Israel Gelfand : L'homme qui a construit des routes à travers les mathématiques

Il n'a jamais terminé ses études secondaires et n'a jamais suivi un seul cours de premier cycle. À seize ans, il travaillait comme gardien à la bibliothèque Lénine de Moscou, donnant des cours du soir d'arithmétique élémentaire pour subvenir à ses besoins et se faufilant dans les cours universitaires quand il le pouvait. À dix-neuf ans, l'Université d'État de Moscou l'a admis directement en études supérieures, sur le jugement de Kolmogorov. Vladimir Arnold a plus tard résumé la différence entre les deux hommes ainsi : Kolmogorov gravirait la plus haute montagne, et Gelfand commencerait à construire des routes.

Pas d'école, pas de diplôme, Moscou quand même

Israil Moiseevic Gelfand est né le 2 septembre 1913 à Okny, alors dans l'Empire russe et aujourd'hui en Ukraine, près d'Odessa. En 1930, à seize ans, il est parti pour Moscou sans avoir terminé ses études secondaires. Ce qui a suivi fut deux années de survie improvisée et d'auto-instruction : petits boulots, la porte de la bibliothèque, et une échelle de postes d'enseignement dans les instituts du soir de Moscou qui l'ont mené des mathématiques élémentaires aux cours avancés alors qu'il apprenait lui-même la matière.

Il a assisté à des cours à l'Université de Moscou en tant qu'auditeur libre — son premier cours était l'analyse complexe sous Lavrent'ev. En 1932, Kolmogorov l'a pris comme étudiant chercheur, le plongeant dans une école d'analyse fonctionnelle qui comprenait également A. E. Plessner et L. A. Lyusternik. Trois ans plus tard, à vingt-deux ans, il a soutenu une thèse sur les fonctions abstraites et les opérateurs linéaires.

L'astuce avec les idéaux maximaux

La thèse de 1935 montrait déjà le mouvement qui allait le définir. Confronté à des fonctions vivant sur un espace normé abstrait, où aucun des outils ordinaires du calcul ne s'applique, la tactique de Gelfand consistait à leur appliquer des fonctionnelles linéaires, transformant l'objet intraitable en une fonction ordinaire d'une variable réelle ou complexe — puis à faire porter tout le poids de l'analyse classique sur cela.

Sa thèse de doctorat d'État de 1938, sur les anneaux normés commutatifs, en a fait une méthode générale. L'idée qui la portait était l'idéal maximal. Une algèbre de fonctions et un espace topologique avaient, jusque-là, semblé être des types d'objets différents. Gelfand a montré que les points de l'espace pouvaient être récupérés à partir de l'algèbre seule, en tant qu'idéaux maximaux — ce qui signifie qu'une algèbre abstraite est secrètement une algèbre de fonctions sur un espace que vous pouvez reconstruire de l'intérieur. Ses collègues lui ont rendu un hommage précis : c'est Gelfand qui a mis en lumière le concept fondamental d'idéal maximal, et ce faisant, a uni un ensemble de faits auparavant déconnectés en une seule structure.

Cette construction est maintenant appelée la représentation de Gelfand, et les objets sont appelés algèbres de Banach. Son résultat le plus spectaculaire est arrivé au début des années 1940 avec Mark Naimark, lorsque les deux ont traité des anneaux normés non commutatifs avec involution et ont montré que ceux-ci peuvent aussi toujours être représentés concrètement, comme des algèbres d'opérateurs linéaires sur un espace de Hilbert. Le théorème de Gelfand-Naimark est l'un des résultats porteurs de l'analyse du XXe siècle, et c'est la raison pour laquelle la formulation algébrique de la mécanique quantique fonctionne : l'algèbre abstraite des observables peut toujours être réalisée en tant qu'opérateurs.

Une carrière dans plusieurs mathématiques à la fois

Gelfand a travaillé à l'Académie des sciences de l'URSS de 1935 à 1941, puis est devenu professeur à l'Université d'État de Moscou. Ce qu'il a fait par la suite résiste au résumé car cela ne reste pas dans un seul domaine.

Il a pris la théorie des représentations — les travaux de Frobenius et Schur sur les groupes finis, ceux de Weyl sur les groupes compacts — et l'a étendue aux groupes non compacts, où la machinerie est beaucoup plus difficile et où réside la physique. Il a travaillé sur le problème inverse de Sturm-Liouville dans les équations différentielles : non pas « étant donné ce système, comment vibre-t-il ? » mais l'inverse, « étant donné comment il vibre, quel est le système ? ». Avec Georgi Shilov, il a construit la théorie des fonctions généralisées, suivant Sobolev et Schwartz, ce qui permet aux physiciens d'utiliser des objets comme la distribution de Dirac sans que les mathématiques ne s'effondrent.

