एवरिस्ट गैलुआ

एवरिस्ट गैलुआ

एवरिस्ट गैलुआ (/ɡælˈwɑː/; फ्रांसीसी: [evaʁist ɡalwa]; 25 अक्टूबर 1811 - 31 मई 1832) एक फ्रांसीसी गणितज्ञ और राजनीतिक कार्यकर्ता थे। किशोरावस्था में ही, वे यह निर्धारित करने में सक्षम थे कि किसी बहुपद को मूलों (radicals) द्वारा कब हल किया जा सकता है, जिससे उन्होंने 350 वर्षों से चली आ रही एक समस्या का समाधान किया। उनके कार्य ने गैलुआ सिद्धांत और समूह सिद्धांत की नींव रखी, जो अमूर्त बीजगणित की दो प्रमुख शाखाएं हैं।

गैलुआ एक कट्टर रिपब्लिकन थे और 1830 की फ्रांसीसी क्रांति के दौरान राजनीतिक उथल-पुथल में गहराई से शामिल थे। अपने राजनीतिक सक्रियता के परिणामस्वरूप, उन्हें बार-बार गिरफ्तार किया गया और एक बार उन्हें कई महीनों की जेल भी हुई। अज्ञात कारणों से, जेल से रिहाई के कुछ ही समय बाद, गैलुआ ने एक द्वंद्वयुद्ध (duel) में भाग लिया और उन्हें लगी चोटों के कारण उनकी मृत्यु हो गई।

जीवन

### प्रारंभिक जीवन

गैलुआ का जन्म 25 अक्टूबर 1811 को निकोलस-गेब्रियल गैलुआ और एडिलेड-मैरी (नी डेमोंटे) के यहाँ हुआ था। उनके पिता एक रिपब्लिकन थे और बौर्ग-ला-रेन की लिबरल पार्टी के प्रमुख थे। 1814 में लुई XVIII के सिंहासन पर लौटने के बाद उनके पिता गाँव के मेयर बने। उनकी माँ, जो एक न्यायविद की बेटी थीं, लैटिन और शास्त्रीय साहित्य की जानकार थीं और उन्होंने अपने बेटे की शुरुआती बारह वर्षों की शिक्षा की जिम्मेदारी ली थी।

अक्टूबर 1823 में, उन्होंने लाइसी लुई-ले-ग्रैंड में प्रवेश लिया, जहाँ उनके शिक्षक लुई पॉल एमिले रिचर्ड ने उनकी प्रतिभा को पहचाना। 14 साल की उम्र में, उन्होंने गणित में गंभीरता से रुचि लेनी शुरू की।

गैलुआ को एड्रियन-मैरी लेजेंड्रे की 'एलिमेंट्स डी ज्यामिति' (Éléments de Géométrie) की एक प्रति मिली, जिसे उन्होंने कथित तौर पर 'एक उपन्यास की तरह' पढ़ा और पहली बार में ही समझ लिया। 15 साल की उम्र में, वह जोसेफ-लुई लैग्रेंज के मूल शोध पत्र पढ़ रहे थे, जैसे कि 'रेफ्लेक्सियन्स सुर ला रेजोल्यूशन अल्जेब्रिक डेस इक्वेशन्स', जिसने संभवतः समीकरण सिद्धांत पर उनके बाद के काम को प्रेरित किया। हालांकि, कक्षा में उनका प्रदर्शन नीरस रहा और शिक्षकों ने उन पर एक प्रतिभाशाली व्यक्ति होने का दिखावा करने का आरोप लगाया।

### उभरते गणितज्ञ

1828 में, गैलुआ ने इकोले पॉलिटेक्निक के लिए प्रवेश परीक्षा देने का प्रयास किया, जो उस समय फ्रांस में गणित के लिए सबसे प्रतिष्ठित संस्थान था, लेकिन बिना पूर्व तैयारी के मौखिक परीक्षा में विफल रहे। उसी वर्ष, उन्होंने इकोले नॉर्मेल (तब ल'इकोल प्रिपरेटोयर के नाम से जाना जाता था) में प्रवेश लिया, जो उस समय गणितीय अध्ययन के लिए एक कमतर संस्थान था, जहाँ उन्हें कुछ सहानुभूति रखने वाले प्रोफेसर मिले।

