פאל טוראן: משפטים ממחנה עבודת כפייה
ביולי 1944, יהודי הונגרי במחנה עבודת כפייה דחף קרוניות לבנים לאורך מסילות במפעל ליד בודפשט. במקום שבו המסילות הצטלבו, הקרוניות קפצו והעבודה הפכה לקשה יותר. רוב האנשים היו מקללים את המפגשים הללו. טוראן החל לתהות מהו המספר המינימלי האפשרי של הצטלבויות עבור m כבשנים ו-n מחסנים — ובכך הציג את מה שנקרא כיום בעיית מפעל הלבנים של טוראן, אחת השאלות המכוננות של תורת מספרי ההצטלבות. הוא היה אסיר. הוא היה גם, באותו רגע, עוסק במתמטיקה.
בודפשט, פייר ודלת נעולה
טוראן נולד ב-18 באוגוסט 1910 בבודפשט, אז האימפריה האוסטרו-הונגרית, למשפחה יהודית-הונגרית. כישרונו בא לידי ביטוי כבר בבית הספר התיכון. הוא קיבל את תואר ההוראה שלו מאוניברסיטת בודפשט ב-1933 ואת הדוקטורט שלו ב-1935 באוניברסיטת אטווש לוראנד (Eötvös Loránd University) תחת הנחייתו של ליפוט פייר (Lipót Fejér), הדמות המרכזית באנליזה הונגרית.
הוא פרסם שני מאמרים משמעותיים ב-1933, בכתבי העת של האגודות המתמטיות של אמריקה ולונדון. זה לא שינה דבר לגבי יכולתו למצוא תעסוקה. חוקי ה'נומרוס קלאוזוס' של הונגריה שהגבילו את השתתפות היהודים בהשכלה גבוהה הותירו אותו מחוץ לעבודה אקדמית יציבה במשך שנים, והמשרה שהשיג לבסוף ב-1938 הייתה בבית מדרש לרבנים בבודפשט. כאן נמצא מתמטיקאי שמפרסם ברמה בינלאומית בגיל עשרים ושלוש ומלמד בסמינר בגיל עשרים ושמונה, משום שהמדינה חוקקה חוקים שהוציאו אותו מהאוניברסיטה.
הפגישה עם ארדש
ב-1 בספטמבר 1930, בסמינר מתמטי באוניברסיטת בודפשט, פגש טוראן את פאול ארדש (Paul Erdős). שניהם היו פותרים בולטים בכתב העת לבעיות KöMaL עוד בהיותם תלמידי בית ספר. שיתוף הפעולה שהחל באותו יום נמשך ארבעים ושישה שנים והניב עשרים ושמונה מאמרים משותפים — אחת השותפויות המתמשכות הגדולות במתמטיקה של המאה העשרים, והמקור להרבה ממה שאנו יודעים על אופיו של טוראן, כיוון שארדש כתב עליו בהרחבה ולא נהג להחניף לו.
חמש שנים במחנות
בספטמבר 1940 נעצר טוראן בשל מוצאו היהודי ונשלח למחנות עבודה. הוא בילה חמש שנים במחנות שונים ברחבי טרנסילבניה והונגריה.
תקופה זו הייתה אמורה להיות חלל ריק בביבליוגרפיה שלו. היא לא הייתה כזו. קצין בשם יוזף וינקלר (Joshef Winkler), שהיה בעצמו בעל הכשרה במתמטיקה, זיהה את שמו של טוראן וארגן לו תפקידים קלים יותר. טוראן ניצל את המרווח שזה קנה לו. הוא חיבר מאמר משמעותי על פונקציית זטא של רימן בזמן שהיה כלוא, ושמר על שפיותו על ידי פתרון בעיות בראשו וחשיבה על בעיות. התצפית על מפעל הלבנים הגיעה ביולי 1944; הוא ניגש אליה ברצינות רק לאחר 1952, אך השאלה נולדה על המסילות.
ארדש סיכם זאת בפשטות: טוראן "לא איבד את רוחו אפילו במחנות הנאציים ועשה עבודה מבריקה שם". הוא שוחרר ב-1944 וחזר להוראה.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →תורת הגרפים הקיצונית
הדבר המשמעותי ביותר שטוראן בנה, הוא בנה בזמן שהיה כלוא. ארדש שוב ציין: "בשנים 1940–1941 הוא יצר את תחום הבעיות הקיצוניות בתורת הגרפים, שכיום הוא אחד הנושאים הצומחים ביותר בקומבינטוריקה".
התוצאה המכוננת, משפט טוראן, נותנת חסם עליון למספר הצלעות שגרף יכול להכיל מבלי להכיל תת-גרף שלם על r קודקודים. כדי להוכיח זאת הוא המציא את גרף טוראן, הכללה של גרפים דו-צדדיים שלמים. חשיבותו של המשפט אינה החסם הספציפי אלא צורת השאלה שהוא ביסס: כמה ממבנה מסוים ניתן להחזיק לפני שדפוס כלשהו נכפה להופיע? השאלה הזו, שנשאלה באלפי הקשרים מאז, היא מהותה של הקומבינטוריקה הקיצונית. משפט קובארי-שוש-טוראן (Kővári–Sós–Turán) הרחיב את הגישה לגרפים דו-צדדיים עם תת-גרפים אסורים.
