אנדראס דרס: המתמטיקאי ששינה תחומים שוב ושוב
קיימת גיוון בגאומטריה טרופית המכונה "דרסיאן" (Dressian). קיים אובייקט קומבינטורי המשמש לסיווג ריצופים מחזוריים המכונה "סימול דלייני-דרס" (Delaney–Dress symbol). קיים גוף עבודה על שחזור עצים אבולוציוניים מנתוני מרחק הידוע בתור תורת T (T-theory). שלושתם הגיעו מאותו אדם, והם שייכים לשלושה ענפים שונים של המתמטיקה שרוב החוקרים היו מחשיבים כקריירות נפרדות. אנדראס דרס, שהלך לעולמו ב-23 בפברואר 2024 בגיל שמונים וחמש, הקדיש שישה עשורים לעשייה יוצאת דופן אפילו בקרב מתמטיקאים מן השורה הראשונה: הוא המשיך להתחיל מחדש.
קיל, 1962
דרס נולד ב-26 באוגוסט 1938. הוא למד באוניברסיטה החופשית של ברלין (Freie Universität Berlin), בטיבינגן ובקיל, וקיבל את הדוקטורט שלו בקיל ב-1962 בהנחיית פרידריך באכמן (Friedrich Bachmann) וקרל-היינריך וייזה (Karl-Heinrich Weise). הדיסרטציה נקראה Konstruktion metrischer Ebenen — בניית מישורים מטריים — מה שמציב את מקורותיו בבירור במסורת הגרמנית של יסודות הגאומטריה. ראוי לציין כמה צעיר הוא היה: דוקטורט בגיל עשרים וארבע, בנושא שהיה אחת ההתמחויות הגרמניות הגדולות מאז הילברט.
בילפלד מאפס
בשנת 1969 פתחה מדינת נורדריין-וסטפאליה אוניברסיטה חדשה בבילפלד, שתוכננה כמוסד בעל עדיפות למחקר עם מנדט בין-תחומי. דרס היה אחד ממייסדי הפקולטה למתמטיקה, והוא נשאר שם עד פרישתו בשנת 2003 — שלושים וארבע שנים באותה מחלקה, נתון מסקרן עבור מתמטיקאי בחוסר מנוחה שכמוהו, עד שמבחינים בכך שהוא החליף נושא בערך כל עשור מבלי לשנות את כתובתו. הפקולטה למתמטיקה של בילפלד הפכה לאחת החזקות בגרמניה בתקופה זו, ודרס היה חלק משמעותי מהסיבה לכך.
פונקטורים, ריצופים, מטרואידים
גוף העבודה המרכזי הראשון שלו היה בתורת ההצגות, שם פיתח את פונקטורי מאקי וגרין (Mackey and Green functors) — מנגנון פורמלי המספק מסגרת מאוחדת למשפטי צמצום והשראה השכיחים בתורת ההצגות של חבורות סופיות. זוהי אלגברה מופשטת מהסוג הטהור ביותר, והיא נותרה ציוד סטנדרטי בתחום.
Twenty questions, eight minutes on the clock, and a percentile measured against everyone who has taken it. No sign-up.
Take the IQ test →בראשית שנות ה-80 הוא עבר לגאומטריה דיסקרטית והציג, יחד עם אנדרו דלייני (Andrew Delaney), את הקידוד הקומבינטורי המכונה כיום "סימול דלייני-דרס": מבנה סופי הלוכד את סוג הסימטריה של ריצוף מחזורי בצורה מלאה מספיק כדי לאפשר סיווג שיטתי. קריסטלוגרפים ומתמטיקאים כאחד אימצו זאת, מכיוון שהוא ממיר בעיית סיווג גאומטרית לבעיה קומבינטורית שמחשב יכול למנות.
לאחר מכן פנה לתורת המטרואידים, תוך בניית גישות אלגבריות מקיפות לנושא שהיה ברובו קומבינטורי, כולל בניית חבורת טאט (Tutte group) של מטרואיד. משם העבודה המשיכה לגאומטריה טרופית: דרס ביסס קשרים בין מטרואידים מוערכים למרחבים ליניאריים טרופיים, והאובייקט הפרמטרי שהתקבל נושא את שמו — הדרסיאן.
