יוזף טייכמן: הגיאומטר שיצא לשוק
עבודת הדוקטורט שלו משנת 1999 נשאה את הכותרת "התאוריה של חבורות לי בממדים אינסופיים מנקודת המבט של אנליזה פונקציונלית". שום דבר במשפט הזה לא רמז על אדם שימצא את עצמו בתוכנית של כל כנס פיננסים כמותי רציני בעולם, או שיזכה בפרס לואי בשלייה של האקדמיה הצרפתית למדעים כעבור חמש-עשרה שנה. אך עקומת ריבית היא אובייקט בעל ממדים אינסופיים, המתפתח לאורך זמן, וברגע שיוזף טייכמן הבחין בכך, המרחק בין גיאומטריה מופשטת לשוק האג"ח התברר כקצר מאוד.
מלינץ לווינה
טייכמן נולד ב-27 באוגוסט 1972 בלינץ, שבטירול האוסטרית. הוא למד מתמטיקה באוניברסיטת גראץ לפני שעבר לאוניברסיטת וינה לעבודת דוקטורט בהנחייתו של פטר ו. מיכור (Peter W. Michor), אחת הדמויות המובילות בגיאומטריה דיפרנציאלית בממדים אינסופיים. התזה, שהושלמה ב-1999, עסקה בדיוק בתחום זה: חבורות לי בממדים אינסופיים, שניגשו אליהן באמצעות אנליזה פונקציונלית ולא דרך האינטואיציות של ממדים סופיים שבדרך כלל מנחות את התחום.
לאחר מכן הוא קיבל משרה פוסט-דוקטורלית באוניברסיטה הטכנולוגית של וינה והוסמך שם בשנת 2002 – הרישיון הרשמי במערכת האקדמית דוברת הגרמנית להחזיק בקתדרה, ובמקרה שלו, הנקודה שבה המסלול השתנה.
ממדים אינסופיים, כסף אמיתי
המעבר מגיאומטריה טהורה למתמטיקה פיננסית נראה כמו שינוי קריירה. הוא היה קרוב יותר לשינוי של דוגמאות.
תמחור אופציות קלאסי מתייחס למחיר נכס בודד כתהליך סטוכסטי ושואל מה השווי של נגזר עליו. שיעורי ריבית הם קשים יותר, מכיוון שמה שזז אינו מספר אלא עקומה: כל מבנה הטווחים של תשואות בכל מועד פירעון מיום למחרת ועד שלושים שנה, שרועד כצורה אחת מחוברת. מסגרת הית'-ג'ארו-מורטון (Heath–Jarrow–Morton), שטייכמן עבד עליה רבות, ממדלת את כל העקומה הזו כתהליך סטוכסטי במרחב פונקציות. משתנה המצב חי במימדים אינסופיים רבים. המשמעות היא שהשאלות שגיאומטר שואל — מהי צורת המרחב, אילו תת-יריעות נשמרות על ידי הדינמיקה, מתי זרימה נשארת בתוך משפחה בעלת ממדים סופיים — הן בדיוק השאלות שהבעיה הפיננסית מציבה.
זהו הדפוס החוזר בקריירה שלו: הבאת ארגז כלים גיאומטרי חזק בצורה יוצאת דופן לתחום שטופל בעיקר באמצעות הסתברות וחישוב, ומציאת מבנה שאנשים אחרים לא יכלו לראות מכיוון שלא היו מצוידים לחפש אותו.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →מסלולים גסים, חשבון מליאוון, קובטורה
עבודתו באנליזה סטוכסטית השתרעה על פני המנגנונים הטכניים ביותר של התחום. חשבון מליאוון (Malliavin calculus) — חשבון דיפרנציאלי על מרחב של מסלולים אקראיים — מספק רגישויות ותוצאות חלקות שאינן נגישות בדרך אחרת. תורת המסלולים הגסים (Rough path theory) וחקר משוואות דיפרנציאליות חלקיות סטוכסטיות תוקפים את הבעיה של מה זה בכלל אומר לפתור משוואה המונעת על ידי רעש לא סדיר מדי לאינטגרציה קלאסית. תהליכים אפיניים מספקים את המחלקה הנוחה העומדת בבסיס רוב המידול של שיעורי ריבית ותנודתיות.
לצד התאוריה ניצבת דאגה מתמדת לחישוב. נוסחאות קובטורה וסכימות נומריות למשוואות דיפרנציאליות סטוכסטיות אינן זוהרות, אך הן הדרך שבה מודל הופך למחיר. נכונותו של טייכמן לעבוד בשני הקצוות — הגיאומטריה של מרחבים בעלי ממדים אינסופיים בקצה אחד, והסכימה הנומרית בקצה השני — היא יוצאת דופן, וחלק גדול מהסיבה לכך שמתרגלים קוראים אותו.
