यदि प्रमाण सही है तो किसी अन्य मान्यता की आवश्यकता नहीं है
Grigori Yakovlevich Perelman एक रूसी गणितज्ञ हैं जो ज्यामितीय विश्लेषण, Riemannian ज्यामिति और ज्यामितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में अपने योगदान के लिए जाने जाते हैं।
1990 के दशक में, आंशिक रूप से Yuri Burago, Mikhael Gromov और Anton Petrunin के साथ सहयोग में, उन्होंने Alexandrov स्पेस के अध्ययन में प्रभावशाली योगदान दिए। 1994 में, उन्होंने Riemannian ज्यामिति में soul अनुमान को साबित किया, जो पिछले 20 वर्षों से एक खुली समस्या थी। 2002 और 2003 में, उन्होंने Ricci प्रवाह के विश्लेषण में नई तकनीकें विकसित कीं, जिससे Poincaré अनुमान और Thurston की ज्यामितीकरण अनुमान के प्रमाण का विस्तृत रेखाचित्र मिला, जिनमें से पहली गणित में पिछली एक सदी से एक प्रसिद्ध खुली समस्या थी। Perelman के कार्य के पूर्ण विवरण को विभिन्न लेखकों द्वारा निम्नलिखित कई वर्षों में भरा गया और समझाया गया।
अगस्त 2006 में, Perelman को "ज्यामिति में उनके योगदान और Ricci प्रवाह की विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय संरचना में उनकी क्रांतिकारी अंतर्दृष्टि" के लिए Fields पदक की पेशकश की गई थी, लेकिन उन्होंने पुरस्कार को अस्वीकार कर दिया, कहा: "मुझे पैसे या प्रसिद्धि में दिलचस्पी नहीं है; मैं चिड़ियाघर में एक जानवर की तरह प्रदर्शन पर नहीं रहना चाहता।" 22 दिसंबर 2006 को, वैज्ञानिक पत्रिका Science ने Perelman के Poincaré अनुमान के प्रमाण को "Breakthrough of the Year" के रूप में मान्यता दी, गणित के क्षेत्र में पहली ऐसी मान्यता।
18 मार्च 2010 को, घोषणा की गई कि उन्होंने Poincaré अनुमान के समाधान के लिए पहला Clay Millennium पुरस्कार प्राप्त करने के लिए मानदंड पूरे किए हैं। 1 जुलाई 2010 को, उन्होंने दस लाख डॉलर के पुरस्कार को अस्वीकार कर दिया, यह कहते हुए कि वह Clay Institute के बोर्ड के निर्णय को अन्यायपूर्ण मानते हैं, इसमें कि Poincaré अनुमान को हल करने में उनका योगदान Richard S. Hamilton के योगदान से अधिक नहीं था, गणितज्ञ जिन्होंने Ricci प्रवाह को अंशतः अनुमान पर हमला करने के लक्ष्य के साथ विकसित किया। उन्होंने 1996 में European Mathematical Society के प्रतिष्ठित पुरस्कार को पहले ही अस्वीकार कर दिया था।
प्रारंभिक जीवन और शिक्षा
Grigori Yakovlevich Perelman का जन्म Leningrad, Soviet Union में 13 जून 1966 को हुआ था, जो अब Saint Petersburg, Russia है, रूसी-यहूदी माता-पिता Yakov (जो अब Israel में रहते हैं) और Lyubov (जो अभी भी Saint Petersburg में Grigori के साथ रहती हैं) के लिए। Grigori की माता Lyubov ने उन्हें पालने के लिए गणित में स्नातक कार्य छोड़ दिया। Grigori की गणितीय प्रतिभा दस साल की उम्र में स्पष्ट हो गई, और उनकी माता ने उन्हें Sergei Rukshin के स्कूल के बाद गणित प्रशिक्षण कार्यक्रम में नामांकित किया।
उनकी गणितीय शिक्षा Leningrad Secondary School #239 में जारी रही, एक विशेष स्कूल जिसमें उन्नत गणित और भौतिकी कार्यक्रम हैं। Grigori शारीरिक शिक्षा को छोड़कर सभी विषयों में उत्कृष्ट थे। 1982 में, International Mathematical Olympiad में प्रतिस्पर्धा करने वाली Soviet Union टीम के सदस्य के रूप में, जो उच्च विद्यालय के छात्रों के लिए एक अंतर्राष्ट्रीय प्रतियोगिता है, उन्होंने एक सोने का पदक जीता, एक परिपूर्ण स्कोर प्राप्त किया। वह Leningrad State University के The School of Mathematics and Mechanics के छात्र के रूप में जारी रहे, बिना प्रवेश परीक्षा के और विश्वविद्यालय में नामांकित हुए।