अगले वर्ष गैलुआ का पहला शोध पत्र, साधारण सतत भिन्नों पर प्रकाशित हुआ। लगभग उसी समय उन्होंने बहुपद समीकरणों के सिद्धांत में मूलभूत खोजें शुरू कीं। उन्होंने इस विषय पर विज्ञान अकादमी में दो शोध पत्र प्रस्तुत किए। अगस्तिन-लुई कौची ने इन पत्रों की समीक्षा की, लेकिन अज्ञात कारणों से उन्हें प्रकाशन के लिए स्वीकार करने से इनकार कर दिया। हालांकि, इसके विपरीत कई दावों के बावजूद, व्यापक रूप से यह माना जाता है कि कौची ने गैलुआ के काम के महत्व को पहचाना था, और उन्होंने केवल अकादमी के गणित के ग्रैंड प्राइज के लिए प्रतियोगिता में प्रवेश करने के लिए दो पत्रों को एक में मिलाने का सुझाव दिया था।

28 जुलाई 1829 को, गाँव के पादरी के साथ कड़वे राजनीतिक विवाद के बाद गैलुआ के पिता ने आत्महत्या कर ली। कुछ दिनों बाद, गैलुआ ने पॉलिटेक्निक में प्रवेश करने का अपना दूसरा और अंतिम प्रयास किया और फिर से विफल रहे। इसमें कोई संदेह नहीं है कि गैलुआ पूरी तरह योग्य थे; उनकी विफलता के कारणों पर विवरण अलग-अलग हैं। अधिक विश्वसनीय विवरण बताते हैं कि गैलुआ ने बहुत अधिक तार्किक छलांगें लगाईं और अयोग्य परीक्षक को उलझा दिया, जिससे गैलुआ क्रोधित हो गए। उनके पिता की हालिया मृत्यु ने भी उनके व्यवहार को प्रभावित किया होगा।

इकोले पॉलिटेक्निक में प्रवेश से वंचित होने के बाद, गैलुआ ने इकोले नॉर्मेल में प्रवेश करने के लिए स्नातक परीक्षाएं दीं। वे सफल रहे और 29 दिसंबर 1829 को उन्हें डिग्री मिली। उनके गणित परीक्षक ने कहा, 'यह छात्र कभी-कभी अपने विचारों को व्यक्त करने में अस्पष्ट होता है, लेकिन वह बुद्धिमान है और अनुसंधान की एक उल्लेखनीय भावना दिखाता है।'

गैलुआ ने समीकरण सिद्धांत पर अपना संस्मरण कई बार प्रस्तुत किया, लेकिन उनके जीवनकाल में इसे कभी प्रकाशित नहीं किया गया। यद्यपि उनके पहले प्रयास को कौची ने अस्वीकार कर दिया था, फरवरी 1830 में कौची के सुझाव के बाद उन्होंने इसे अकादमी के सचिव जोसेफ फूरियर को सौंपा, ताकि इसे अकादमी के ग्रैंड प्रिक्स के लिए माना जा सके। दुर्भाग्य से, फूरियर की जल्द ही मृत्यु हो गई, और संस्मरण खो गया। वह पुरस्कार उस वर्ष नील्स हेनरिक एबेल को मरणोपरांत और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी को दिया गया। खोए हुए संस्मरण के बावजूद, गैलुआ ने उस वर्ष तीन शोध पत्र प्रकाशित किए। एक ने गैलुआ सिद्धांत की नींव रखी। दूसरा समीकरणों के संख्यात्मक समाधान (आधुनिक शब्दावली में मूल खोज) के बारे में था। तीसरा संख्या सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण शोध पत्र था, जिसमें पहली बार परिमित क्षेत्र (finite field) की अवधारणा को स्पष्ट किया गया था।

