Gottlob Frege

Tout bon mathématicien est au moins à moitié philosophe, et tout bon philosophe est au moins à moitié mathématicien.

Friedrich Ludwig Gottlob Frege était un philosophe, logicien et mathématicien allemand. Il a travaillé comme professeur de mathématiques à l'Université de Jena, et est considéré par beaucoup comme le père de la philosophie analytique, se concentrant sur la philosophie du langage, la logique et les mathématiques. Bien qu'il ait été largement ignoré de son vivant, Giuseppe Peano 1858–1932, Bertrand Russell 1872–1970, et dans une certaine mesure, Ludwig Wittgenstein 1889–1951 ont introduit son travail aux générations ultérieures de philosophes.

Ses contributions incluent le développement de la logique moderne dans le Begriffsschrift et des travaux sur les fondements des mathématiques. Son livre les Fondements de l'arithmétique est le texte fondateur du projet logiciste, et est cité par Michael Dummett comme étant le point d'ancrage du tournant linguistique. Ses articles philosophiques « Sur le sens et la référence » et « La pensée » sont également largement cités. Le premier défend deux types différents de signification et le descriptivisme. Dans les Fondements et « La pensée », Frege défend le platonisme contre le psychologisme ou le formalisme, concernant respectivement les nombres et les propositions. Le paradoxe de Russell a undermined le projet logiciste en montrant que la loi fondamentale V de Frege dans les Fondements était fausse.

Vie

Enfance 1848–69

Frege est né en 1848 à Wismar, Mecklenburg-Schwerin, aujourd'hui partie du Mecklenburg-Vorpommern. Son père Carl Karl Alexander Frege 1809–1866 était le cofondateur et directeur d'une école secondaire pour filles jusqu'à sa mort. Après la mort de Carl, l'école a été dirigée par la mère de Frege Auguste Wilhelmine Sophie Frege née Bialloblotzky, 12 janvier 1815 – 14 octobre 1898 ; sa mère était Auguste Amalia Maria Ballhorn, une descendante de Philipp Melanchthon et son père était Johann Heinrich Siegfried Bialloblotzky, un descendant d'une famille noble polonaise qui a quitté la Pologne au 17e siècle.

Dans son enfance, Frege a rencontré des philosophies qui guideraient sa future carrière scientifique. Par exemple, son père a écrit un manuel sur la langue allemande pour les enfants de 9 à 13 ans, intitulé Hülfsbuch zum Unterrichte in der deutschen Sprache für Kinder von 9 bis 13 Jahren 2e éd., Wismar 1850 ; 3e éd., Wismar et Ludwigslust : Hinstorff, 1862 Livret d'aide pour enseigner l'allemand aux enfants de 9 à 13 ans, dont la première section portait sur la structure et la logique du langage.

Frege a étudié à Große Stadtschule Wismar et a obtenu son diplôme en 1869. Son professeur Gustav Adolf Leo Sachse 5 novembre 1843 – 1er septembre 1909, qui était poète, a joué le rôle le plus important dans la détermination de la future carrière scientifique de Frege, l'encourageant à poursuivre ses études à l'Université de Jena.

Études à l'université 1869–74

Frege s'est immatriculé à l'Université de Jena au printemps de 1869 en tant que citoyen de la Confédération allemande du Nord. Au cours des quatre semestres de ses études, il a suivi environ vingt cours magistraux, la plupart portant sur les mathématiques et la physique. Son professeur le plus important était Ernst Karl Abbe 1840–1905 ; physicien, mathématicien et inventeur. Abbe a donné des cours sur la théorie de la gravité, le galvanisme et l'électrodynamique, la théorie de l'analyse complexe des fonctions d'une variable complexe, les applications de la physique, les divisions choisies de la mécanique et la mécanique des solides. Abbe était plus qu'un professeur pour Frege : c'était un ami de confiance, et, en tant que directeur du fabricant d'optique Carl Zeiss AG, il était en mesure de faire avancer la carrière de Frege. Après la graduation de Frege, ils sont entrés dans une correspondance plus étroite.