1990 में अपनी PhD पूरी करने के बाद, Perelman ने USSR Academy of Sciences के Leningrad Department of Steklov Institute of Mathematics में काम करना शुरू किया, जहां उनके सलाहकार Aleksandr Aleksandrov और Yuri Burago थे। 1980 के दशक के अंत और 1990 के दशक की शुरुआत में, geometer Mikhail Gromov की मजबूत सिफारिश के साथ, Perelman ने संयुक्त राज्य अमेरिका में कई विश्वविद्यालयों में अनुसंधान पद प्राप्त किए। 1991 में Perelman ने Aleksandrov के curvature bounded from below के स्पेस पर अपने काम के लिए St. Petersburg Mathematical Society का Young Mathematician पुरस्कार जीता। 1992 में, उन्हें New York University के Courant Institute और Stony Brook University में एक-एक सेमेस्टर बिताने के लिए आमंत्रित किया गया, जहां उन्होंने Ricci curvature पर निचली सीमा वाले manifolds पर काम करना शुरू किया। वहां से, उन्होंने 1993 में University of California, Berkeley में दो साल की Miller Research Fellowship स्वीकार की। 1994 में soul अनुमान को साबित करने के बाद, उन्हें अमेरिका के कई शीर्ष विश्वविद्यालयों में, including Princeton और Stanford में नौकरी की पेशकश की गई, लेकिन उन्होंने सभी को अस्वीकार कर दिया और 1995 की गर्मियों में Saint Petersburg में Steklov Institute में केवल अनुसंधान पद के लिए वापस आए।
1990 के दशक में अनुसंधान
इस अवधि में Perelman का सबसे उल्लेखनीय काम Alexandrov स्पेस के क्षेत्र में था, जिसकी अवधारणा 1950 के दशक की है। Yuri Burago और Mikhail Gromov के साथ सह-लेखित एक प्रसिद्ध 1992 पत्र में, Perelman ने इस क्षेत्र की आधुनिक नींव को रखा, Gromov-Hausdorff convergence की धारणा को एक आयोजन सिद्धांत के रूप में। 1993 में, Perelman ने इन गैर-smooth स्पेस पर Morse सिद्धांत की धारणा विकसित की। Alexandrov स्पेस पर अपने काम के लिए, Perelman को 1994 International Congress of Mathematicians पर व्याख्यान देने के लिए आमंत्रित किया गया।
Cheeger और Gromoll के soul अनुमान, जिसे 1972 में तैयार किया गया था, कहते हैं:
मान लीजिए (M, g) एक पूर्ण, जुड़ा हुआ और गैर-compact Riemannian manifold है sectional curvature K ≥ 0 के साथ, और M में एक बिंदु मौजूद है जहां sectional curvature (सभी sectional दिशाओं में) सख्ती से सकारात्मक है। तब M की soul एक बिंदु है; समतुल्य रूप से M is diffeomorphic to Rn.
यह दिलचस्प था क्योंकि Cheeger और Gromoll ने मजबूत धारणा के तहत परिणाम स्थापित किया था कि सभी sectional curvatures सकारात्मक हैं। जैसा कि nonnegative से positive curvature में विकृति अच्छी तरह से समझी नहीं जाती है, soul अनुमान का प्रस्ताव दिया गया था। 1994 में, Perelman ने यह साबित करके अनुमान का एक संक्षिप्त और सुंदर प्रमाण दिया कि सामान्य मामले में K ≥ 0, Sharafutdinov का retraction P : M → S एक submersion है।
Perelman के 1994 से 1997 तक के तीन उल्लेखनीय पत्र positive Ricci curvature वाले विभिन्न दिलचस्प Riemannian manifolds के निर्माण से संबंधित हैं।
ज्यामितीकरण और Poincaré अनुमान
समस्या
Poincaré अनुमान, जिसे फ्रांसीसी गणितज्ञ Henri Poincaré ने 1904 में प्रस्तावित किया था, टोपोलॉजी में मुख्य समस्याओं में से एक था। 3-sphere पर कोई भी loop—जैसा कि चार-आयामी Euclidean space में उत्पत्ति से दूरी 1 पर बिंदुओं के सेट द्वारा उदाहरण दिया गया है—एक बिंदु में सिकुड़ा जा सकता है। Poincaré अनुमान यह दावा करता है कि कोई भी बंद तीन-आयामी manifold, जैसे कि कोई भी loop एक बिंदु में सिकुड़ा जा सकता है, स्थलीय रूप से एक 3-sphere है। अनुरूप परिणाम को 1960 के बाद से पाँच से अधिक या उसके बराबर आयामों में सत्य माना जाता है, जैसा कि Stephen Smale के काम में है। चार-आयामी मामला अधिक समय तक प्रतिरोध करता रहा, अंत में 1982 में Michael Freedman द्वारा हल किया गया। लेकिन तीन-manifolds का मामला सभी में सबसे कठिन साबित हुआ। मोटे तौर पर, ऐसा इसलिए है क्योंकि तीन-manifold में स्थलीय रूप से हेरफेर करने में "समस्याग्रस्त क्षेत्रों" को बाहर निकालने के लिए बहुत कम आयाम हैं बिना किसी और चीज़ में हस्तक्षेप किए। तीन-आयामी मामले में सबसे मौलिक योगदान Richard S. Hamilton द्वारा दिया गया था। Perelman की भूमिका Hamilton कार्यक्रम को पूरा करना था।
Perelman का प्रमाण
नवंबर 2002 में, Perelman ने arXiv को तीन preprints में से पहला पोस्ट किया, जिसमें उन्होंने ज्यामितीकरण अनुमान के प्रमाण की रूपरेखा तैयार करने का दावा किया, जिसमें Poincaré अनुमान एक विशेष मामला है। इसके बाद 2003 में दो अन्य preprints आए।