### राजनीतिक रूप से उग्र

गैलुआ फ्रांस में राजनीतिक उथल-पुथल के दौर में जीवित थे। चार्ल्स एक्स 1824 में लुई XVIII के उत्तराधिकारी बने थे, लेकिन 1827 में उनके गुट को चुनावी झटका लगा और 1830 तक विपक्षी उदारवादी पार्टी बहुमत में आ गई। चार्ल्स ने अपने कुख्यात जुलाई ऑर्डिनेंस जारी किए, जिससे जुलाई क्रांति शुरू हुई जो लुई फिलिप प्रथम के राजा बनने के साथ समाप्त हुई। जब पॉलिटेक्निक के छात्र सड़कों पर इतिहास रच रहे थे, गैलुआ इकोले नॉर्मेल में बंद थे। गैलुआ गुस्से में थे और उन्होंने निदेशक की आलोचना करते हुए एक तीखा पत्र लिखा, जिसे उन्होंने 'गजट डेस इकोल्स' में जमा किया, और अपना पूरा नाम हस्ताक्षर किया। हालांकि गजट के संपादक ने प्रकाशन के लिए हस्ताक्षर हटा दिए, लेकिन गैलुआ को निष्कासित कर दिया गया।

हालांकि उनका निष्कासन औपचारिक रूप से 4 जनवरी 1831 को प्रभावी हुआ, गैलुआ ने तुरंत स्कूल छोड़ दिया और नेशनल गार्ड की कट्टर रिपब्लिकन तोपखाने इकाई में शामिल हो गए। उन्होंने अपना समय अपने गणितीय कार्यों और राजनीतिक संबद्धताओं के बीच विभाजित किया। इकाई के आसपास के विवाद के कारण, गैलुआ के सदस्य बनने के कुछ ही समय बाद, 31 दिसंबर 1830 को, नेशनल गार्ड की तोपखाने इकाई को इस डर से भंग कर दिया गया कि वे सरकार को अस्थिर कर सकते हैं। उसी समय, गैलुआ की पूर्व इकाई के उन्नीस अधिकारियों को गिरफ्तार किया गया और सरकार को उखाड़ फेंकने की साजिश रचने का आरोप लगाया गया।

अप्रैल 1831 में, अधिकारियों को सभी आरोपों से बरी कर दिया गया, और 9 मई 1831 को, उनके सम्मान में एक भोज आयोजित किया गया, जिसमें अलेक्जेंड्रे डुमास जैसे कई प्रतिष्ठित लोग उपस्थित थे। कार्यवाही दंगापूर्ण हो गई। किसी बिंदु पर, गैलुआ खड़े हुए और एक टोस्ट प्रस्तावित किया जिसमें उन्होंने अपने कप के ऊपर खंजर के साथ कहा, 'लुई फिलिप के लिए।' भोज में मौजूद रिपब्लिकन ने गैलुआ के टोस्ट को राजा के जीवन के खिलाफ धमकी के रूप में माना और खुशियाँ मनाईं। अगले दिन उन्हें उनकी माँ के घर से गिरफ्तार कर लिया गया और 15 जून 1831 तक सेंट-पेलागी जेल में रखा गया, जब उनका मुकदमा चला। गैलुआ के बचाव वकील ने चतुराई से दावा किया कि गैलुआ ने वास्तव में कहा था, 'लुई-फिलिप के लिए, अगर वह धोखा देता है,' लेकिन वह अर्हता शोर में डूब गई। अभियोजक ने कुछ और सवाल पूछे, और शायद गैलुआ की युवावस्था से प्रभावित होकर, जूरी ने उन्हें उसी दिन बरी कर दिया।

अगले बास्टिल डे (14 जुलाई 1831) पर, गैलुआ एक विरोध प्रदर्शन के प्रमुख थे, उन्होंने भंग तोपखाने की वर्दी पहनी थी, और कई पिस्तौल, एक लोड की हुई राइफल और एक खंजर के साथ भारी हथियारों से लैस थे। उन्हें फिर से गिरफ्तार कर लिया गया। जेल में रहने के दौरान, गैलुआ ने अपने साथी कैदियों के उकसावे पर पहली बार शराब पी। इनमें से एक कैदी, फ्रेंकोइस-विन्सेंट रास्पेल ने 25 जुलाई के एक पत्र में रिकॉर्ड किया कि नशे में गैलुआ ने क्या कहा था। पत्र से उद्धृत:

