אווריסט גלואה

אווריסט גלואה

אווריסט גלואה (Évariste Galois; באנגלית: /ɡælˈwɑː/; בצרפתית: [evaʁist ɡalwa]; 25 באוקטובר 1811 – 31 במאי 1832) היה מתמטיקאי ופעיל פוליטי צרפתי. עוד בהיותו נער, הוא הצליח לקבוע תנאי הכרחי ומספיק לכך שפולינום יהיה פתיר ברדיקלים, ובכך פתר בעיה שהייתה פתוחה במשך 350 שנה. עבודתו הניחה את היסודות לתורת גלואה ולתורת החבורות, שתי ענפים מרכזיים באלגברה מופשטת.

גלואה היה רפובליקני מושבע והיה מעורב עמוקות בתוהו ובוהו הפוליטי סביב מהפכת 1830 בצרפת. כתוצאה מפעילותו הפוליטית, הוא נעצר מספר פעמים וריצה תקופת מאסר אחת של מספר חודשים. מסיבות שנותרות עלומות, זמן קצר לאחר שחרורו מהכלא, גלואה השתתף בדו-קרב ומת מפצעיו.

חיים

### חיים מוקדמים

גלואה נולד ב-25 באוקטובר 1811 לנוקולא-גבריאל גלואה ולאדלאיד-מרי (לבית דמנט). אביו היה רפובליקני ועמד בראש המפלגה הליברלית של בור-לה-רן. אביו הפך לראש עיריית הכפר לאחר שחזר לואי השמונה עשר לכס המלכות ב-1814. אמו, בת של משפטן, קראה שוטפת בלטינית ובספרות קלאסית והייתה אחראית על חינוכו של בנה במשך שנים עשר חודשיו הראשונים.

באוקטובר 1823, הוא נכנס ללייסيه לואי-לה-גראן (Lycée Louis-le-Grand), שם המורה שלו לואי פול אמילי רישאר זיהה את גאונותו. בגיל 14, הוא החל להתעניין ברצינות במתמטיקה.

גלואה מצא עותק של יצירתו של אדריאן-מארי לגנדר "יסודות הגאומטריה" (Éléments de Géométrie), שלפי הסיפור קרא אותה "כמו רומן" והשתלט עליה כבר בקריאה הראשונה. בגיל 15, הוא קרא את המאמרים המקוריים של ז'וזף-לואי לגרנג', כמו "הרהורים על הפתרון האלגברי של משוואות" (Réflexions sur la résolution algébrique des équations) אשר ככל הנראה הניעו את עבודתו המאוחרת על תורת המשוואות, וכן "שיעורים בחשבון פונקציות" (Leçons sur le calcul des fonctions), עבודה שנועדה למתמטיקאים מקצועיים, אך עבודת הכתה שלו נותרה חסרת השראה וממוריו האשימו אותו באימוץ תנועות של גאון.

### מתמטיקאי מתפתח

בשנת 1828, גלואה ניסה את בחינת הכניסה לאקול פוליטקניק (École Polytechnique), המוסד היווקר ביותר למתמטיקה בצרפת באותה עת, ללא ההכנה הרגילה במתמטיקה, ונכשל מחוסר הסברים בבחינה בעל-פה. באותה שנה, הוא נכנס לאקול נורמל (École Normale, שנודע אז כ-l'École préparatoire), מוסד נחות בהרבה ללימודי מתמטיקה באותה עת, שם מצא כמה פרופסורים שהזדהו עמו.

בשנה שלאחר מכן פורסם מאמרו הראשון של גלואה, על שברים המשכיים פשוטים. בערך באותו זמן הוא החל לבצע תגליות יסודיות בתורת משוואות פולינומיות. הוא הגיש שני מאמרים בנושא זה לאקדמיה למדעים. אוגוסטן-לואי קושי שימש כשופט (רפרנט) למאמרים אלו, אך סירב לקבלם לפרסום מסיבות שעדיין נותרות לא ברורות. עם זאת, למרות טענות רבות הסותרות זאת, דעה רווחת היא שקושי הכיר בחשיבות עבודתו של גלואה, ושהוא רק הציע לשלב את שני המאמרים לאחד כדי להגישם לתחרות על הפרס הגדול במתמטיקה של האקדמיה. קושי, מתמטיקאי דגול באותה תקופה הגם שדעותיו הפוליטיות היו מנוגדות בתכלית לדעותיו של גלואה, ראה בעבודתו של גלואה זוכה פוטנציאלי.

