מארק לאקנבי: האיש שהתיר את הקשר הסבוך
"עדיין לא ידועה שיטה שיטתית שבעזרתה ניתן לקבוע אם שני קשרים הם זהים." כך אמר אלן טיורינג ב-1954, כשהוא מצביע על אחת הבעיות הלא פתורות הקונקרטיות והעקשניות ביותר במתמטיקה: בהינתן פלונטר של חבל שקצוותיו מחוברים, להחליט האם הוא קשור באמת. מקס דן (Max Dehn) הציג זאת ב-1910. וולפגנג האקן (Wolfgang Haken) הפיק את האלגוריתם הראשון ב-1961, אך הוא היה איטי באופן חסר תקווה עבור כל דבר מורכב. ב-2 בפברואר 2021, באוניברסיטת קליפורניה בדייוויס, הודיע מארק לאקנבי (Marc Lackenby) כי ניתן להכריע את השאלה ב-n בחזקת c log n צעדים – זמן קוואזי-פולינומי, מרחק קצר מהיעילות שמדעי המחשב מחשיבים כסימן לבעיה פתירה באמת. מתמטיקאים מאוקספורד כינו זאת הישג גורדיאני כביר.
קיימברידג' ואסכולת ליקוריש
לאקנבי עלה לקיימברידג' כדי ללמוד מתמטיקה ב-1990 ונשאר לתואר הדוקטור שלו, שהושלם ב-1997 בהנחיית ו. ב. ר. ליקוריש (W. B. R. Lickorish) עם תזה שכותרתה "ניתוח דן ופעולות התרת קשרים" (Dehn Surgery and Unknotting Operations). ליקוריש הוא אחת הדמויות המרכזיות בתורת הקשרים של המאה העשרים, והנושאים של התזה – ניתוח דן והתרת קשרים – עדיין יהיו מזוהים כנושאי המחקר של לאקנבי רבע מאה לאחר מכן. מעטים המתמטיקאים שבוחרים את הטריטוריה שלהם כל כך מוקדם וממשיכים למצוא בה דברים חדשים.
הוא החזיק במלגת מחקר על שם מילר באוניברסיטת קליפורניה בברקלי ובמלגת מחקר בקיימברידג' לפני שעבר לאוקספורד ב-1999 כמרצה וחבר בקולג' סנט קתרין. קידום לפרופסורה הגיע ב-2006. עבודתו משתרעת על פני תורת הקשרים, טופולוגיה בממדים נמוכים ותורת החבורות – שלושה נושאים שבשלושה ממדים מתבררים כפחות או יותר אותו נושא שנראה מזוויות שונות.
מילוי החורים
ניתוח דן (Dehn surgery) הוא הפעולה שבמרכז הטופולוגיה התלת-ממדית: חיתוך צינור מוצק סביב קשר, ואז הדבקתו מחדש בצורה שונה. כמעט כל יריעה תלת-ממדית יכולה להיווצר בדרך זו, כך שהבנת הפעולה פירושה הבנת האובייקטים.
השאלה החשובה היא מתי התוצאה נשארת היפרבולית – גאומטריה היפרבולית היא המבנה שהופך יריעה תלת-ממדית לקשיחה וניתנת לניתוח, והיעדרה הוא המקום שבו מתחילה השממה. משפט ה-2π מספק קריטריון גאומטרי המבטיח שהניתוח ישמור על היפרבוליות. לאקנבי הוכיח גרסה מחוזקת שלו. זהו סוג אופייני של תוצאה עבורו: לא גילוי של נוף חדש אלא השחזה של קו גבול קיים, שנעשתה מספיק טוב כדי ששטח רב יותר ייפול בצד השימושי שלו.
קשרים מתחלפים ונפח
נדבך שני מחבר את התמונה של קשר לגאומטריה שלו. ציירו קשר כתרשים על דף ויש לכם קומבינטוריקה – הצטלבויות, קשתות, אזורים. שקלו את המרחב סביב הקשר ויש לכם גאומטריה, עם נפח היפרבולי המצורף אליה. אלו סוגים שונים לחלוטין של מידע, וקשירתם יחד היא אחד הפרויקטים העמוקים של התחום.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →לאקנבי הפיק חסמים על הנפח ההיפרבולי של משלימי קשרים עבור קשרים מתחלפים – המחלקה שבה הצטלבויות מתחלפות מעל, מתחת, מעל, מתחת כשנוסעים סביב – תוך קשירת אינווריאנט גאומטרי למשהו שניתן ממש לספור על ציור. תוצאות מסוג זה הן מה שהופך את גאומטריית הקשרים לברת-חישוב ולא רק לברת-התבוננות.
המהלכים של רידמייסטר, בספירה
ניתן להפוך כל תרשים של קשר לכל תרשים אחר של אותו קשר באמצעות רצף של שלוש מניפולציות אלמנטריות, המהלכים של רידמייסטר (Reidemeister moves). זה ידוע מאז שנות ה-20 של המאה ה-20, וזה חסר תועלת כשלעצמו: דבר לא אומר לך כמה מהלכים נדרשים, והרצף עשוי להצטרך לעבור דרך תרשימים מבולגנים הרבה יותר מאשר נקודות הקצה לפני שהוא מפשט. זו בדיוק הסיבה שהתרת קשרים היא קשה – לעיתים קרובות צריך להחמיר פלונטר לפני שהוא יכול להשתפר.