> और मैं तुमसे कहता हूँ, मैं किसी 'कोक्वेट डी बास एटेज' (निचले स्तर की युवती) के कारण द्वंद्वयुद्ध में मर जाऊँगा। क्यों? क्योंकि वह मुझे उसका सम्मान बचाने के लिए आमंत्रित करेगी जिसे किसी और ने खतरे में डाल दिया है।

क्या तुम जानते हो मेरे दोस्त, मुझमें क्या कमी है? मैं इसे केवल तुम्हें ही बता सकता हूँ: यह कोई ऐसा व्यक्ति है जिसे मैं प्यार कर सकूँ और केवल आत्मा से प्यार कर सकूँ। मैंने अपने पिता को खो दिया है और किसी ने कभी उनकी जगह नहीं ली है, क्या तुम मुझे सुन रहे हो...?

रास्पेल जारी रखते हैं कि गैलुआ, अभी भी प्रलाप में थे, उन्होंने आत्महत्या का प्रयास किया, और वे सफल हो जाते यदि उनके साथी कैदियों ने उन्हें जबरन नहीं रोका होता। महीनों बाद, जब 23 अक्टूबर को गैलुआ का मुकदमा हुआ, तो उन्हें अवैध रूप से वर्दी पहनने के लिए छह महीने की जेल की सजा सुनाई गई। जेल में रहते हुए, उन्होंने अपने गणितीय विचारों को विकसित करना जारी रखा। उन्हें 29 अप्रैल 1832 को रिहा किया गया।

### अंतिम दिन

इकोले नॉर्मेल से निष्कासन के बाद गैलुआ गणित में लौट आए, हालांकि उन्होंने राजनीतिक गतिविधियों में समय बिताना जारी रखा। जनवरी 1831 में उनका निष्कासन आधिकारिक होने के बाद, उन्होंने उन्नत बीजगणित में एक निजी कक्षा शुरू करने का प्रयास किया, जिसने कुछ रुचि आकर्षित की, लेकिन यह कम हो गई, क्योंकि ऐसा लग रहा था कि उनकी राजनीतिक सक्रियता को प्राथमिकता दी गई थी। सिमोन डेनिस पॉइसन ने उन्हें समीकरण सिद्धांत पर अपना काम जमा करने के लिए कहा, जो उन्होंने 17 जनवरी 1831 को किया। लगभग 4 जुलाई 1831 को, पॉइसन ने गैलुआ के काम को 'असमझ' घोषित कर दिया, यह कहते हुए कि '[गैलुआ का] तर्क न तो पर्याप्त रूप से स्पष्ट है और न ही इतना विकसित कि हम इसकी कठोरता का न्याय कर सकें'; हालांकि, अस्वीकृति रिपोर्ट एक उत्साहजनक नोट पर समाप्त होती है: 'हम सुझाव देंगे कि लेखक को अपनी राय को अंतिम रूप देने के लिए अपने पूरे काम को प्रकाशित करना चाहिए।' हालांकि पॉइसन की रिपोर्ट गैलुआ की 14 जुलाई की गिरफ्तारी से पहले दी गई थी, लेकिन इसे जेल में गैलुआ तक पहुँचने में अक्टूबर लग गया। उस समय उनके चरित्र और स्थिति को देखते हुए, यह आश्चर्य की बात नहीं है कि गैलुआ ने अस्वीकृति पत्र पर हिंसक रूप से प्रतिक्रिया व्यक्त की, और अकादमी के माध्यम से अपने शोध पत्रों को प्रकाशित करने के बजाय अपने दोस्त ऑगस्टे शेवेलियर के माध्यम से उन्हें निजी तौर पर प्रकाशित करने का निर्णय लिया। हालांकि, जाहिर है कि गैलुआ ने पॉइसन की सलाह को नजरअंदाज नहीं किया, क्योंकि उन्होंने जेल में रहते हुए ही अपनी सभी गणितीय पांडुलिपियों को इकट्ठा करना शुरू कर दिया था, और अपनी रिहाई तक, 29 अप्रैल 1832 तक, अपने विचारों को निखारना जारी रखा, जिसके बाद उन्हें किसी तरह द्वंद्वयुद्ध के लिए राजी कर लिया गया।