חתימות ורנדומיזציה
התפנית האחרונה ביותר היא לכיוון למידת מכונה, וגם כאן נקודת הכניסה היא מבנית ולא אופנתית. החתימה של מסלול היא רצף אינסופי של אינטגרלים חוזרים המקודדים את צורת המסלול — קבוצה קנונית של מאפיינים הנובעים מתורת המסלולים הגסים ולא מניחושים של מהנדס. ההרצאות של טייכמן על תורת החתימות ומתמטיקה פיננסית עוקבות אחר התוצאה: אם חתימות נותנות תיאור עקרוני של מסלול, הן נותנות קלט עקרוני לאלגוריתם למידה הפועל על סדרות עיתיות פיננסיות.
קו מקביל עוסק ברנדומיזציה ומחשוב מאגרים (reservoir computing), גישה שבה נוצרות מערכות אקראיות גדולות ורק שכבת קריאה פשוטה מאומנת. המשיכה שלה עבור מתמטיקאי היא שהתנהגותה ניתנת לניתוח בדרך שרשתות עמוקות בדרך כלל אינן. עבודה עדכנית אחרת עוסקת במקסום חסון וארגודי של צמיחה אסימפטוטית — השאלה כיצד להגדיל הון בטווח הארוך כאשר המודל עצמו אינו ודאי.
ציריך
הוא הצטרף ל-ETH ציריך כפרופסור ביוני 2009, במחלקה למתמטיקה, ועבד בתוך קבוצת המימון הסטוכסטי — המחלקה שעשתה יותר מכל אחת אחרת ביבשת אירופה כדי להגדיר מתמטיקה פיננסית מודרנית. מאז אוגוסט 2023 הוא עומד בראש המחלקה. הוא מרצה ומציג ברחבי העולם, מקולוקוויומים של בשלייה וכנסים של SIAM למתמטיקה פיננסית ועד לקונגרסים בינלאומיים למתמטיקה תעשייתית ויישומית.
ההכרה הגיעה מוקדם ומכמה כיוונים: פרס האגודה המתמטית האוסטרית ב-2005, פרס START מקרן המדע האוסטרית ב-2006 — הפרס היוקרתי ביותר באוסטריה לחוקרים צעירים — ופרס לואי בשלייה של האקדמיה הצרפתית למדעים ב-2014.
מדוע יוזף מכונה גאון
שום מקור שלפניי לא מיישם עליו את המילה, ויהיה זה לא ישר להמציא אחד. מה שהתיעוד תומך בו הוא פרופיל קוגניטיבי ספציפי ולא נפוץ: טווח יוצא דופן, המיושם כמנגנון העברה. רוב המתמטיקאים שעוברים לפיננסים מביאים הסתברות. טייכמן הביא גיאומטריה דיפרנציאלית בממדים אינסופיים, נושא ללא קשר ברור לשווקים עד ששמים לב שעקומת תשואה היא נקודה במרחב פונקציות והתפתחותה היא זרימה. לעשות זאת פעם אחת זה רעיון טוב. לעשות זאת שוב ושוב — לתוך מסלולים גסים, לתוך תהליכים אפיניים, לתוך שיטות חתימה ללמידת מכונה — מרמז על מוח ששואל בהרגל מהי הגיאומטריה של בעיה לפני שהוא שואל איך לחשב אותה.
התכונה השנייה היא סירוב להתמחות כלפי מטה. זה נורמלי שמתמטיקאי יהפוך ליותר ויותר מופשט או ליותר ויותר יישומי. טייכמן החזיק בשני התארים, פרסם על המבנה של מרחבים בעלי ממדים אינסופיים ועל סכימות קובטורה שמיושמות, ופרס בשלייה הוא בדיוק ההכרה שניתנה עבור השילוב הזה.
מקרה הנגד הכנה: הוא מתמטיקאי מחקר פעיל בעל הצטיינות גבוהה, לא דמות ששמה נקשר למשפט שארגן מחדש תחום. הפרסים שלו הם לאומיים ומשמעתיים ולא מדליית פילדס או פרס אבל. חלק גדול מהתוצר המצוטט ביותר שלו הוא שיתופי, כפי שמקובל במתמטיקה פיננסית. ועבודת למידת המכונה עדכנית מספיק כדי שעמידותה לא תהיה מבוססת — שיטות חתימה עשויות להפוך לציוד סטנדרטי או להערת שוליים, ומוקדם מדי לומר מה מהם. הוא שייך בין המתמטיקאים החזקים והמגוונים ביותר בתחומו, שזו הבחנה אמיתית ושונה מגאונות.
מורשת
מה שטייכמן בנה בציריך הוא גשר עם תנועה דו-כיוונית: גיאומטריה ואנליזה סטוכסטית המזינות את בעיות התמחור והגידור שבנקים באמת מתמודדים איתן, וחוסר היכולת לטפל בבעיות אלו מייצר בחזרה מתמטיקה טהורה חדשה. העמידה בראש המחלקה למתמטיקה ב-ETH מאז 2023 מציבה אותו באחריות על אחד המוסדות שמחליטים איך הדור הבא של העבודה הזו נראה. התזה על חבורות לי בממדים אינסופיים התבררה כפחות נקודת התחלה מאשר קבוצת כלים שהוא פורק, במקומות לא סבירים יותר ויותר, מאז ועד היום.