Ses autres professeurs universitaires notables étaient Christian Philipp Karl Snell 1806–86 ; sujets : utilisation de l'analyse infinitésimale en géométrie, géométrie analytique des plans, mécanique analytique, optique, fondements physiques de la mécanique ; Hermann Karl Julius Traugott Schaeffer 1824–1900 ; géométrie analytique, physique appliquée, analyse algébrique, sur le télégraphe et autres machines électroniques ; et le philosophe Kuno Fischer 1824–1907 ; philosophie kantienne et critique.

À partir de 1871, Frege a poursuivi ses études à Göttingen, la principale université de mathématiques dans les territoires de langue allemande, où il a suivi les cours de Rudolf Friedrich Alfred Clebsch 1833–72 ; géométrie analytique, Ernst Christian Julius Schering 1824–97 ; théorie des fonctions, Wilhelm Eduard Weber 1804–91 ; études physiques, physique appliquée, Eduard Riecke 1845–1915 ; théorie de l'électricité, et Hermann Lotze 1817–81 ; philosophie de la religion. De nombreuses doctrines philosophiques du Frege mature ont des parallèles chez Lotze ; il a été le sujet d'un débat savant de savoir s'il y avait ou non une influence directe sur les vues de Frege résultant de son assistance aux cours de Lotze.

En 1873, Frege a obtenu son doctorat sous Ernst Christian Julius Schering, avec une dissertation sous le titre « Ueber eine geometrische Darstellung der imaginären Gebilde in der Ebene » « Sur une représentation géométrique des formes imaginaires dans un plan », dans laquelle il visait à résoudre des problèmes fondamentaux en géométrie tels que l'interprétation mathématique des points imaginaires infiniment distants de la géométrie projective.

Frege a épousé Margarete Katharina Sophia Anna Lieseberg 15 février 1856 – 25 juin 1904 le 14 mars 1887.

Travail de logicien

Bien que son éducation et ses premiers travaux mathématiques se soient concentrés principalement sur la géométrie, le travail de Frege s'est bientôt tourné vers la logique. Son Begriffsschrift, eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens , Halle a/S: Verlag von Louis Nebert, 1879 a marqué un tournant dans l'histoire de la logique. Le Begriffsschrift a ouvert de nouveaux horizons, incluant un traitement rigoureux des idées de fonctions et de variables. L'objectif de Frege était de montrer que les mathématiques naissent de la logique, et ce faisant, il a conçu des techniques qui l'ont menés bien au-delà du syllogisme aristotélicien et de la logique propositionnelle stoïcienne qui lui avaient été transmis dans la tradition logique.

En effet, Frege a inventé la logique des prédicats axiomatique, en grande partie grâce à son invention de variables quantifiées, qui sont finalement devenues omniprésentes en mathématiques et en logique, et qui ont résolu le problème de la généralité multiple. La logique antérieure avait traité les constantes logiques et, ou, si... alors..., non, et certains et tous, mais les itérations de ces opérations, en particulier « certains » et « tous », étaient peu comprises : même la distinction entre une phrase comme « chaque garçon aime une certaine fille » et « une certaine fille est aimée par chaque garçon » ne pouvait être représentée que très artificiellement, tandis que le formalisme de Frege n'avait aucune difficulté à exprimer les différentes lectures de « chaque garçon aime une certaine fille qui aime un certain garçon qui aime une certaine fille » et des phrases similaires, en parallèle complet avec son traitement de, disons, « chaque garçon est insensé ».

Un exemple fréquemment noté est que la logique d'Aristote est incapable de représenter des énoncés mathématiques comme le théorème d'Euclide, un énoncé fondamental de la théorie des nombres selon lequel il existe un nombre infini de nombres premiers. La « notation conceptuelle » de Frege, cependant, peut représenter de telles inférences. L'analyse des concepts logiques et le mécanisme de formalisation qui est essentiel à Principia Mathematica 3 vol., 1910–13, par Bertrand Russell, 1872–1970, et Alfred North Whitehead, 1861–1947, à la théorie des descriptions de Russell, aux théorèmes d'incomplétude de Kurt Gödel 1906–78, et à la théorie de la vérité d'Alfred Tarski 1901–83, est ultimement due à Frege.