गैलुआ का घातक द्वंद्वयुद्ध 30 मई को हुआ। द्वंद्वयुद्ध के पीछे के असली मकसद अस्पष्ट हैं। उनके बारे में बहुत अटकलें लगाई गई हैं। जो ज्ञात है वह यह है कि अपनी मृत्यु से पाँच दिन पहले, उन्होंने शेवेलियर को एक पत्र लिखा था जिसमें स्पष्ट रूप से एक टूटे हुए प्रेम संबंध का संकेत मिलता है।

मूल पत्रों पर कुछ पुरातात्विक जांच से पता चलता है कि रोमांटिक रुचि की महिला स्टेफनी-फेलिस पोटेरीन डू मोटेल थी, जो उस छात्रावास के चिकित्सक की बेटी थी जहाँ गैलुआ ने अपने जीवन के अंतिम महीनों में प्रवास किया था। उससे पत्रों के टुकड़े, जिन्हें खुद गैलुआ द्वारा कॉपी किया गया था (कई हिस्सों के साथ, जैसे उसका नाम, या तो मिटा दिया गया या जानबूझकर छोड़ दिया गया), उपलब्ध हैं। पत्र संकेत देते हैं कि पोटेरीन डू मोटेल ने अपनी कुछ समस्याएं गैलुआ को बताई थीं, और इसने शायद उसे उसकी ओर से द्वंद्वयुद्ध भड़काने के लिए प्रेरित किया हो। यह अनुमान उन अन्य पत्रों द्वारा भी समर्थित है जो गैलुआ ने मरने से एक रात पहले अपने दोस्तों को लिखे थे। जब गैलुआ के चचेरे भाई, गेब्रियल डेमोंटे से पूछा गया कि क्या वह द्वंद्वयुद्ध का कारण जानते हैं, तो उन्होंने उल्लेख किया कि गैलुआ 'खुद को एक कथित चाचा और एक कथित मंगेतर की उपस्थिति में पाया, जिनमें से प्रत्येक ने द्वंद्वयुद्ध को उकसाया।' खुद गैलुआ ने चिल्लाया: 'मैं एक कुख्यात कोक्वेट और उसके दो धोखेबाजों का शिकार हूँ।'

जहाँ तक द्वंद्वयुद्ध में उनके प्रतिद्वंद्वी की बात है, अलेक्जेंड्रे डुमास ने पेशेक्स डी'हर्बिनविले का नाम लिया है, जो वास्तव में उन उन्नीस तोपखाने अधिकारियों में से एक थे जिनकी बरी होने की खुशी भोज में मनाई गई थी जिसने गैलुआ की पहली गिरफ्तारी का कारण बना। हालांकि, इस दावे में डुमास अकेले हैं, और यदि वे सही थे तो यह स्पष्ट नहीं है कि डी'हर्बिनविले क्यों शामिल हुए होंगे। यह अनुमान लगाया गया है कि वह उस समय पोटेरीन डू मोटेल के 'कथित मंगेतर' थे (उसने अंततः किसी और से शादी की), लेकिन इस अनुमान का समर्थन करने वाला कोई स्पष्ट सबूत नहीं मिला है। दूसरी ओर, द्वंद्वयुद्ध के कुछ दिनों बाद के मौजूदा समाचार पत्र के कतरनों में उनके प्रतिद्वंद्वी (जिनकी पहचान 'L.D.' आद्याक्षरों द्वारा की गई है) का विवरण मिलता है जो गैलुआ के रिपब्लिकन दोस्तों में से एक पर अधिक सटीक रूप से लागू होता है, सबसे अधिक संभवतः अर्नेस्ट डचटेल, जो गैलुआ के साथ ही आरोपों में कैद थे। उपलब्ध परस्पर विरोधी जानकारी को देखते हुए, उनके हत्यारे की असली पहचान इतिहास के लिए खो गई हो सकती है।

