जॉर्ज कैंटर: वह व्यक्ति जिसने अनंत को गणनीय बनाया

जनवरी 1874 में कैंटर ने अपने मित्र रिचर्ड डेडकिंड (Richard Dedekind) के सामने एक सवाल रखा: "क्या एक सतह (मान लीजिए एक वर्ग जिसमें उसकी सीमाएं शामिल हैं) को एक रेखा के साथ विशिष्ट रूप से संदर्भित किया जा सकता है... ताकि सतह के हर बिंदु के लिए रेखा का एक संबंधित बिंदु हो, और इसके विपरीत?" उन्होंने माना कि उत्तर स्पष्ट रूप से नहीं है। तीन साल बाद उन्होंने साबित किया कि उत्तर हां है — कि एक पूरा वर्ग, और वास्तव में किसी भी आयाम वाली जगह, में उतने ही बिंदु होते हैं जितने एक एकल रेखाखंड में। उन्होंने तुरंत डेडकिंड को लिखा: "मैं इसे देख रहा हूँ, लेकिन मुझे विश्वास नहीं हो रहा है!"

सेंट पीटर्सबर्ग में एक व्यापारी का बेटा

जॉर्ज फर्डिनेंड लुडविग फिलिप कैंटर (Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor) का जन्म 3 मार्च 1845 को सेंट पीटर्सबर्ग में हुआ था। उनके पिता जॉर्ज वाल्डेमर कैंटर (Georg Waldemar Cantor) एक सफल व्यापारी थे; उनकी माँ मारिया एना बोहम (Maria Anna Böhm) रूसी थीं और संगीत में काफी निपुण थीं। 1856 में, जब जॉर्ज ग्यारह वर्ष के थे, उनके पिता के खराब स्वास्थ्य के कारण परिवार को जर्मनी जाना पड़ा, जहाँ वे सबसे पहले विस्बाडेन में बस गए।

उन्होंने फ्रैंकफर्ट में व्यायामशाला (Gymnasium) और डार्मस्टेड में रीयलशूले (Realschule) में भाग लिया, 1860 में गणित और त्रिकोणमिति में असाधारण अंकों के साथ स्नातक किया। उनके पिता उन्हें इंजीनियरिंग के लिए तैयार करना चाहते थे; कैंटर ने इसके बजाय गणित पढ़ने की अनुमति ली। उन्होंने 1862 में ज्यूरिख पॉलिटेक्निक (Zürich Polytechnic) में प्रवेश लिया, और जून 1863 में अपने पिता की मृत्यु के बाद बर्लिन विश्वविद्यालय में स्थानांतरित हो गए, जहाँ उन्होंने वीयरस्ट्रास (Weierstrass), कुम्मर (Kummer) और लियोपोल्ड क्रोनकर (Leopold Kronecker) के अधीन अध्ययन किया, और हरमन श्वार्ज़ (Hermann Schwarz) से दोस्ती की। अनिश्चित समीकरणों पर उनका शोध प्रबंध 1867 में पूरा हुआ।

हाले, और हेइन की समस्या

बर्लिन के एक गर्ल्स स्कूल में पढ़ाने के बाद, कैंटर 1869 में हाले विश्वविद्यालय (University of Halle) में शामिल हुए — वह प्रांतीय संस्थान जहाँ उन्होंने अपना पूरा करियर बिताया। उनके सहयोगी हेइन (Heine) ने उन्हें त्रिकोणमितीय श्रृंखला निरूपणों की विशिष्टता के बारे में एक लंबे समय से चली आ रही समस्या दी। कैंटर ने अप्रैल 1870 तक इसे हल कर लिया।

वह समस्या हर चीज का बीज है। उन असाधारण बिंदुओं को ट्रैक करना जहाँ ऐसी श्रृंखला खराब व्यवहार कर सकती है, ने उन्हें अनंत बिंदुओं के समुच्चय के बारे में गहराई से सोचने पर मजबूर कर दिया, और 1872 तक उन्होंने परिमेय संख्याओं के अभिसरण अनुक्रमों के माध्यम से अपरिमेय संख्याओं को परिभाषित कर लिया था और डेडकिंड के साथ पत्राचार शुरू कर दिया था जो एक दशक तक बना रहा।

एक से अधिक अनंत

1874 में कैंटर ने वह परिणाम प्रकाशित किया जिसने दुनिया को हिला दिया। उन्होंने साबित किया कि परिमेय संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है — वे गणनीय (countable) हैं — जबकि वास्तविक संख्याएं ऐसा नहीं हो सकती हैं। केवल एक अनंत नहीं है; कम से कम दो हैं, और वे अलग-अलग आकार के हैं।

यह विधि वह मानदंड थी जिसे उन्होंने आविष्कार किया था: दो संग्रह समान आकार के होते हैं यदि उनके सदस्यों को ठीक से जोड़ा जा सके, चाहे उनमें से कोई भी कितना भी बड़ा क्यों न हो। यह एक चाल की तरह लग रहा था, और इसके परिणाम तत्काल और अपमानजनक थे। कैंटर ने देखा कि इसका पालन यह है कि "लगभग सभी" संख्याएं बीजगणितीय के बजाय पारलौकिक (transcendental) हैं — संख्याओं के एक पूरे वर्ग के लिए अस्तित्व का प्रमाण, जिसे किसी एक को प्रदर्शित किए बिना प्राप्त किया गया था।

