जोसेफ ताइखमान: वह ज्यामितीय जो बाज़ार में गए

उनके 1999 के डॉक्टरेट शोध प्रबंध का शीर्षक था 'फंक्शनल एनालिसिस के दृष्टिकोण से अनंत-आयामी ली ग्रुप्स का सिद्धांत (The Theory of Infinite-Dimensional Lie Groups from the Point of View of Functional Analysis)'। उस वाक्य में ऐसा कुछ भी नहीं है जो किसी ऐसे व्यक्ति का संकेत दे जो अंततः पृथ्वी पर हर गंभीर मात्रात्मक वित्त सम्मेलन के कार्यक्रम में शामिल होगा, या पंद्रह साल बाद फ्रांसीसी विज्ञान अकादमी का लुई बाशेलियर पुरस्कार (Louis Bachelier Prize) प्राप्त करेगा। लेकिन ब्याज दर वक्र समय के साथ विकसित होने वाली एक अनंत-आयामी वस्तु है, और एक बार जब जोसेफ ताइखमान (Josef Teichmann) ने उस पर ध्यान दिया, तो अमूर्त ज्यामिति और बांड बाजार के बीच की दूरी वास्तव में बहुत कम हो गई।

लिएन्ज़ से वियना तक

ताइखमान का जन्म 27 अगस्त 1972 को ऑस्ट्रिया के टायरॉल में लिएन्ज़ में हुआ था। उन्होंने ग्राज़ विश्वविद्यालय में गणित पढ़ा और उसके बाद अनंत-आयामी अंतर ज्यामिति के अग्रणी आंकड़ों में से एक, पीटर डब्ल्यू. मिचोर (Peter W. Michor) के मार्गदर्शन में डॉक्टरेट के काम के लिए वियना विश्वविद्यालय चले गए। 1999 में पूरा हुआ यह शोध प्रबंध पूरी तरह से उसी दुनिया में था: अनंत आयाम के ली ग्रुप्स (Lie groups), जिसे आमतौर पर विषय का मार्गदर्शन करने वाली परिमित-आयामी अंतर्ज्ञान के बजाय फंक्शनल एनालिसिस के माध्यम से देखा गया था।

इसके बाद उन्होंने वियना यूनिवर्सिटी ऑफ टेक्नोलॉजी में पोस्ट-डॉक्टरल पद संभाला और 2002 में वहां हबिलिटेटेड (Habilitation) हुए - जो जर्मन-भाषी शैक्षणिक प्रणाली में चेयर संभालने के लिए औपचारिक लाइसेंस है, और उनके मामले में वह बिंदु है जहां प्रक्षेपवक्र मुड़ गया।

अनंत आयाम, वास्तविक धन

शुद्ध ज्यामिति से गणितीय वित्त की ओर बढ़ना करियर में बदलाव जैसा दिखता है। यह उदाहरणों में बदलाव के अधिक करीब था।

शास्त्रीय विकल्प मूल्य निर्धारण (Option pricing) एक एकल संपत्ति मूल्य को एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में मानता है और पूछता है कि उस पर एक व्युत्पन्न (Derivative) का मूल्य क्या है। ब्याज दरें कठिन हैं, क्योंकि जो हिलता है वह कोई संख्या नहीं बल्कि एक वक्र है: रात भर से लेकर तीस साल तक की हर परिपक्वता पर पैदावार की पूरी अवधि संरचना, जो एक जुड़ी हुई आकृति के रूप में डगमगाती है। हीथ-जैरो-मॉर्टन (Heath–Jarrow–Morton) ढांचा, जिस पर ताइखमान ने व्यापक रूप से काम किया है, उस पूरे वक्र को एक फंक्शन स्पेस में स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में मॉडल करता है। स्टेट वेरिएबल अनंत आयामों में रहता है। जिसका अर्थ है कि एक ज्यामितीय व्यक्ति द्वारा पूछे जाने वाले प्रश्न - स्पेस का आकार क्या है, कौन से सब-मैनिफोल्ड्स गतिशीलता द्वारा संरक्षित हैं, एक प्रवाह कब परिमित-आयामी परिवार के भीतर रहता है - बिल्कुल वही प्रश्न हैं जो वित्त की समस्या पूछती है।

यह उनके करियर का आवर्ती पैटर्न है: ज्यामितीय टूलकिट का एक असाधारण रूप से मजबूत सेट एक ऐसे क्षेत्र में लाना जिसे मुख्य रूप से संभाव्यता और गणना के साथ इलाज किया गया था, और ऐसी संरचना को खोजना जिसे अन्य लोग नहीं देख सकते थे क्योंकि वे इसे खोजने के लिए सुसज्जित नहीं थे।

