डडली ई. लिटिलवुड: वह नियम जिसे वह सिद्ध नहीं कर सके

1934 में, वेल्स के एक छोटे से विश्वविद्यालय कॉलेज में दो गणितज्ञों ने एक संयोजन नियम (combinatorial law) प्रकाशित किया जो यह बताता था कि कुछ बीजीय वस्तुएं (algebraic objects) कैसे गुणा करती हैं। उन्होंने इसे एक प्रमेय (theorem) के रूप में घोषित किया। उन्होंने इसे केवल कुछ सरल विशेष मामलों में सिद्ध किया, और इसे स्पष्ट करने के लिए दिया गया उदाहरण त्रुटिपूर्ण था। फिर भी, यह नियम सही था। इस बात को सिद्ध करने में गणितीय जगत को चालीस साल लग गए, और उस समय तक यह आधुनिक बीजगणित में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले परिणामों में से एक बन गया था। जैसा कि प्रतिनिधित्व सिद्धांतकार गॉर्डन जेम्स (Gordon James) ने कहा, लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम ने "मनुष्यों को चंद्रमा पर पहुँचाने में मदद की, लेकिन इसे तब तक सिद्ध नहीं किया गया जब तक कि वे वहाँ पहुँच नहीं गए।"

टोटेनहम से ट्रिनिटी तक

डडली अर्नेस्ट लिटिलवुड (Dudley Ernest Littlewood) का जन्म 7 सितंबर 1903 को लंदन में हुआ था। वह एडा पाइपर (Ada Piper) और सॉलिसिटर क्लर्क हैरी ब्रैमली लिटिलवुड (Harry Bramley Littlewood) की इकलौती संतान थे। उनके पास कोई गणितीय विरासत या धन नहीं था; वह जहाँ भी पहुँचे, परीक्षाओं के माध्यम से पहुँचे। मिडलसेक्स के टोटेनहम काउंटी स्कूल से उन्होंने राज्य छात्रवृत्ति और कैम्ब्रिज के ट्रिनिटी कॉलेज के लिए प्रवेश छात्रवृत्ति जीती।

ट्रिनिटी में उनके स्नातक शिक्षक जॉन एंडरसन लिटिलवुड (John Edensor Littlewood) थे — जो प्रसिद्ध विश्लेषक और हार्डी (Hardy) के सहयोगी थे। दोनों के बीच कोई संबंध नहीं था, यह एक संयोग था जिसने बाद में ग्रंथ-सूचियों में काफी भ्रम पैदा किया। उन्होंने 1925 में गणितीय ट्राइपोस में रेंगलर (wrangler) के रूप में स्नातक किया, वे हॉल (Hall) और हॉज (Hodge) के साथ उसी समूह में थे। उस समय के शैक्षणिक बाजार में, उन्हें तुरंत कोई अच्छा पद नहीं मिला। उन्होंने स्कूल में पढ़ाया। 1928 में उन्होंने यूनिवर्सिटी कॉलेज स्वानसी में अस्थायी, अंशकालिक व्याख्याता का पद लिया, जिसके बाद डंडी के क्वींस कॉलेज में एक संक्षिप्त पद मिला। उन्होंने 1930 में म्यूरियल डोरिस डायसन (Muriel Doris Dyson) से शादी की; 1935 में उनके बेटे का जन्म हुआ।

स्वानसी और रिचर्डसन

स्वानसी वह जगह है जहाँ उनका गणितीय जीवन वास्तव में शुरू हुआ, और यह एक सहयोगी के कारण हुआ। वहाँ के प्रोफेसर आर्चीबाल्ड रीड रिचर्डसन (Archibald Read Richardson) ने लिटिलवुड को बीजगणित से परिचित कराया — एक ऐसा क्षेत्र जिसमें उन्होंने पहले काम नहीं किया था। वह 1930 में सहायक व्याख्याता के रूप में स्वानसी लौटे और 1934 में व्याख्याता बने, जहाँ वह 1947 तक रहे। उनके शुरुआती शोधपत्र क्वाटरनियन बीजगणित और इनवेरिएंट सिद्धांत से संबंधित थे, यह एक सम्मानजनक कार्य था जिससे आने वाली उपलब्धियों का कोई संकेत नहीं मिला था।