ट्रांसफाइनाइट (अति-परिमित)

क्रेले (Crelle) के जर्नल में 1878 के उनके पेपर ने "डेन्यूमेरेबल सेट्स (denumerable sets)" शब्द पेश किया। क्रोनकर की दुश्मनी ने लगभग इसके प्रकाशन को रोक दिया और डेडकिंड को हस्तक्षेप करना पड़ा; कैंटर ने फिर कभी क्रेले में सबमिट नहीं किया।

1879 और 1884 के बीच उन्होंने मैथेमेटिश एनालेन (Mathematische Annalen) में छह शोध पत्र प्रकाशित किए जिन्होंने समुच्चय सिद्धांत की नींव रखी। 1883 के Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitslehre ने ट्रांसफाइनाइट संख्याओं को "प्राकृतिक संख्याओं का एक स्वायत्त और व्यवस्थित विस्तार" के रूप में प्रस्तुत किया — कोई हेरफेर या सीमा नहीं, बल्कि ऐसी संख्याएँ जिन्हें आप क्रमबद्ध कर सकते हैं और अंकगणित कर सकते हैं। उन्हें पता था कि वे क्या कर रहे थे: "मुझे एहसास है कि इस उपक्रम में मैं गणितीय अनंत के बारे में व्यापक रूप से आयोजित विचारों के प्रति एक निश्चित विरोध में खुद को रखता हूँ।"

उन्होंने ट्रांसफाइनाइट कार्डिनल्स को हिब्रू अक्षर अलेफ (aleph) के साथ दर्शाया, ℵ₀ सबसे छोटा था, और वास्तविक संख्याओं के आकार को 2^ℵ₀ के रूप में व्यक्त किया। इसने वह सवाल खड़ा कर दिया जिसने उनके बाकी जीवन को खा लिया। क्या सातत्य (continuum) गणनीय के बाद अगला अनंत है — क्या 2^ℵ₀ = ℵ₁? क्रोनकर के रचनात्मकतावाद के खिलाफ उन्होंने अपना घोषणापत्र जारी किया: "गणित का सार ठीक उसकी स्वतंत्रता में निहित है।"

पतन, बेकन, और पोप

कैंटर मई 1884 में पहली बार दर्ज अवसाद से पीड़ित हुए। पुरानी कहानी यह है कि क्रोनकर के उत्पीड़न ने उन्हें पागल कर दिया; आधुनिक पठन कार्य-कारण को उलट देता है, यह मानते हुए कि अवसाद ने उनकी गणितीय चिंताओं को बढ़ा दिया था, न कि उनसे उत्पन्न हुआ था। उन्होंने वर्षों तक इस विश्वास के बीच अदला-बदली की कि उन्होंने सातत्य परिकल्पना को सत्य साबित कर दिया है और यह विश्वास कि उन्होंने इसे गलत साबित कर दिया है, हर बार गलती पाई।

1885 में मिटाग-लेफ्लर (Mittag-Leffler) ने उन्हें एक्टा मैथमैटिका (Acta Mathematica) से एक पेपर वापस लेने के लिए राजी किया, इस आधार पर कि यह लगभग सौ साल पहले का था। कैंटर का मजाक कड़वा था: "यदि मिटाग-लेफ्लर की बात मानी जाती, तो मुझे वर्ष 1984 तक इंतजार करना पड़ता, जो मेरे लिए बहुत बड़ी मांग थी!" उनका पत्राचार प्रभावी रूप से समाप्त हो गया, और इसके साथ ही वह बारह साल की रचनात्मक वृद्धि भी समाप्त हो गई जिसने समुच्चय सिद्धांत का निर्माण किया था।

अपने अवसादग्रस्त दौर में उन्होंने दर्शन और साहित्य की ओर रुख किया, इस सिद्धांत पर स्थिर हो गए कि फ्रांसिस बेकन (Francis Bacon) ने शेक्सपियर के नाटक लिखे थे और 1896-97 में उस पर पैम्फलेट प्रकाशित किए। वह गहराई से धार्मिक भी थे, और मानते थे कि ट्रांसफाइनाइट संख्याएँ ईश्वर द्वारा उन्हें बताई गई थीं। उन्होंने अनंत की प्रकृति के बारे में कैथोलिक धर्मशास्त्रियों के साथ पत्राचार किया और सीधे पोप लियो XIII (Pope Leo XIII) को लिखा, यह उम्मीद करते हुए कि उनका गणित चर्च के सिद्धांत को सूचित कर सकता है।