रफ पाथ्स, मालियाविन कैलकुलस, क्यूबचर

स्टोकेस्टिक विश्लेषण में उनका काम क्षेत्र की सबसे तकनीकी मशीनरी तक फैला हुआ है। मालियाविन कैलकुलस (Malliavin calculus) - यादृच्छिक पथों (Random paths) के स्थान पर एक अंतर कलन - संवेदनशीलता और चिकनाई के परिणाम प्रदान करता है जो अन्यथा दुर्गम हैं। रफ पाथ थ्योरी (Rough path theory) और स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरणों का अध्ययन उस समस्या पर हमला करता है कि शोर से संचालित समीकरण को हल करने का क्या मतलब है जो शास्त्रीय एकीकरण के लिए बहुत अनियमित है। एफिन प्रोसेस (Affine processes) ब्याज दर और अस्थिरता मॉडलिंग के पीछे के व्यवहार्य वर्ग प्रदान करते हैं।

सिद्धांत के साथ गणना की निरंतर चिंता है। स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों के लिए क्यूबचर फॉर्मूले (Cubature formulas) और संख्यात्मक योजनाएं आकर्षक नहीं हैं, लेकिन वे तरीके हैं जिनसे एक मॉडल एक कीमत बन जाता है। ताइखमान की दोनों सिरों पर काम करने की इच्छा - एक छोर पर अनंत-आयामी स्पेस की ज्यामिति, दूसरे पर संख्यात्मक योजना - असामान्य है, और इसका एक बड़ा हिस्सा है कि अभ्यासकर्ता उन्हें क्यों पढ़ते हैं।

सिग्नेचर और रैंडमाइजेशन

सबसे हालिया मोड़ मशीन लर्निंग की ओर है, और यहां भी प्रवेश बिंदु फैशनेबल के बजाय संरचनात्मक है। एक पथ का सिग्नेचर (Signature) पुनरावृत्त इंटीग्रल्स का एक अनंत अनुक्रम है जो पथ के आकार को एनकोड करता है - एक इंजीनियर के अनुमान के बजाय रफ पाथ थ्योरी से उत्पन्न सुविधाओं का एक विहित सेट। सिग्नेचर थ्योरी और गणितीय वित्त पर ताइखमान के व्याख्यान परिणाम का पीछा करते हैं: यदि सिग्नेचर एक प्रक्षेपवक्र का सैद्धांतिक विवरण देते हैं, तो वे वित्तीय समय श्रृंखला पर काम करने वाले लर्निंग एल्गोरिदम को सैद्धांतिक इनपुट देते हैं।

एक समानांतर रेखा रैंडमाइजेशन और रिज़र्वोयर कंप्यूटिंग (Reservoir computing) से संबंधित है, एक ऐसा दृष्टिकोण जिसमें बड़े यादृच्छिक सिस्टम उत्पन्न होते हैं और केवल एक साधारण रीडआउट लेयर को प्रशिक्षित किया जाता है। एक गणितज्ञ के लिए इसकी अपील यह है कि इसका व्यवहार उस तरह से विश्लेषण योग्य है जैसा कि डीप नेटवर्क आमतौर पर नहीं होते हैं। अन्य हालिया कार्य एसिम्प्टोटिक ग्रोथ के एर्गोडिक मजबूत अधिकतमकरण से संबंधित है - यह सवाल कि जब मॉडल स्वयं अनिश्चित हो तो लंबे समय तक पूंजी कैसे बढ़ाई जाए।

ज्यूरिख

वह जून 2009 में ईटीएच ज्यूरिख (ETH Zürich) में गणित विभाग में प्रोफेसर के रूप में शामिल हुए, स्टोकेस्टिक फाइनेंस समूह के भीतर काम कर रहे थे - वह विभाग जिसने आधुनिक गणितीय वित्त को परिभाषित करने के लिए महाद्वीपीय यूरोप में किसी भी अन्य की तुलना में अधिक काम किया है। अगस्त 2023 से उन्होंने विभाग की अध्यक्षता की है। वह दुनिया भर में व्याख्यान देते हैं और प्रस्तुत करते हैं, बाशेलियर कोललोक्वियम (Bachelier Colloquiums) और SIAM वित्तीय गणित बैठकों से लेकर औद्योगिक और अनुप्रयुक्त गणित की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस तक।