ב-28 ביולי 1829, אביו של גלואה שם קץ לחייו בעקבות סכסוך פוליטי מר עם כומר הכפר. יומיים לאחר מכן, גלואה ביצע את ניסיונו השני והאخير להיכנס לפוליטקניק ונכשל שוב. אין עוררין על כך שגלואה היה מוסמך מעל ומעבר; הדיווחים חלוקים באשר לסיבת כישלונו. דיווחים סבירים יותר מציינים שגלואה עשה יותר מדי קפיצות לוגיות ובלבל את הבוחן הלא-מוכשר, מה שהרגיז את גלואה. מותו הטרגי של אביו ייתכן שגם השפיע על התנהגותו.

לאחר שנדחתה קבלתו לאקול פוליטקניק, גלואה ניגש לבחינות הבגרות על מנת להיכנס לאקול נורמל. הוא עבר, וקיבל את תוארו ב-29 בדצמבר 1829. הבוחן שלו במתמטיקה דיווח: "תלמיד זה לפעמים מעורפל בהבעת רעיונותיו, אך הוא חכם ומפגין רוח מחקר יוצאת דופן."

גלואה הגיש את חיבורו על תורת המשוואות מספר פעמים, אך הוא מעולם לא פורסם בחייו. למרות שניסיונו הראשון נדחה על ידי קושי, בפברואר 1830 בעקבות הצעתו של קושי הוא הגיש אותו למזכיר האקדמיה ז'וזף פורייה, כדי שיידון לפרס הגדול של האקדמיה. למרבה הצער, פורייה נפטר זמן קצר לאחר מכן, והחיבור אבד. הפרס הוענק באותה שנה לנילס הנريك אבל לאחר מותו וכן לקרל גוסטב יעקב יעקובי. למרות החיבור שאבד, גלואה פרסם שלושה מאמרים באותה שנה. אחד מהם הניח את היסודות לתורת גלואה. השני עסק בפתרון נומרי של משוואות (מציאת שורשים במינוח מודרני). השלישי היה מאמר חשוב בתורת המספרים, שבו נוסח לראשונה מושג השדה הסופי.

### קנאי פוליטי

גלואה חי בתקופה של תוהو ובוהו פוליטי בצרפת. שארל העשירי ירש את לואי השמונה עשר ב-1824, אך ב-1827 סיעתו ספגה מכה בחירות קשה ועד 1830 הפכה המפלגה הליברלית האופוזיציונית לרוב. שארל, שעמד בפני אופוזיציה פוליטית מהבתי מחוקקים, ביצע הפיכה והוציא את צוומי יולי הידועים לשמצה, שהציתו את מהפכת יולי שהסתיימה בכך שלואי פיליפ הראשון הפך למלך. בזמן שחבריהם בפוליטקניק עשו היסטוריה ברחובות, גלואה, באקול נורמל, הושם מאחורי מנעול ובריח על ידי מנהל בית הספר. גלואה זעם וכתב מכתב חריף שביקר את המנהל, אותו הגיש לגזט דה אקול (Gazette des Écoles), וחתם על המכתב בשמו המלא. אף על פי שערך העיתון השמיט את החתימה בפרסום, גלואה גורש.

אף על פי שגירושו היה נכנס לתוקף רשמי ב-4 בינואר 1831, גלואה עזב את בית הספר מיד והצטרף ליחידת התותחנים הרפובליקנית המושבעת של המשמר הלאומי. הוא חילק את זמנו בין עבודתו המתמטית לבין זיקותיו הפוליטיות. בשל המחלוקת סביב היחידה, זמן קצר לאחר שגלואה הפך לחבר, ב-31 בדצמבר 1830, פוזרו תותחי המשמר הלאומי מתוך חשש שמא יערערו את יציבות הממשלה. בערך באותו זמן, תשעה-עשר קצינים מיחידתו לשעבר של גלואה נעצרו وهوשמו באשמת קשירת קשר להפלת הממשלה.