इसके बाद 1934 में रिचर्डसन के साथ लिखा गया शोधपत्र "ग्रुप कैरेक्टर्स एंड अलजेब्रा" (Group characters and algebras) आया। इसने मैट्रिक्स के इमानेंट (immanant) का परिचय दिया — जो डिटर्मिनेंट और परमानेंट के बीच का एक सामान्यीकरण है — और इसने S-फ़ंक्शन (जिन्हें अब सार्वभौमिक रूप से Schur functions कहा जाता है) को अपनाया, जो सममित और सामान्य रैखिक समूहों के करैक्टर को एन्कोड करते हैं। शोधपत्र ने एक स्पष्ट प्रश्न पूछा: जब आप दो Schur फ़ंक्शंस का एक साथ गुणा करते हैं तो क्या होता है? उन्होंने जो उत्तर प्रस्तावित किया, वह यह था कि गुणनफल Schur फ़ंक्शंस के योग में टूट जाता है, जिनके गुणांक कुछ तालिकाओं को गिनते हैं — जो सख्त नियमों के तहत संख्याओं से भरे बक्सों की संयोजन सरणियाँ हैं।

नियम क्यों महत्वपूर्ण है

वह अकेला कथन एक ऐसे जंक्शन पर स्थित निकला जहाँ कई क्षेत्र मिलते हैं। लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक बहुलता देते हैं जब परिमित-आयामी अभ्यावेदन (representations) के टेंसर उत्पादों को विघटित किया जाता है, और जब सममित समूहों के अभ्यावेदन को प्रेरित किया जाता है। वे Schur आधार में सममित फलनों के वलय (ring) के संरचना स्थिरांक हैं। और बीजगणितीय ज्यामिति में वे ग्रासमानियन पर प्रतिच्छेदन संख्याओं के रूप में फिर से प्रकट होते हैं, जो यह गिनते हैं कि शूबर्ट किस्में (Schubert varieties) कैसे मिलती हैं — एक ऐसा संबंध जिसे 1934 में कोई नहीं खोज रहा था। लिटिलवुड ने स्वयं क्वांटम मैकेनिक्स के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अनुप्रयोगों का पीछा किया।

हालाँकि, प्रमाण गायब था। गिल्बर्ट डी ब्यूरेगार्ड रॉबिन्सन (Gilbert de Beauregard Robinson) ने 1938 में इसे पूरा करने का दावा किया, लेकिन उनका विवरण इतना अस्पष्ट था कि दशकों तक इसमें कमियाँ अनसुनी रहीं; इयान मैकडोनाल्ड (Ian Macdonald) 1995 तक उनमें से कुछ को भर रहे थे। आधुनिक मानकों को पूरा करने वाले पहले तर्क 1974 में ग्लानफ्रॉड पी. थॉमस (Glânffrwd P. Thomas) और 1977 में मार्सेल-पॉल शुट्ज़ेनबर्गर (Marcel-Paul Schützenberger) से आए, जो शेंस्टेड (Schensted), शुट्ज़ेनबर्गर और डोनाल्ड नुथ (Donald Knuth) द्वारा विकसित रॉबिन्सन-शेंस्टेड पत्राचार (Robinson–Schensted correspondence) की संयोजन मशीनरी पर निर्मित थे। दावे और प्रदर्शन के बीच लगभग चार दशक का अंतर था।

पुस्तकें और बैंगोर

लिटिलवुड ने अपने शोध को उस पुस्तक में बदल दिया जिसने उनके नाम को सबसे दूर तक पहुँचाया, द थ्योरी ऑफ़ ग्रुप कैरेक्टर्स एंड मैट्रिक्स रिप्रेजेंटेशन्स ऑफ़ ग्रुप्स (The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups), जिसे 1940 में प्रकाशित किया गया और 1950 में दूसरा संस्करण आया — एक पीढ़ी के लिए अंग्रेजी में विषय सीखने की मानक जगह। इसके बाद उन्होंने 1949 में द स्केलेटन की ऑफ़ मैथमेटिक्स (The Skeleton Key of Mathematics) लिखी, जो एक सामान्य व्याख्या थी जिसके बाद में कई संस्करण आए, और 1950 में अ यूनिवर्सिटी अलजेब्रा (A University Algebra), जिसे 1961 में संशोधित किया गया।

उन्होंने 1947 से 1948 तक कैम्ब्रिज में विश्वविद्यालय व्याख्याता के रूप में बिताया, और फिर 1948 में नॉर्थ वेल्स के यूनिवर्सिटी कॉलेज, बैंगोर में गणित के अध्यक्ष का पद संभाला, 1970 में अपनी सेवानिवृत्ति तक बाईस वर्षों तक उस पर बने रहे। सहकर्मियों को एक शर्मीला, अंतर्मुखी व्यक्ति याद था, जो हमेशा एक दोस्ताना मुस्कान के साथ, दयालु और सहायक था, जो विज्ञान कथा पढ़ता था और जिसे गणित की तुलना में दर्शन और धर्म अधिक जाँच के योग्य विषय लगते थे — विषय के प्रोफेसर से यह एक असामान्य स्वीकारोक्ति थी।