Et il a développé la géométrie intégrale, y compris des travaux sur la transformée de Radon — les mathématiques de la reconstruction d'un objet à partir d'une famille de ses coupes ou projections. Cela s'est avéré être la théorie sous-jacente à l'imagerie médicale : les scanners et l'IRM produisent des images tridimensionnelles d'un corps vivant en résolvant exactement ce problème. Entre 1968 et 1972, il a ajouté un corpus de travaux sur la cohomologie des algèbres de Lie de dimension infinie. Au cours de sa vie, il a publié plus de cinq cents articles.

Le séminaire

Le séminaire de Moscou était une institution en soi, tenue chaque semaine à l'Université d'État de Moscou et dont se souviennent tous ceux qui y ont survécu. Il tenait plus de l'improvisation que d'un programme de cours — les participants ne connaissaient souvent pas le sujet avant qu'il ne commence. La contribution caractéristique de Gelfand était le recadrage : la formulation de nouveaux problèmes, la question inattendue, la tendance à regarder même des choses bien connues sous un angle que personne n'avait essayé. Il a également construit une école par correspondance qui a apporté des mathématiques sérieuses aux étudiants à travers l'Union soviétique qui n'avaient pas accès à un centre de recherche.

Ce n'était pas un homme facile à vivre. L'évaluation d'Andrei Zelevinsky était directe : il n'était pas la personne la plus délicate et polie du monde. Alexander Goncharov, qui le trouvait imprévisible, l'a tout de même qualifié de personne la plus intéressante qu'il ait jamais rencontrée.

La biologie, et une raison pour cela

À partir de 1958, Gelfand a déplacé une partie substantielle de son attention vers la biologie et la médecine, cofondant l'Institut de physique biologique avec Fomin en 1960. Le déclencheur était personnel : son fils a développé une leucémie, et Gelfand a lancé un séminaire de biologie. Les travaux qui en sont issus étaient caractéristiquement structurels plutôt que descriptifs — des principes généraux sur la façon dont le contrôle est organisé dans les systèmes multicellulaires complexes, avec des applications allant jusqu'à l'analyse par rayons X et la reconnaissance de formes.

Pourquoi Israel est appelé un génie

Le mot est défendable ici pour une raison spécifique : le don de Gelfand était de trouver le niveau d'abstraction auquel deux choses non liées deviennent la même chose. L'intuition de l'idéal maximal en est l'exemple le plus clair — un objet algébrique et un espace géométrique s'avèrent être deux vues d'une même structure, et une fois que vous le voyez, toute une littérature de résultats séparés s'effondre en un seul théorème. Il a fait cela à plusieurs reprises, à travers l'analyse, la théorie des représentations, les équations différentielles, la géométrie intégrale et la théorie de Lie, puis en franchissant la frontière vers la biologie.

La distinction d'Arnold entre montagne et routes est la chose la plus pointue que quiconque ait dite à son sujet, et elle n'est pas entièrement flatteuse. Gelfand n'était pas principalement un résolveur de problèmes célèbres. Il était un bâtisseur d'infrastructure — il a rendu le territoire praticable pour d'autres personnes. Son influence s'est fortement exercée par le biais du séminaire et des étudiants, ce qui signifie qu'une bonne partie du travail portant son empreinte n'est pas, strictement, le sien. Qu'il n'ait jamais reçu de médaille Fields, dans une carrière d'une telle envergure, mérite d'être noté honnêtement.

Contre cela : l'auto-éducation n'est pas une note de bas de page romantique mais une preuve. Un garçon sans scolarité secondaire a atteint, sans supervision, le point où Kolmogorov l'a admis en études supérieures, et à vingt-cinq ans, il avait produit une idée structurelle qui a réorganisé l'analyse fonctionnelle. Quelle que soit cette faculté, très peu de gens l'ont.

Héritage

Les honneurs sont arrivés régulièrement et de toutes les directions : président de la Société mathématique de Moscou de 1968 à 1970, l'ordre de Lénine, membre de la Royal Society en 1977, le prix Wolf en 1978, le prix Kyoto en 1989, une bourse MacArthur en 1994, et le prix Leroy P. Steele en 2005 pour avoir profondément influencé de nombreux domaines de recherche. Il a enseigné à Harvard en 1989-90, a émigré aux États-Unis en 1990, et est devenu professeur invité distingué à Rutgers, où il a fondé le programme de sensibilisation Gelfand pour les lycéens — le même instinct que l'école par correspondance soviétique, transplanté.

Il est décédé le 5 octobre 2009 au Robert Wood Johnson University Hospital à New Brunswick, dans le New Jersey, à l'âge de quatre-vingt-seize ans, laissant dans le deuil sa femme Tatiana, ses fils Sergei et Vladimir, sa fille Tatiana, quatre petits-enfants et trois arrière-petits-enfants. Quiconque a été à l'intérieur d'un scanner IRM est passé par ses mathématiques.