באפריל 1831, הקצינים זוכו מכל אשמה, וב-9 במאי 1831 נערך לכבודם משתה, שבו נכחו אנשים דגולים רבים, כגון אלכסנדר דיומא. הדיונים הידרדרו למהומות. בשלב מסוים, גלואה קם והציע הרמת כוסית שבה אמר, "לכבוד לואי פיליפ", כשהוא מחזיק פגיון מעל ספלו. הרפובליקנים במשתה פירשו את הרמת הכוסית של גלואה כאיום על חיי המלך והריעו. הוא נעצר ביום שלמחרת בבית אמו והוחזק במעצר בכלא סנט-פלז'י עד 15 ביוני 1831, אז נערך משפטו. עורך הדין המגן של גלואה טען בחוכמה שגלואה אמר למעשה, "לכבוד לואי-פיליפ, אם יבגד", אך המאפיין הזה נבלע בתשואות. התובע שאל עוד מספר שאלות, ואולי בהשפעת גילו הצעיר של גלואה, חבר המושבעים זיכה אותו באותו יום ממש.

בבסטיליה דיי שלאחר מכן (14 ביולי 1831), גלואה עמד בראש הפגנה, כשהוא לבוש במדי התותחנים המפורקים, ומצויד בכבדות במספר אקדחים, רובה טעון ופגיון. הוא נעצר בשנית. במהלך שהותו בכלא, גלואה שתה לראשונה אלכוהול בעקבות דחיפה מצד אסירים אחרים. אחד האסירים הללו, פרנסואה-ונסן רספאי, תיעד את דבריו של גלואה בעת שיכרות במכתב מיום 25 ביולי. מתוך המכתב לקוחים הקטעים הבאים:

> ואני אומר לך, אמות בדו-קרב לרגל איזו קורטיזנה זולה. למה? מפני שהיא תזמין אותי לנקום את כבודה שאחר חילל. היודע אתה מה חסר לי, ידידי? אוכל להתוודות על כך רק בפניך: מישהי שאוכל לאהוב ולאהוב אותה ברוח בלבד. איבדתי את אבי ואיש מעולם לא החליף אותו, השומע אתה...?

רספאי ממשיך ומספר שגלואה, שעדיין היה בהזיות, ניסה לשים קץ לחייו, והיה מצליח בכך אלמלא עצרו אותו אסירים אחרים בכוח. חודשים לאחר מכן, כאשר התקיים משפטו של גלואה ב-23 באוקטובר, הוא נידון לשישה חודשי מאסר על לבישת מדים בלתי חוקית. בזמן שהותו בכלא, הוא המשיך לפתח את רעיונותיו המתמטיים. הוא שוחרר ב-29 באפריל 1832.

### ימים אחרונים

גלואה חזר למתמטיקה לאחר גירושו מהאקול נורמל, אף על פי שהמשיך להקדיש זמן לפעילויות פוליטיות. לאחר שגירושו הפך לרשמי בינואר 1831, הוא ניסה לפתוח שיעור פרטי באלגברה מתקדמת שמשך עניין מסוים, אך זה דעך, שכן נראה כי פעילותו הפוליטית קיבלה עדיפות. סימון דני פואסון ביקש ממנו להגיש את עבודתו על תורת המשוואות, והוא עשה זאת ב-17 בינואר 1831. בערך ב-4 ביולי 1831, פואסון הכריז כי עבודתו של גלואה "בלתי מובנת", והצהיר כי "[הטיעון של גלואה] אינו ברור דיו ואינו מפותח דיו כדי לאפשר לנו לשפוט את הקפדנות שלו"; עם זאת, דוח הדחייה מסתיים בנימה מעודדת: "לפיכך נציע שהמחבר יפרסם את מכלול עבודתו כדי לגבש דעה סופית." אף על פי שדוח פואסון ניתן לפני מעצרו של גלואה ב-14 ביולי, לקח עד אוקטובר עד שהגיע אל גלואה בכלא. אין פלא, לאור אופיו ומצבו באותה עת, שגלואה הגיב באלימות למכתב הדחייה, והחליט לנטוש את פרסום מאמריו דרך האקדמיה ובמקום זאת לפרסמם באופן פרטי דרך חברו אוגוסט שוולייה. נראה, עם זאת, שגלואה לא התעלם מעצתו של פואסון, שכן הוא החל לאסוף את כל כתבי היד המתמטיים שלו בעודו בכלא, והמשיך ללטש את רעיונותיו עד לשחרורו ב-29 באפריל 1832, ולאחר מכן איכשהו פותה לתוך דו-קרב.