मान्यता जल्दी और कई दिशाओं से आई: 2005 में ऑस्ट्रियाई गणितीय सोसाइटी का पुरस्कार, 2006 में ऑस्ट्रियाई विज्ञान कोष से एक START-Preis - युवा शोधकर्ताओं के लिए ऑस्ट्रिया का सबसे प्रतिष्ठित पुरस्कार - और 2014 में फ्रांसीसी विज्ञान अकादमी का लुई बाशेलियर पुरस्कार।

जोसेफ को प्रतिभाशाली क्यों कहा जाता है

मेरे सामने कोई भी स्रोत उन पर इस शब्द को लागू नहीं करता है, और एक बनाना बेईमानी होगी। रिकॉर्ड जो समर्थन करता है वह एक विशिष्ट और असामान्य संज्ञानात्मक प्रोफ़ाइल है: असामान्य सीमा, जिसे स्थानांतरण तंत्र के रूप में तैनात किया गया है। वित्त में जाने वाले अधिकांश गणितज्ञ संभाव्यता लाते हैं। ताइखमान अनंत-आयामी अंतर ज्यामिति लाए, एक ऐसा विषय जिसका बाजारों से कोई स्पष्ट संबंध नहीं है जब तक कि आप यह नहीं देखते कि यील्ड वक्र एक फंक्शन स्पेस में एक बिंदु है और इसका विकास एक प्रवाह है। ऐसा एक बार करना एक अच्छा विचार है। इसे बार-बार करना - रफ पाथ्स में, एफिन प्रोसेस में, मशीन लर्निंग के लिए सिग्नेचर मेथड्स में - एक ऐसे दिमाग का सुझाव देता है जो इसे कैसे गिनना है, यह पूछने से पहले आदत के रूप में पूछता है कि समस्या की ज्यामिति क्या है।

दूसरा गुण नीचे की ओर विशेषज्ञता से इनकार करना है। एक गणितज्ञ के लिए लगातार अधिक अमूर्त या लगातार अधिक अनुप्रयुक्त होना सामान्य है। ताइखमान ने दोनों को रखा है, अनंत-आयामी स्पेस की संरचना पर और क्यूबचर योजनाओं पर प्रकाशन किया है जो कार्यान्वित होते हैं, और बाशेलियर पुरस्कार ठीक उस संयोजन के लिए दिया गया सम्मान है।

ईमानदार काउंटर-केस: वह उच्च विशिष्टता के एक कामकाजी शोध गणितज्ञ हैं, न कि कोई ऐसी आकृति जिसका नाम किसी प्रमेय के साथ जुड़ा हो जिसने किसी क्षेत्र को पुनर्गठित किया हो। उनके पुरस्कार राष्ट्रीय और अनुशासनात्मक हैं न कि फील्ड्स मेडल या एबेल। उनके सबसे अधिक उद्धृत आउटपुट का एक बड़ा हिस्सा सहयोगी है, जैसा कि गणितीय वित्त में सामान्य है। और मशीन लर्निंग का काम इतना हालिया है कि इसकी स्थायित्व स्थापित नहीं है - सिग्नेचर मेथड्स मानक उपकरण या फुटनोट बन सकते हैं, और यह कहना बहुत जल्दी है कि कौन सा। वह अपने क्षेत्र के सबसे मजबूत और सबसे बहुमुखी गणितज्ञों में से हैं, जो एक वास्तविक अंतर है और प्रतिभा से अलग है।

विरासत

ताइखमान ने ज्यूरिख में जो बनाया है वह एक पुल है जिसमें दोनों दिशाओं में ट्रैफ़िक चलता है: ज्यामिति और स्टोकेस्टिक विश्लेषण मूल्य निर्धारण और हेजिंग समस्याओं में फीड कर रहे हैं जो बैंकों को वास्तव में सामना करना पड़ता है, और उन समस्याओं की अक्षमता बदले में नई शुद्ध गणित उत्पन्न करती है। 2023 से ईटीएच गणित विभाग की अध्यक्षता करना उन्हें उन संस्थानों में से एक का प्रभारी बनाता है जो यह तय करते हैं कि इस काम की अगली पीढ़ी कैसी दिखती है। अनंत-आयामी ली ग्रुप्स पर थीसिस एक शुरुआती बिंदु से कम और उपकरणों का एक सेट अधिक निकला जिसे वह तब से, तेजी से असंभावित स्थानों में, खोल रहे हैं।