार्शनिक आधार पर वायरस्ट्रास (Weierstrass) के निरंतर गैर-विभेदक कार्य को खारिज कर दिया, और वास्तविक अनंताओं के पदानुक्रम के साथ जॉर्ज कैंटर (Georg Cantor) के सेट सिद्धांत पर अवैध होने के रूप में हमला किया।

उन्होंने इन विचारों को सेमिनार तक ही सीमित नहीं रखा। उनके अभियान ने कार्ल वायरस्ट्रास (Karl Weierstrass) के साथ उनके रिश्ते को इतना तनावपूर्ण बना दिया कि 1888 में वायरस्ट्रास लगभग विश्वविद्यालय छोड़ गए। अपने जीवन के अंतिम वर्ष में क्रोनेकर ने ईसाई धर्म अपना लिया। 29 दिसंबर 1891 को बर्लिन में उनकी मृत्यु हो गई और उन्हें शोनबर्ग (Schöneberg) के ऑल्टर सेंट मैथियस किर्चहॉफ (Alter St Matthäus Kirchhof) कब्रिस्तान में दफनाया गया।

लियोपोल्ड को जीनियस क्यों कहा जाता है

यह मामला एक विशिष्ट और दुर्लभ संयोजन पर टिका है: संरचना के लिए एक बीजगणितज्ञ की प्रवृत्ति और रचनात्मक सामग्री के लिए एक लगभग जुनूनी मांग। क्रोनेकर एक गणितीय वस्तु को स्वीकार करने में असमर्थ प्रतीत होते थे जिसे वह सिद्धांत रूप में नहीं बना सकते थे - और यह बाधा, जो एक सीमा की तरह दिखती है, ने एक जनरेटर के रूप में कार्य किया। इसने विभाजक सिद्धांत, परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों के लिए संरचना प्रमेय, क्रोनेकर-वेबर प्रमेय और जुगेंडट्राम का उत्पादन किया, जिनमें से कई ने अपने क्षेत्रों को पुनर्गठित किया। उनके अनुमान भी असामान्य रूप से अच्छी तरह से लक्षित थे: यह कुछ कहता है कि हिल्बर्ट ने उनमें से एक को साबित करने और दूसरे को एक नामित समस्या के रूप में प्रतिष्ठित करने में महत्वपूर्ण प्रयास खर्च किए।

ईमानदार प्रति-मामला यह है कि पूरी तरह से गणित के बारे में उनका निर्णय खराब था, और बहुत महंगा था। वह वायरस्ट्रास के रोग संबंधी कार्य के बारे में गलत थे, जो अब स्नातक की मानक सामग्री है। वह कैंटर के बारे में गलत थे, जिनका ट्रांसफिनिट अंकगणित मौलिक हो गया। उनका पसंदीदा विभाजक सिद्धांत एक सदी के अधिकांश समय के लिए डेडकाइंड के आदर्शों द्वारा ग्रहण किया गया था, जो बताता है कि उनके रचनात्मक संकोच ने उस समय वास्तविक अभिव्यंजक शक्ति की कीमत चुकाई थी। और उन्होंने इन विश्वासों को व्यक्तिगत क्रूरता के साथ दबाया जिसने वायरस्ट्रास के कद के एक सहयोगी को बर्लिन से बाहर निकाल दिया - ऐसा व्यवहार जिसे इतिहासकार केवल कठोरता के रूप में माफ नहीं कर पाए हैं। निष्पक्ष सारांश यह है कि क्रोनेकर प्रथम श्रेणी के गणितज्ञ और द्वितीय श्रेणी के भविष्यद्वक्ता थे: उनके प्रमेय उनकी राय की तुलना में बहुत बेहतर उम्र के हैं, और उनके दार्शनिक आपत्तियां उनके द्वारा इरादा किए गए कार्यक्रम की तुलना में गणित के भीतर एक स्थायी अल्पसंख्यक स्थिति के रूप में अधिक उपयोगी साबित हुईं।

विरासत

उन्हें 1861 में प्रशियाई विज्ञान अकादमी, 1868 में फ्रांसीसी विज्ञान अकादमी और 1884 में रॉयल सोसाइटी के लिए चुना गया था, और क्षुद्रग्रह 25624 क्रोनेकर उनका नाम वहन करता है। उन्होंने कर्ट हेंसल (Kurt Hensel), एडॉल्फ नेसर (Adolf Kneser), मैथियास लेर्च (Mathias Lerch) और फ्रांज़ मर्टेंस (Franz Mertens) की देखरेख की - हेंसल की p-adic संख्याएं रचनात्मक आवेग का सीधा वंशज हैं। बीसवीं सदी के उनके विभाजक सिद्धांत के पुनरुद्धार, और एक गंभीर आधारभूत विकल्प के रूप में अंतर्ज्ञानवाद के अस्तित्व का मतलब है कि जिस व्यक्ति ने अपने जीवनकाल में बहस खो दी थी, उसने कभी पूरी तरह से नहीं खोई।