डडली को जीनियस क्यों कहा जाता है

यह शब्द एक विशिष्ट और संकीर्ण संकाय पर लागू होता है: वह किसी बीजीय तंत्र के आकार को तब देख सकते थे जब कोई इसे सिद्ध नहीं कर सकता था कि इसका वह आकार है। उनके छात्र जे. ए. ग्रीन (J. A. Green) ने इसका सटीक वर्णन किया — "लिटिलवुड की गणितीय ताकत कुछ बीजीय प्रक्रियाओं के काम करने के तरीके में उनकी असाधारण अंतर्दृष्टि में निहित थी।" सहकर्मियों ने औपचारिक गणित की एक मजबूत सहज समझ और कठोर व्युत्पत्ति के बजाय एक उपयोगी फार्मूले के लिए स्पष्ट प्राथमिकता नोट की, और देखा कि उन्होंने फ्रोबेनियस (Frobenius), Schur और वेइल (Weyl) के तरीकों को लिया और उन्हें पुन: प्रस्तुत करने के बजाय अपने स्वयं के मुहावरे में फिर से काम किया। 1934 का नियम इसका उदाहरण है। लिटिलवुड और रिचर्डसन उन वस्तुओं के बारे में एक सही संयोजन नियम पर पहुँचे जिन्हें कोई भी पूरी तरह से नहीं समझता था, एक ऐसे क्षेत्र में जहाँ अंतर्ज्ञान प्रसिद्ध रूप से अविश्वसनीय है, और वे सही थे — जबकि अगले चालीस वर्षों में प्रमाण का प्रयास करने वाले कई सक्षम गणितज्ञ गलत थे।

प्रति-मामला वास्तविक है और केवल पांडित्यपूर्ण नहीं है। उन्होंने केवल आसान विशेष मामलों को सिद्ध करने के बाद नियम को एक प्रमेय के रूप में प्रकाशित किया, और उनके द्वारा दिया गया उदाहरण गलत था। यदि कोई रेफरी अधिक सख्त होता, तो परिणाम एक अनुमान के रूप में दिखाई दे सकता था, जो वह था। एक गणितज्ञ का काम प्रमाण है, और उस मानक से लिटिलवुड का सबसे प्रसिद्ध योगदान चार दशकों तक अधूरा था और उनके पास नहीं होने वाले उपकरणों का उपयोग करके अन्य लोगों द्वारा समाप्त किया गया था। उनका व्यापक कार्य — तीन पुस्तकें और इनवेरिएंट्स, क्वाटरनियन बीजगणित और समूह करैक्टर पर शोधपत्रों की एक श्रृंखला — ठोस और उपयोगी है न कि युगांतरकारी, और उन्होंने अपना करियर स्वानसी और बैंगोर में बिताया, जो अनुशासन के केंद्रों से बहुत दूर थे। ईमानदार फैसला यह है कि उनके पास एक असाधारण गणितीय प्रवृत्ति थी, जिसे भुनाने के लिए आवश्यक कठोरता समान नहीं थी; व्यवसाय ने नब्बे वर्षों तक प्रवृत्ति से लाभ उठाने और कठोरता की मरम्मत करने में बिताया है।

विरासत

वह 1970 में सेवानिवृत्त हुए और 6 अक्टूबर 1979 को ल्लैंडुडनो में उनका निधन हो गया, अपने 76वें जन्मदिन के तुरंत बाद, एक गिरावट के बाद जिसमें उनकी टाँग टूट गई थी। उन्हें ल्लानरोस (Llanrhos) में दफनाया गया है; म्यूरियल उनके दस साल बाद तक जीवित रहीं। उनका नाम अब उन लोगों द्वारा प्रतिदिन लिया जाता है जो उनके बारे में कुछ नहीं जानते, एक ऐसे नियम से जुड़ा हुआ है जो सममित कार्यों, शास्त्रीय समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत और शूबर्ट कैलकुलस के आधुनिक अध्ययन को आधार बनाता है। बहुत कम गणितज्ञों के नाम पर एक प्रमेय होता है। इससे भी कम लोगों के पास ऐसा प्रमेय होता है जिसकी प्रसिद्धि इसके प्रमाण से पहले आ गई थी।