הדו-קרב הקטלני של גלואה התקיים ב-30 במאי. המניעים האמיתיים מאחורי הדו-קרב מעורפלים. היו השערות רבות לגביהם. מה שידוע הוא, שחמישה ימים לפני מותו, הוא כתב מכתב לשוולייה הרומז בברורה על רומן שהסתיים בשברון לב.

חקירה ארכיונית כלשהי על המכתבים המקוריים מעלה שהאישה שעוררה עניין רומנטי הייתה סטפני-פליסי פוטרן דו מוטל (Stéphanie-Félicie Poterin du Motel), בת הרופא באכסניה שבה התגורר גלואה בחודשים האחרונים לחייו. קטעי מכתבים ממנה, שהועתקו על ידי גלואה עצמו (עם חלקים רבים, כגון שמה, מחוקים או מושמטים בכוונה), זמינים. המכתבים רומזים שפוטרן דו מוטל הפקידה חלק מצרותיה בידיו של גלואה, ודבר זה עשוי היה לדרבן אותו לעורר בעצמו את הדו-קרב מטעמה. השערה זו נתמכת גם במכתבים אחרים שגלואה כתב מאוחר יותר לחבריו בלילה לפני מותו. בן דודו של גלואה, גבריאל דמנט, כאשר נשאל האם הוא יודע את סיבת הדו-קרב, ציין שגלואה "מצא את עצמו בנוכחות דוד לכאורה וארוס לכאורה, שכל אחד מהם עורר את הדו-קרב". גלואה עצמו קרא בקול: "אני קורבן של קורטיזנה נבזית ושני הפראיירים שלה."

באשר ליריבו בדו-קרב, אלכסנדר דיומא מציין את פשייה ד'אורבנביל (Pescheux d'Herbinville), שהיה למעשה אחד מתשעה-עשר קציני התותחנים שזיכויים נחגג במשתה שהביא لمعצרו הראשון של גלואה. עם זאת, דיומא לבדו טוען טענה זו, ואם הוא צדק לא ברור מדוע ד'אורבנביל היה מעורב. היו השערות שהוא היה "הארוס לכאורה" של פוטרן דו מוטל באותו זמן (בסופו של דבר היא נישאה לאחר), אך לא נמצאה שום ראייה ברורה התומכת בהשערה זו. מצד שני, גזירים של עיתונים קיימים מימים ספורים בלבד לאחר הדו-קרב נותנים תיאור של יריבו (המזוהה באמצעות ראשי התיבות "L.D.") שנראה מתאים במדויק לאחד מחבריו הרפובליקנים של גלואה, סביר להניח ארנסט דושאטל, שנכלא יחד עם גלואה באותם סעיפי אישום. בהתחשב במידע הסותר הקיים, זהותו האמיתית של רוצחו עשויה בהחלט להיות אבודה בהיסטוריה.

יהיו אשר יהיו הסיבות מאחורי הדו-קרב, גלואה היה משוכנע כל כך במותו הקרב עד שהוא נשאר ער כל הלילה בכתיבת מכתבים לחבריו הרפובליקנים ובחיבור מה שיהפוך לצוואתו המתמטית, המכתב המפורסם לאוגוסט שוולייה המתווה את רעיונותיו, ושלושה כתבי יד מצורפים. המתמטיקאי הרמן וויל אמר על צוואה זו: "מכתב זה, אם נשפוט לפי החדשנות והעומק של הרעיונות המצויים בו, הוא אולי החיבור המהותי ביותר בכל ספרות המין האנושי." עם זאת, נראה כי האגדה על כך שגלואה שפך את מחשבותיו המתמטיות על נייר בלילה לפני מותו הייתה מוגזמת. במסמכים סופיים אלו, הוא תו את הקווים הגסים של עבודה כלשהי שעשה באנליזה והוסיף הערות לשולי עותק של כתב היד שהוגש לאקדמיה ומסמכים אחרים.