द्वंद्वयुद्ध के पीछे के कारणों जो भी हों, गैलुआ अपनी आसन्न मृत्यु के बारे में इतने आश्वस्त थे कि वे पूरी रात जागकर अपने रिपब्लिकन दोस्तों को पत्र लिखते रहे और अपनी गणितीय वसीयत तैयार करते रहे, ऑगस्टे शेवेलियर को प्रसिद्ध पत्र जिसमें उनके विचारों की रूपरेखा थी, और तीन संलग्न पांडुलिपियाँ। गणितज्ञ हरमन वेयल ने इस वसीयत के बारे में कहा, 'यदि इसमें शामिल विचारों की नवीनता और गहराई से निर्णय लिया जाए, तो यह पत्र मानव जाति के पूरे साहित्य में शायद सबसे महत्वपूर्ण लेखन है।' हालांकि, गैलुआ का मरने से एक रात पहले कागज पर अपने गणितीय विचारों को उँडेलने का किंवदंती अतिरंजित लगती है। इन अंतिम पत्रों में, उन्होंने विश्लेषण में किए जा रहे कुछ कार्यों के कच्चे किनारों की रूपरेखा तैयार की और अकादमी और अन्य पत्रों में प्रस्तुत पांडुलिपि की एक प्रति को एनोटेट किया।

30 मई 1832 की सुबह, उन्हें पेट में गोली मार दी गई, उनके विरोधियों और उनके अपने सहयोगियों द्वारा छोड़ दिया गया, और एक गुजरते हुए किसान द्वारा पाया गया। अगले दिन सुबह दस बजे होपिताल कोचीन में (संभवतः पेरिटोनिटिस के कारण) उनकी मृत्यु हो गई, उन्होंने एक पादरी की सेवाओं को अस्वीकार कर दिया था। उनका अंतिम संस्कार दंगों में समाप्त हुआ। उनके अंतिम संस्कार के दौरान विद्रोह शुरू करने की योजना थी, लेकिन उसी समय नेताओं ने जनरल जीन मैक्सिमिलियन लैमार्क की मृत्यु के बारे में सुना और 5 जून तक कोई विद्रोह हुए बिना इसे स्थगित कर दिया गया। गैलुआ की मृत्यु से पहले केवल उनके छोटे भाई को घटनाओं के बारे में सूचित किया गया था। गैलुआ 20 साल के थे। उनके छोटे भाई अल्फ्रेड के लिए उनके अंतिम शब्द थे:

> 'Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !' (मत रोओ, अल्फ्रेड! बीस साल की उम्र में मरने के लिए मुझे अपने सारे साहस की जरूरत है!)

2 जून को, एवरिस्ट गैलुआ को मोंटपार्नास कब्रिस्तान की एक सामान्य कब्र में दफनाया गया, जिसका सटीक स्थान अज्ञात है। उनके गृहनगर - बौर्ग-ला-रेन - के कब्रिस्तान में उनके रिश्तेदारों की कब्रों के बगल में उनके सम्मान में एक सेनोटैफ बनाया गया था।

1842 में, जोसेफ लिउविले ने गैलुआ के अप्रकाशित पत्रों का अध्ययन करना शुरू किया और 1843 में उनके महत्व को स्वीकार किया। यह स्पष्ट नहीं है कि 1832 और 1842 के बीच दस वर्षों में क्या हुआ, न ही यह कि लिउविले को गैलुआ के पत्रों को पढ़ने के लिए अंततः क्या प्रेरित किया। जेस्पर लुटजेन जोसेफ लिउविले के बारे में अपनी पुस्तक के अध्याय XIV गैलुआ सिद्धांत में इस विषय का विस्तार से पता लगाते हैं, बिना किसी निश्चित निष्कर्ष पर पहुंचे।

यह निश्चित रूप से संभव है कि गणितज्ञ (लिउविले सहित) गैलुआ के पत्रों का प्रचार नहीं करना चाहते थे क्योंकि गैलुआ एक रिपब्लिकन राजनीतिक कार्यकर्ता थे, जिनकी मृत्यु जून विद्रोह से 5 दिन पहले हुई थी, जो पेरिस के रिपब्लिकन का एक असफल राजशाही-विरोधी विद्रोह था। गैलुआ के शोक संदेश में, उनके मित्र ऑगस्टे शेवेलियर ने इकोले पॉलिटेक्निक के शिक्षाविदों पर गैलुआ की हत्या करने का लगभग आरोप लगाया क्योंकि, यदि उन्होंने उनके काम को अस्वीकार नहीं किया होता, तो वे एक गणितज्ञ बन गए होते और खुद को उस रिपब्लिकन राजनीतिक सक्रियता के लिए समर्पित नहीं करते जिसके लिए कुछ लोग मानते हैं कि उन्हें मार दिया गया था। यह देखते हुए कि फ्रांस अभी भी टेरर के शासन और नेपोलियन युग की छाया में जी रहा था, लिउविले ने गैलुआ के पत्रों की ओर अपना ध्यान आकर्षित करने से पहले राजनीतिक उथल-पुथल (विफल जून विद्रोह और उसके बाद) के कम होने तक इंतजार किया होगा।