הנפה וסכום החזקות
תורת המספרים הייתה תחום התמחותו העיקרי. נפת טוראן, משנת 1934, סיפקה הוכחה פשוטה לתוצאה משנת 1917 של הארדי ורמנוג'אן על הסדר הנורמלי של מספר המחלקים הראשוניים השונים. האלס (Halász) זיהה את חשיבותה האמיתית: "חשיבותה האמיתית טמונה בעובדה שהיא הייתה נקודת ההתחלה של תורת המספרים ההסתברותית". פישוט שמייסד תחום אינו פישוט גרידא. אי-שוויון טוראן-קוביליוס הכללי את העבודה.
הוא טבע את המונח "מרוץ המספרים הראשוניים" עבור אי-הסדירויות באופן שבו מספרים ראשוניים מתפלגים במחלקות שארית, ועבד עם קנפובסקי (Knapowski) על תוצאות הנוגעות להטיית צ'בישב. השערת ארדש-טוראן נוגעת למספרים ראשוניים בסדרה חשבונית. בנוסף, הוא פיתח את שיטת סכום החזקות, טכניקה לאי-שוויונות על סכומי חזקות של האפסים של פונקציית זטא של רימן, עם יישומים המגיעים לאנליזה מרוכבת, אנליזה נומרית, משוואות דיפרנציאליות, תורת המספרים הטרנסצנדנטיים והערכת אפסים באופן כללי.
לגבי ההשערה עצמה, ארדש ציין כי טוראן היה "'כופר', למעשה, 'עובד אלילים': הוא לא האמין באמיתות השערת רימן". הניתוח שלו הניב את אי-שוויונות טוראן על פולינומי לז'נדר, וביחד עם ארדש, את אי-שוויון ההתפלגות האחידה של ארדש-טוראן.
אבחנה שנשמרה בסוד
הוא הפך לפרופסור חבר באוניברסיטת בודפשט ב-1945 ופרופסור מן המניין ב-1949. פרס קושוט הגיע ב-1948 ושוב ב-1952; הוא נבחר לחבר נלווה באקדמיה ההונגרית למדעים ב-1948 וחבר מן המניין ב-1953. הוא ייסד ועמד בראש האגודה המתמטית על שם יאנוש בויאי, ישב במועצות המערכת של כתבי עת מובילים, נאם בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים ב-1970 והוזמן לוועדת פרס פילדס באותה שנה. פרס טיבור סלה הגיע ב-1975.
הוא נישא לאדית קובור (Edit Kóbor) ב-1939, ממנה נולד לו בן, רוברט; ב-1952 הוא נישא למתמטיקאית ורה שוש (Vera Sós), עמה פרסם מאמרים משותפים ונולדו להם שני בנים, ג'רג' ותומאש.
סביב 1970 הוא אובחן כחולה בלוקמיה. רק ורה ידעה. היא בחרה שלא לספר לו, מתוך אמונה שהוא "מאוהב מדי בחיים" ושייפול לייאוש. היא סיפרה לארדש רק ב-1976. ארדש התאבל מאוחר יותר על המחיר: מבלי לדעת שזמנו קצר, טוראן דחה עבודות מסוימות "לזמן אחר" ומעולם לא השלים אותן.
מדוע פאל מכונה גאון
היכולת הספציפית היא יצירת בעיות ברמה של תחומים שלמים. המשפטים האישיים של טוראן חזקים, אך סימן ההיכר שלו הוא ששלושה תחומים נפרדים עוקבים אחר מקורם אליו: תורת הגרפים הקיצונית, שארדש מייחס לו במפורש את יצירתה בשנים 1940–1941; תורת המספרים ההסתברותית, שהאלס אומר שהחלה עם הנפה שלו מ-1934; ותורת מספרי ההצטלבות, שהחלה עם לבנים. ייסוד תחום אחד הוא קריירה. ייסוד שלושה הוא משהו אחר — אינסטינקט יוצא דופן לשאלה שמתחת לשאלה, שהצורה הכללית שלה היא מופע של קושי ספציפי.
הנסיבות מחדדות את הטענה במקום רק לקשט אותה. הוא יצר את תורת הגרפים הקיצונית במחנה עבודה, ללא ספרייה, ללא עמיתים וללא נייר, כשהוא מחזיק את המבנים בראשו. ארדש, שלא היה סנטימנטלי לגבי יכולת מתמטית והכיר את כל מי ששווה להכיר, אמר שהוא עשה שם עבודה מבריקה.
מקרה הנגד דל מהרגיל אך קיים. ארדש היה חברו הקרוב ביותר במשך ארבעים ושישה שנים והמעריך המצוטט ביותר שלו, שאינו מקור עצמאי. שיטת סכום החזקות של טוראן, על כל טווח הגעתה, לא פיצחה את השערת רימן שבה הוא לא האמין. כיבודיו — שני פרסי קושוט, פרס סלה, חברות באקדמיה — הם הכרות לאומית הונגרית ולא הפרסים הבינלאומיים המובילים של התחום. והצמיחה הנפיצה של תורת הגרפים הקיצונית חבה רבות לאלו שפיתחו אותה אחריו. הוא הציב את השאלה; אחרים בנו את התחום.
מורשת
טוראן מת מלוקמיה בבודפשט ב-26 בספטמבר 1976, בגיל שישים ושש, כשהוא עדיין אינו מודע למה שהורג אותו. כל קורס בקומבינטוריקה מלמד כיום את המשפט שלו, ותורת המספרים ההסתברותית מתארכת את ייסודה לנפה שהמציא בגיל עשרים וארבע. בעיית מפעל הלבנים נותרה פתוחה באופן כללי. זוהי אנדרטה הולמת: שאלה שהציב אסיר הצופה במסילות מצטלבות, שאותה התחום טרם סיים לענות עליה.