בבוקרו המוקדם של 30 במאי 1832, הוא נורה בבטנו, הופקר על ידי יריביו ושניותיו שלו, ונמצא על ידי איכר חולף. הוא מת ביום שלמחרת בשעה עשר בבוקר בבית החולים קושי (Hôpital Cochin) (ככל הנראה מדלקת הצפק), לאחר שסירב לשירותיו של כומר. הלווייתו הסתיימה במהומות. היו תוכניות ליזום התקוממות במהלך הלווייתו, אך באותה שעה שמעו המנהיגים על מותו של הגנרל ז'אן מקסימיליאן למארק והמרד נדחה מבלי שתתרחש שום התקוממות עד 5 ביוני. רק אחיו הצעיר של גלואה עודכן באירועים טרם מותו של גלואה. גלואה היה בן 20. מילותיו האחרונות לאחיו הצעיר אלפרד היו:

> "Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !" (אל תבכי, אלפרד! אני זקוק לכל האומץ שלי כדי למות בגיל עשרים!)

ב-2 ביוני, אווריסט גלואה נקבר בקבר אחים בבית העלמין מונפרנאס שמיקומו המדויק אינו ידוע. בבית העלמין של עיר הולדתו – בור-לה-רן – הוקמה אנדרטה לזכרו לצד קברי קרובי משפחתו.

בשנת 1842, ז'וזף ליוביל החל ללמוד את כתבי היד הלא מפורסמים של גלואה והכיר בערכם ב-1843. לא ברור מה קרה בעשר השנים שבין 1832 ל-1842 ומה בסופו של דבר השראה לליוביל להתחיל לקרוא את כתביו של גלואה. יספר ליצו (Jesper Lützen) חוקר נושא זה באריכות בפרק XIV תורת גלואה בספרו על ז'וזף ליוביל מבלי להגיע למסקנות חד-משמעיות.

בהחלט ייתכן שמתמטיקאים (לרבות ליוביל) לא רצו לפרסם את כתביו של גלואה משום שגלואה היה פעיל פוליטי רפובליקני שמת 5 ימים לפני מרד יוני, התקוממות אנטי-מונרכיסטית כושלת של רפובליקנים פריזאים. בהספד על גלואה, חברו אוגוסט שוולייה כמעט האשים את האקדמאים באקול פוליטקניק בכך שהרגו את גלואה שכן, אלמלא דחו את עבודתו, הוא היה הופך למתמטיקאי ולא היה מקדיש עצמו לפעילות הפוליטית הרפובליקנית שלדעת אחדים גרמה להירצחו. בהתחשב בכך שצרפת עדיין חיה בצילו של שלטון הטרור והעידן הנפוליאוני, ייתכן שליוביל המתין עד שהמהומה הפוליטית שככה (ממרד יוני הכושל ותוצאותיו) בטרם הפנה את תשומת ליבו לכתביו של גלואה.

ליוביל פרסם לבסוף את כתבי היד של גלואה בגיליון אוקטובר–נובמבר 1846 של כתב העת Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. תרומתו הידועה ביותר של גלואה הייתה הוכחה חדשנית שאין נוסחה ממעלה חמישית – כלומר, שמשוואות ממעלה חמישית ומעלה אינן פתירות בדרך כלל ברדיקלים. אף על פי שנילס הנריק אבל כבר הוכיח את אי-האפשרות של "נוסחה ממעלה חמישית" ברדיקלים ב-1824 ופאולו רופיני פרסם פתרון ב-1799 שהתברר כלקווי, שיטותיו של גלואה הובילו למחקר מעמיק יותר במה שנקרא כיום תורת גלואה, אשר יכול לשמש כדי לקבוע, עבור כל משוואת פולינום, האם יש לה פתרון ברדיקלים.

תרומות למתמטיקה

מהשורות האחרונות של מכתב מאת גלואה לחברו אוגוסט שוולייה, מתאריך 29 במאי 1832, יומיים לפני מותו של גלואה:

> Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes. Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

(בקש באופן פומבי מיעקובי או מגאוס לתת את דעתם, לא באשר לאמת, אלא באשר לחשיבותם של משפטים אלו. לאחר מכן יהיו, אני מקווה, אנשים שימצאו לנכון לפענח את כל הבלגן הזה.)

בתוך כ-60 העמודים של כתביו הנאספים של גלואה ישנם רעיונות חשובים רבים שהיו להם השלכות מרחיקות לכת על כמעט כל ענפי המתמטיקה. עבודתו הושוותה לזו של נילס הנריק אבל (1802–1829), מתמטיקאי בן-זלו שמת גם הוא בגיל צעיר מאוד, וחלק ניכר מעבודתם חפף משמעותית.