लिउविले ने अंततः गैलुआ की पांडुलिपियों को 'जर्नल डी मैथेमैटिक्स प्योरस एट एप्लिकेस' के अक्टूबर-नवंबर 1846 के अंक में प्रकाशित किया। गैलुआ का सबसे प्रसिद्ध योगदान यह एक नया प्रमाण था कि कोई पंचघाती सूत्र नहीं है - अर्थात, पांचवीं और उच्च डिग्री के समीकरण आमतौर पर मूलों द्वारा हल करने योग्य नहीं होते हैं। हालांकि नील्स हेनरिक एबेल ने पहले ही 1824 में मूलों द्वारा 'पंचघाती सूत्र' की असंभवता को साबित कर दिया था और पाओलो रुफिनी ने 1799 में एक समाधान प्रकाशित किया था जो त्रुटिपूर्ण निकला, गैलुआ की विधियों ने उस शोध में गहराई पैदा की जिसे अब गैलुआ सिद्धांत कहा जाता है, जिसका उपयोग किसी भी बहुपद समीकरण के लिए यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या इसका मूलों द्वारा समाधान है।

गणित में योगदान

29 मई 1832 को गैलुआ द्वारा उनके मित्र ऑगस्टे शेवेलियर को लिखे गए पत्र की अंतिम पंक्तियों से, गैलुआ की मृत्यु से दो दिन पहले:

> Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(सार्वजनिक रूप से जैकोबी या गॉस से अपनी राय देने के लिए कहें, सत्य के बारे में नहीं, बल्कि इन प्रमेयों के महत्व के बारे में। बाद में, मुझे आशा है, कुछ लोग ऐसे होंगे जिन्हें इस सारी गंदगी को समझने में अपना लाभ मिलेगा।)

गैलुआ के एकत्रित कार्यों के लगभग 60 पृष्ठों के भीतर कई महत्वपूर्ण विचार हैं जिनके गणित की लगभग सभी शाखाओं के लिए दूरगामी परिणाम हुए हैं। उनके काम की तुलना नील्स हेनरिक एबेल (1802-1829) के काम से की गई है, जो एक समकालीन गणितज्ञ थे और जिनकी भी बहुत कम उम्र में मृत्यु हो गई थी, और उनके काम का एक बड़ा हिस्सा महत्वपूर्ण ओवरलैप था।

### बीजगणित

जबकि गैलुआ से पहले कई गणितज्ञों ने उन चीजों पर विचार किया जिन्हें अब समूह के रूप में जाना जाता है, वे 'ग्रुप' (फ्रेंच में 'groupe') शब्द का उपयोग उस तकनीकी अर्थ के करीब करने वाले पहले व्यक्ति थे जो आज समझा जाता है, जिसने उन्हें बीजगणित की शाखा के संस्थापकों में से एक बना दिया जिसे समूह सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। उन्होंने एक समूह के उसके बाएं और दाएं कोसेट्स में अपघटन को 'उचित अपघटन' कहा यदि बाएं और दाएं कोसेट्स मेल खाते हैं, जो आज 'सामान्य उपसमूहों' (normal subgroups) के रूप में जानी जाने वाली धारणा की ओर ले जाता है। उन्होंने आज समझे जाने वाले रूप में ही परिमित क्षेत्र (finite field) (उनके सम्मान में गैलुआ क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है) की अवधारणा को भी पेश किया।

शेवेलियर को अपने अंतिम पत्र और संलग्न पांडुलिपियों में, तीन में से दूसरे में, उन्होंने परिमित क्षेत्रों पर रैखिक समूहों के बुनियादी अध्ययन किए:

उन्होंने अभाज्य क्षेत्र पर सामान्य रैखिक समूह, GL(ν, p) का निर्माण किया और p डिग्री के सामान्य समीकरण के गैलुआ समूह का अध्ययन करते हुए इसके क्रम की गणना की।

- उन्होंने प्रोजेक्टिव स्पेशल लीनियर ग्रुप PSL(2,p) का निर्माण किया। गैलुआ ने उन्हें आंशिक रैखिक रूपांतरणों के रूप में बनाया, और देखा कि वे सरल थे सिवाय यदि p, 2 या 3 था। ये वैकल्पिक समूहों के बाद परिमित सरल समूहों का दूसरा परिवार थे। - उन्होंने असाधारण तथ्य नोट किया कि PSL(2,p) सरल है और p बिंदुओं पर कार्य करता है यदि और केवल यदि p, 5, 7 या 11 है।

### गैलुआ सिद्धांत

गणित में गैलुआ का सबसे महत्वपूर्ण योगदान गैलुआ सिद्धांत का विकास है। उन्होंने महसूस किया कि एक बहुपद समीकरण का बीजगणितीय समाधान बहुपद के मूलों से जुड़े क्रमपरिवर्तन (permutations) के एक समूह की संरचना से संबंधित है, जो बहुपद का गैलुआ समूह है। उन्होंने पाया कि एक समीकरण को मूलों द्वारा हल किया जा सकता है यदि कोई अपने गैलुआ समूह के उपसमूहों की एक श्रृंखला पा सकता है, जिसमें से प्रत्येक अपने उत्तराधिकारी में एबेलियन भागफल के साथ सामान्य हो, अर्थात, इसका गैलुआ समूह हल करने योग्य है। यह एक उपजाऊ दृष्टिकोण साबित हुआ, जिसे बाद के गणितज्ञों ने समीकरणों के सिद्धांत के अलावा गणित के कई अन्य क्षेत्रों में अनुकूलित किया, जिस पर गैलुआ ने मूल रूप से इसे लागू किया था।

### विश्लेषण

गैलुआ ने एबेलियन इंटीग्रल और सतत भिन्नों के सिद्धांत में भी कुछ योगदान दिए।

जैसा कि उनके अंतिम पत्र में लिखा गया है, गैलुआ ने अण्डाकार कार्यों के अध्ययन से सबसे सामान्य बीजीय अंतरों के इंटीग्रल पर विचार किया, जिसे आज एबेलियन इंटीग्रल कहा जाता है। उन्होंने इन इंटीग्रल को तीन श्रेणियों में वर्गीकृत किया।

### सतत भिन्न

1828 में अपने पहले शोध पत्र में, गैलुआ ने साबित किया कि नियमित सतत भिन्न जो द्विघात सरड ζ का प्रतिनिधित्व करता है, विशुद्ध रूप से आवधिक है यदि और केवल यदि ζ एक कम सरड है, अर्थात,

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

और इसका संयुग्मी

η

{\displaystyle \eta }

संतुष्ट करता है

1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

.

वास्तव में, गैलुआ ने इससे अधिक दिखाया। उन्होंने यह भी साबित किया कि यदि ζ एक कम द्विघात सरड है और η इसका संयुग्मी है, तो ζ और (−1/η) के लिए सतत भिन्न दोनों विशुद्ध रूप से आवधिक हैं, और उन सतत भिन्नों में दोहराया जाने वाला ब्लॉक दूसरे में दोहराए जाने वाले ब्लॉक की दर्पण छवि है। प्रतीकों में हमारे पास है

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

जहाँ ζ कोई कम द्विघात सरड है, और η इसका संयुग्मी है।

गैलुआ के इन दो प्रमेयों से लैग्रेंज को पहले से ज्ञात परिणाम निकाला जा सकता है। यदि r > 1 एक तर्कसंगत संख्या है जो पूर्ण वर्ग नहीं है, तो

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

विशेष रूप से, यदि n कोई गैर-वर्ग धनात्मक पूर्णांक है, तो √n का नियमित सतत भिन्न विस्तार m लंबाई का एक दोहराया जाने वाला ब्लॉक होता है, जिसमें पहले m − 1 आंशिक हर एक पैलिंड्रोमिक स्ट्रिंग बनाते हैं।