Perelman ने अनुमान के प्रमाण के लिए Richard S. Hamilton के कार्यक्रम को संशोधित किया। केंद्रीय विचार Ricci प्रवाह की धारणा है। Hamilton का मूल विचार एक "dynamical process" तैयार करना है जिसमें एक दिया गया three-manifold ज्यामितीय रूप से विकृत होता है, विकृति प्रक्रिया को heat equation के समान एक differential equation द्वारा नियंत्रित किया जाता है। Heat equation जिसने बहुत पहले Riemann को zeta function के शून्य पर अपनी Riemann hypothesis बताने के लिए प्रेरित किया, scalar quantities जैसे temperature के व्यवहार का वर्णन करता है। यह सुनिश्चित करता है कि उच्च तापमान की सांद्रता तब तक फैल जाएगी जब तक पूरी object में uniform temperature न हो जाए। इसी तरह, Ricci प्रवाह एक tensorial quantity, Ricci curvature tensor के व्यवहार का वर्णन करता है। Hamilton की आशा यह थी कि Ricci प्रवाह के तहत बड़े curvature की सांद्रता तब तक फैल जाएगी जब तक पूरे three-manifold पर uniform curvature न हो जाए। यदि ऐसा है, यदि कोई कोई भी three-manifold से शुरू करता है और Ricci प्रवाह को होने देता है, तो सिद्धांत में, अंत में एक तरह का "normal form" प्राप्त करना चाहिए। William Thurston के अनुसार यह normal form कई संभावनाओं में से एक लेना चाहिए, प्रत्येक का एक अलग प्रकार की ज्यामिति है, जिसे Thurston model geometries कहा जाता है।
हालांकि, यह व्यापक रूप से माना जाता था कि प्रक्रिया को विकसित होने वाली "singularities" से बाधित किया जाएगा। 1990 के दशक में, Hamilton ने हो सकने वाली singularities के संभावित प्रकारों को समझने में प्रगति की, लेकिन एक व्यापक विवरण प्रदान करने में असमर्थ था। Perelman के लेख ने एक समाधान की रूपरेखा दी। Perelman के अनुसार, हर singularity या तो एक cylinder जो अपनी axis को सिकुड़ता है, या एक sphere जो अपने केंद्र को सिकुड़ता है, जैसा दिखता है। इस समझ के साथ, वह standard Ricci प्रवाह के संशोधन का निर्माण करने में सक्षम था, जिसे Ricci प्रवाह with surgery कहा जाता है, जो systematic रूप से singular regions को excise कर सकता है जैसे-जैसे वे विकसित होते हैं, एक नियंत्रित तरीके से। Ricci प्रवाह with surgery का विचार Hamilton के 1993 के लेख से मौजूद था, जिन्होंने इसे 1997 में higher-dimensional spaces की सेटिंग में सफलतापूर्वक किया था जो कुछ प्रतिबंधित ज्यामितीय स्थितियों के अधीन थे। Perelman की surgery प्रक्रिया broadly समान थी Hamilton के लिए लेकिन अपने technical पहलुओं में striking रूप से अलग थी।
Perelman ने दिखाया कि finite time में विकसित होने वाली कोई भी singularity अनिवार्य रूप से 3-manifold के prime decomposition के अनुरूप कुछ spheres के साथ एक "pinching" है। इसके अलावा, कोई भी "infinite time" singularities JSJ decomposition के कुछ collapsing pieces से परिणत होते हैं। Perelman का काम इस दावे को साबित करता है और इस प्रकार geometrization अनुमान को साबित करता है।
तीन papers की contents नीचे सारांशित हैं:
- पहला preprint, The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, Ricci प्रवाह के अध्ययन में कई उपन्यास तकनीकें प्रदान करता है, जिसका प्रमुख परिणाम एक theorem है जो प्रवाह के high-curvature regions का एक quantitative characterization देता है।
- दूसरा preprint, Ricci flow with surgery on three-manifolds, पहले paper के कुछ गलत बयानों को ठीक करता है और कुछ details को भरता है, और पहले paper के मुख्य परिणाम को surgery प्रक्रिया को निर्धारित करने के लिए उपयोग करता है। paper का दूसरा आधा infinite time के लिए मौजूद Ricci flows के विश्लेषण के लिए समर्पित है।
- तीसरा preprint, Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, Poincaré अनुमान के प्रमाण के लिए एक शॉर्टकट प्रदान करता है जो दूसरे preprint के दूसरे आधे में arguments से बचाता है। यह दिखाता है कि Poincaré अनुमान की assumptions को संतुष्ट करने वाली किसी भी space पर, Ricci प्रवाह with surgery केवल finite time के लिए मौजूद है, ताकि Ricci प्रवाह का infinite-time analysis irrelevant हो।
Tobias Colding और William Minicozzi II ने Perelman के तीसरे preprint