### אלגברה

בעוד שמתמטיקאים רבים לפני גלואה נתנו דעתם למה שנקרא כיום חבורות, הוא היה הראשון להשתמש במילה חבורה (בצרפתית groupe) במובן הקרוב למובן הטכני המובן כיום, ובכך נמנה עם מייסדי ענף האלגברה הידוע כתורת החבורות. הוא קרא לפירוק חבורה לקוכולטים השמאליים והימניים שלה פירוק הולם אם הקוכולטים השמאליים והימניים חופפים, דבר המוביל למושג הידוע כיום כתاب תת-חבורה נורמלית. הוא גם הציג את מושג השדה הסופי (הידוע גם כשדה גלואה לכבודו) בצורה דומה במהותה לזו המובנת כיום.

במכתבו האחרון לשוולייה ובכתבי היד המצורפים, השני מתוך שלושה, הוא ערך מחקרים בסיסיים על חבורות לינאריות מעל שדות סופיים:

הוא בנה את החבורה הלינאריות הכללית מעל שדה ראשוני, GL(ν, p) וחישב את הסדר שלה, בחקירת חבורת גלואה של המשוואה הכללית ממעלה p.

- הוא בנה את החבורה הלינארית המיוחדת הפרויקטיבית PSL(2,p). גלואה בנה אותן כטרנספורמציות לינאריות שבריות, וציין שהן פשוטות למעט אם p הוא 2 או 3. אלו היו משפחת החבורות הפשוטות הסופיות השנייה, לאחר חבורות תמורות חלופיות.

- הוא ציין את העובדה החריגה ש-PSL(2,p) פשוטה ופועלת על p נקודות אם ורק אם p הוא 5, 7 או 11.

### תורת גלואה

תרומתו המשמעותית ביותר של גלואה למתמטיקה היא פיתוח תורת גלואה. הוא הבין שהפתרון האלגברי למשוואת פולינום קשור למבנה של חבורת תמורות הקשורות לשורשי הפולינום, חבורת גלואה של הפולינום. הוא מצא שמשוואה ניתנת לפתרון ברדיקלים אם אפשר למצוא סדרה של תת-חבורות של חבורת גלואה שלה, שכל אחת מהן נורמלית ביורשתה עם מנה אבלית, כלומר חבורת גלואה שלה פתירה. גישה זו התגלתה כפורייה, ומתמטיקאים מאוחרים יותר התאימו אותה לתחומים רבים אחרים במתמטיקה מלבד תורת המשוואות שאליה יישם אותה גלואה במקור.

### אנליזה

גלואה תרם גם כמה תרומות לתורת האינטגרלים האבליים ושברים המשכיים.

כפי שנכתב במכתבו האחרון, גלואה עבר מחקר הפונקציות האליפטיות לדיון באינטגרלים של הדיפרנציאלים האלגבריים הכלליים ביותר, הנקראים כיום אינטגרלים אבליים. הוא סיווג אינטגרלים אלו לשלוש קטגוריות.

### שברים המשכיים

במאמרו הראשון משנת 1828, גלואה הוכיח שהשבר ההמשכי הרגיל המייצג שורש ריבועי ζ הוא מחזורי טהור אם ורק אם ζ הוא שורש מצומצם, כלומר,

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

והצמוד שלו

η

{\displaystyle \eta }

מקיים

− 1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

.

למעשה, גלואה הראى יותר מכך. הוא הוכיח גם שאם ζ הוא שורש ריבועי מצומצם ו-η הוא הצמוד שלו, אזי השברים ההמשכיים עבור ζ ועבור (−1/η) שניהם מחזוריים טהורים, והבלוק החוזר באחד מהשברים ההמשכיים הללו הוא תמונת הראי של הבלוק החוזר בשני. בסמלים יש לנו

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

− 1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

כאשר ζ הוא כל שורש ריבועי מצומצם, ו-η הוא הצמוד שלו.

מתוך שני משפטים אלו של גלואה ניתן להסיק תוצאה שכבר הייתה ידועה ללגרנג'. אם r > 1 הוא מספר רציונלי שאינו ריבוע מושלם, אזי

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

בפרט, אם n הוא כל מספר שלם חיובי שאינו ריבוע, פיתוח השבר ההמשכי הרגיל של √n מכיל בלוק חוזר באורך m, שבו m − 1 המכנים החלקיים הראשונים יוצרים מחרוזת פלינדרומית.