עצים ממרחקים
הפרק האחרון והגלוי ביותר לעין הוציא אותו מהמתמטיקה הטהורה לחלוטין, אל עבר הביולוגיה. הבעיה מוגדרת בקלות אך קשה לפתרון: בהינתן מטריצה של אי-דמיון מדוד בין מינים, רצפים או אוכלוסיות, יש לשחזר את העץ האבולוציוני שיצר אותם — או לקבוע שאין עץ מתאים, ולייצג את מה שכן קיים. דרס תקף זאת בעזרת הכלים של גאומטריה מטרית, תוך פיתוח תורת T ותורת הטווחים ההדוקים (tight spans), המספקות דרך קנונית להטמעת מרחב מטרי סופי ולקריאת המבנה דמוי העץ ושאינו דמוי העץ שלו. התחום שהוא סייע ליצור כונה לימים קומבינטוריקה פילוגנטית, וב-2012 הוא הציג אותו בצורת ספר עם קתרינה הובר (Katharina Huber), יאקובוס קולן (Jacobus Koolen), וינסנט מולטון (Vincent Moulton) ואנדראס שפילנר (Andreas Spillner) בשם Basic Phylogenetic Combinatorics, בהוצאת אוניברסיטת קיימברידג'.
שנגחאי
לאחר פרישתו מבילפלד בשנת 2003, דרס עבר למכון מקס פלאנק למתמטיקה במדעים בלייפציג, שם נותר חבר מדעי חיצוני לזמן ממושך. בשנת 2005 הוא הפך למנהל מייסד של המכון השותף לביולוגיה חישובית בשנגחאי, מיזם משותף של חברת מקס פלאנק והאקדמיה הסינית למדעים, ושימש בתפקיד עד 2010. הוא היה דובר מוזמן בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים בברלין בשנת 1998.
מדוע אנדראס מכונה גאון
האיכות שמייחדת את דרס היא העברה מבנית — ההכרה בכך שמנגנון שפותח עבור בעיה אחת עוסק בסתר במשהו אחר לגמרי. הדבר ניכר בכל שלב בקריירה שלו. הגאומטריה המטרית שלמד עבור הדיסרטציה שלו ב-1962 על מישורים מטריים הפכה, כעבור ארבעים שנה, למכשיר להחלטה האם מטריצה של מרחקים גנטיים היא דמוית עץ. האינסטינקטים האלגבריים שפיתח בתורת ההצגות הפכו לאלגבריזציה של תורת המטרואידים, שהפכה בתורה לבסיס לגאומטריה טרופית. העין הקומבינטורית שהפיקה את סימול דלייני-דרס לריצופים היא כזו שניתן לזהותה כעין שהפיקה את פירוק הפיצול (split decomposition) עבור נתונים ביולוגיים. רוב המתמטיקאים מעמיקים; דרס תרגם. לעשות זאת פעם אחת זה מזל. לעשות זאת ארבע פעמים, על פני תורת ההצגות, גאומטריה דיסקרטית, מטרואידים וביולוגיה מתמטית, זו צורת חשיבה מובחנת, והעובדה ששלושה אובייקטים נפרדים נושאים את שמו בשלושה תחומים נפרדים היא העדות האובייקטיבית לכך.
יש מקום להציג גם את דעת הנגד. דרס לא פתר שום בעיה פתוחה מפורסמת, ואף אחת מתרומותיו לא נושאת את סוג התהילה הייחודי הנלווה לתוצאה של מדליית פילדס. רבים מהמבנים הידועים ביותר שלו היו שיתופיים — סימול דלייני-דרס, העבודה הפילוגנטית עם הובר, קולן, מולטון ושפילנר, הקשרים בגאומטריה טרופית שאחרים פיתחו באופן משמעותי — והכישרון שלו היה לעיתים קרובות בהצבת מסגרת שעמיתים בנו עליה לאחר מכן. הוא היה דובר מוזמן ולא דובר מליאה בקונגרס הבינלאומי של המתמטיקאים (ICM), וההוקרה הרשמית שלו צנועה ביחס להשפעתו. פסק דין הוגן הוא שהיה מחולל יוצא דופן של מסגרות ומזהה מעולה של אנלוגיות נסתרות, ולא פותר של בעיות מהוללות. בתוך המתמטיקה אלו מוניטין שונים, והראשון קל יותר לזלזול.
מורשת
קומבינטוריקה פילוגנטית היא כיום תחום מבוסס עם ספר לימוד, קהילת מחקר ויישום ישיר בביולוגיה אבולוציונית וניתוח רצפים — הדבר הקרוב ביותר שיש לדרס לדיסציפלינה שייסד. סימול דלייני-דרס נותר הכלי העבודה לסיווג שיטתי של ריצופים מחזוריים. הדרסיאן נמצא באוצר המילים הסטנדרטי של גאומטריה טרופית. ובשנגחאי, המכון השותף שהוא סייע להקים הכשיר דור של ביולוגים חישוביים סינים ברגע שבו המדינה בנתה את התחום כמעט מאפס. בילפלד, לייפציג ושנגחאי התאבלו עליו כל אחת כעל שלהן, וזה בערך התיאור הנכון לקריירה שמעולם לא נשארה במקום אחד זמן רב מספיק כדי להיתבע על ידי נושא אחד בלבד.