לאקנבי הראה שניתן להתיר תרשים של קשר לא-קשור (unknot) במספר מהלכי רידמייסטר פולינומי במספר ההצטלבויות. הפסימיות הייתה במקומה הלא נכון. תמיד יש מסלול קצר למדי למעגל הטריוויאלי, גם אם מציאתו היא עניין אחר.
זמן קוואזי-פולינומי
מה שמביא אותנו ל-2021. בעיית זיהוי הקשר הלא-קשור צברה אלגוריתמים רבים לאחר זה של האקן, תוך הסתמכות על טופולוגיה וגאומטריה, וכמעט כולם היו איטיים בצורה קטסטרופלית ברגע שהקשרים הפכו למורכבים. השאלה אם קיים אלגוריתם בזמן פולינומי הפכה לאחת השאלות הפתוחות המפורסמות בגבול הטופולוגיה ומדעי המחשב. ויליאם תרסטון (William Thurston), ב-2011, ניסח זאת בפשטות: "הרבה אנשים חשבו על השאלה הזו... אבל זו הייתה שאלה קשה מאוד לפתרון."
החסם של לאקנבי, n^(c log n), לא פותר זאת לחלוטין. זמן קוואזי-פולינומי איטי יותר מזמן פולינומי. אבל הפער בין זמן קוואזי-פולינומי לכל מה שהיה לפניו הוא עצום, והפער בין זמן קוואזי-פולינומי לפולינומי הוא, במונחים מעשיים ומושגיים, קטן. בעיה שטיורינג רשם בין הבלתי מאולפות היא כעת, בעיקרה, מאולפת.
מדוע מארק מכונה גאון
האיכות המוצגת אינה מהירות ואינה רוחב. זוהי סוג של עומק סבלני: הישארות עם אותה קבוצת שאלות – ניתוח דן, התרת קשרים, הגאומטריה של משלימי קשרים – במשך עשרים וחמש שנים, צבירת טכניקה עד שבעיות שהתנגדו לדורות הפכו לניתנות להשגה. התוצאה לגבי הקשר הלא-קשור היא העדות הברורה ביותר, כי היא לא נפלה בגלל טריק חכם. היא נפלה לידי מישהו שהקדיש קריירה לבניית המנגנון הספציפי הנדרש ויכול היה לראות, היכן שאחרים לא יכלו, איזה שילוב של כלים טופולוגיים וגאומטריים ירכיב את הפתרון.
ההכרה מצד עמיתיו הייתה עקבית ולא סנסציונית: פרס וייטהד של החברה המתמטית של לונדון ב-2003, פרס פיליפ לברהולם במתמטיקה וסטטיסטיקה ב-2006, הזמנה להרצות בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים ב-2010 – האות האמין ביותר של הדיסציפלינה לכך שגוף עבודה הוא בעל משמעות. ההכרזה ב-2021 משכה את השפה החזקה ביותר, כשבאוקספורד הגיעו לביטוי "הישג כביר".
יש לציין את הצד שכנגד. שום מקור לא מתעד איש המכנה את לאקנבי גאון, והתרבות המתמטית שאליה הוא שייך חסכונית במיוחד במילה זו. עבודתו מתבססת ישירות על האקן, תרסטון, ליקוריש ומסורת המשטחים הנורמליים כולה; האלגוריתם הקוואזי-פולינומי הוא שיפור מרהיב בתוך מסגרת מבוססת, לא מסגרת חדשה. הוא גם אינו פולינומי, מה שאומר שהשאלה המרכזית עדיין פתוחה טכנית. וטופולוגיה בממדים נמוכים, על כל יופיה, היא תחום מומחים – תוצאותיו מפורסמות בקרב טופולוגים ובלתי ידועות ברובן בחוץ. מה שמעל לכל ספק הוא שהוא פיצח משהו שהחזיק מעמד במשך מאה, ועשה זאת על ידי הכרת הנושא שלו ביסודיות רבה יותר מכל אחד אחר.
מורשת
מה שלאקנבי עשה, בכל ארבעת הנדבכים של עבודתו, הוא להפוך את תורת הקשרים לאפקטיבית. חסימת נפחים על ידי ספירת הצטלבויות, חסימת התרת קשרים על ידי ספירת מהלכים, חסימת זיהוי על ידי ספירת צעדים – בכל מקרה אובייקט שיכול היה להיות מושא להתבוננות הפך לאובייקט שניתן לחשב. השינוי הזה הוא שהופך תיאוריה יפה לתיאוריה שמישה, וזו הסיבה שהתוצאה מ-2021 חרגה הרבה מעבר לטופולוגיה למדעי המחשב התיאורטיים. דן שאל את השאלה ב-1910. זה לקח 111 שנים ופרופסור באוקספורד שסירב לעבוד על שום דבר אחר.