अंतिम दशक

उन्होंने 1890 के आसपास ड्यूश मैथमैटिकर-वेरिनिगंग (Deutsche Mathematiker-Vereinigung) की स्थापना की और इसके पहले अध्यक्ष के रूप में कार्य किया। उनके अंतिम प्रमुख शोध पत्र, 1895 और 1897 में, ट्रांसफाइनाइट अंकगणित और सुव्यवस्थित समुच्चयों का सर्वेक्षण किया। 1897 की ज्यूरिख अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में उनकी हर्वित्ज़ (Hurwitz) और हैडामर्ड (Hadamard) द्वारा सार्वजनिक रूप से प्रशंसा की गई और डेडकिंड के साथ मेल-मिलाप हुआ।

तब तक उन्होंने खुद दरारें ढूंढ ली थीं, 1896 में हिल्बर्ट (Hilbert) को समुच्चय सिद्धांत में छिपे विरोधाभासों के बारे में सूचित किया; बुराली-फोर्टी (Burali-Forti) ने 1897 में स्वतंत्र रूप से एक प्रकाशित किया। व्यक्तिगत नुकसान जल्दी आया — अक्टूबर 1896 में उनकी माँ, जनवरी 1899 में उनके भाई, और 16 दिसंबर 1899 को उनके सबसे छोटे बेटे का निधन हो गया। अवसाद उनके बाकी जीवन पर हावी रहा, और 1900 के बाद उन्होंने हाले में नर्वेंक्लिनिक (Nervenklinik) में लंबी अवधि बिताई, 1902-03, 1904-05 और 1907-08 की सर्दियों में पढ़ाने से छुट्टी ले ली। उन्हें रॉयल सोसाइटी का कोपली पदक (Copley Medal) और सेंट एंड्रयूज से मानद उपाधि मिली, 1911 में विश्वविद्यालय की 500वीं वर्षगांठ के लिए वहाँ यात्रा की। 6 जनवरी 1918 को हाले में दिल का दौरा पड़ने से उनकी मृत्यु हो गई।

जॉर्ज को प्रतिभाशाली क्यों कहा जाता है

हिल्बर्ट ने खुद शब्द की आपूर्ति की, कैंटर के काम को "गणितीय प्रतिभा का सबसे अच्छा उत्पाद और विशुद्ध बौद्धिक मानवीय गतिविधि की सर्वोच्च उपलब्धियों में से एक" कहा। विशिष्ट गुणवत्ता अंतर्ज्ञान पर परिभाषा पर भरोसा करने की इच्छा थी। उनसे पहले हर कोई अनंत को एक दिशा के रूप में मानता था, मात्रा के रूप में नहीं। कैंटर ने आकार की समानता के लिए एक मानदंड प्रस्तावित किया — सटीक युग्मन — बिना किसी हिचकिचाहट के इसे अनंत संग्रहों पर लागू किया, और इसका पालन जहाँ भी हुआ, वहाँ किया, जिसमें वे निष्कर्ष भी शामिल थे जिन पर उन्हें खुद विश्वास नहीं था। "मैं इसे देख रहा हूँ, लेकिन मुझे विश्वास नहीं हो रहा है" एक ऐसे व्यक्ति का वाक्य है जो अपने ही तर्क द्वारा खींचा जा रहा है, और फिर भी आगे बढ़ रहा है।

विपरीत मामले का उल्लेख करना उचित है। उन्होंने कभी भी सातत्य परिकल्पना को हल नहीं किया, और बार-बार खुद को आश्वस्त किया कि उन्होंने कर लिया है — दोनों दिशाओं में — अपनी गलतियाँ खोजने से पहले, जो समस्या की गहराई के साथ-साथ उनके निर्णय पर भी प्रतिबिंबित होता है। गोडेल (Gödel) और कोहेन (Cohen) ने अंततः दिखाया कि परिकल्पना मानक स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है, इसलिए जिस चीज का उन्होंने तीस वर्षों तक पीछा किया, वह पकड़े जाने के लिए नहीं थी। उन्होंने जो बनाया वह अधूरा और असंगत भी था: उन्होंने अपने स्वयं के सिस्टम में विरोधाभास खोजे, और समुच्चय सिद्धांत को सुरक्षित बनाने के लिए जर्मेलो (Zermelo) के स्वयंसिद्धकरण, और बाद में फ्रेंकेल (Fraenkel) और वॉन न्यूमैन (von Neumann) की आवश्यकता पड़ी। उनकी यह धारणा कि ट्रांसफाइनाइट संख्याएँ ईश्वर से आई थीं, वेटिकन की उनकी लॉबिंग और उनके बेकोनियन पैम्फलेट एक निश्चितता का सुझाव देते हैं जो हमेशा अच्छी तरह से कैलिब्रेटेड नहीं थी। और उन्हें वह प्रतिष्ठित कुर्सी कभी नहीं मिली जो वे चाहते थे, उन्होंने हाले में चालीस साल बिताए।

विरासत

समुच्चय सिद्धांत वह आधार बन गया जिस पर आधुनिक गणित टिका है, प्रिंसिपिया मैथमैटिका (Principia Mathematica) से लेकर जर्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों (Zermelo–Fraenkel axioms) तक जिनका उपयोग गणितज्ञ अभी भी करते हैं। हिल्बर्ट की श्रद्धांजलि वह है जो बनी रही: कोई भी हमें उस स्वर्ग से बाहर नहीं निकालेगा जो कैंटर ने बनाया है।