L'un des objectifs déclarés de Frege était d'isoler les véritables principes logiques d'inférence, de sorte que dans la représentation appropriée de la preuve mathématique, on n'appelle jamais l'« intuition ». S'il y avait un élément intuitif, il devait être isolé et représenté séparément comme un axiome : à partir de là, la preuve devait être purement logique et sans lacunes. Après avoir montré cette possibilité, l'objectif plus large de Frege était de défendre la vue que l'arithmétique est une branche de la logique, une vue connue sous le nom de logicisme : contrairement à la géométrie, l'arithmétique devait être montré n'avoir aucune base dans l'« intuition », et aucun besoin d'axiomes non logiques. Déjà dans le Begriffsschrift de 1879, d'importants théorèmes préliminaires, par exemple, une forme généralisée du principe de trichotomie, ont été dérivés dans ce que Frege comprenait comme étant la logique pure.

Cette idée a été formulée en termes non symboliques dans son Les fondements de l'arithmétique Die Grundlagen der Arithmetik, 1884. Plus tard, dans ses Lois fondamentales de l'arithmétique Grundgesetze der Arithmetik, vol. 1, 1893 ; vol. 2, 1903 ; vol. 2 a été publié à ses propres frais, Frege a tenté de dériver, en utilisant son symbolisme, toutes les lois de l'arithmétique à partir des axiomes qu'il affirmait comme logiques. La plupart de ces axiomes ont été repris de son Begriffsschrift, bien que non sans changements importants. Le seul véritable nouveau principe était celui qu'il appelait la loi fondamentale V : la « plage de valeur » de la fonction fx est la même que la « plage de valeur » de la fonction gx si et seulement si ∀x.

Le cas crucial de la loi peut être formulé en notation moderne comme suit. Soit {x|Fx} désigne l'extension du prédicat Fx, c'est-à-dire l'ensemble de tous les Fs, et de même pour Gx. Alors la loi fondamentale V dit que les prédicats Fx et Gx ont la même extension si et seulement si ∀x. L'ensemble des Fs est le même que l'ensemble des Gs juste au cas où chaque F est un G et chaque G est un F. Le cas est spécial car ce qui est ici appelé l'extension d'un prédicat, ou un ensemble, n'est qu'un type de « plage de valeur » d'une fonction.

Dans un épisode célèbre, Bertrand Russell a écrit à Frege, juste au moment où le vol. 2 des Grundgesetze était sur le point d'aller à la presse en 1903, montrant que le paradoxe de Russell pouvait être dérivé de la loi fondamentale V de Frege. Il est facile de définir la relation d'appartenance d'un ensemble ou d'une extension dans le système de Frege ; Russell a ensuite attiré l'attention sur « l'ensemble des choses x tel que x n'est pas un membre de x ». Le système des Grundgesetze implique que l'ensemble ainsi caractérisé est et n'est pas un membre de lui-même, et est donc incohérent. Frege a écrit un appendice précipité, de dernière minute, au vol. 2, dérivant la contradiction et proposant de l'éliminer en modifiant la loi fondamentale V. Frege a ouvert l'appendice avec le commentaire exceptionnellement honnête : « Rien de plus malheureux ne peut arriver à un écrivain scientifique que d'avoir l'une des fondations de son édifice ébranlée après que le travail est terminé. C'était la position dans laquelle j'ai été placé par une lettre de M. Bertrand Russell, juste au moment où l'impression de ce volume était près de son achèvement. » Cette lettre et la réponse de Frege sont traduites dans Jean van Heijenoort 1967.

Le remède proposé par Frege a été par la suite montré comme impliquant qu'il n'y a qu'un seul objet dans l'univers du discours, et est donc sans valeur en effet, cela créerait une contradiction dans le système de Frege s'il avait axiomatisé l'idée, fondamentale pour sa discussion, que le Vrai et le Faux sont des objets distincts ; voir, par exemple, Dummett 1973, mais les travaux récents ont montré que une grande partie du programme des Grundgesetze pourrait être sauvegardée d'autres façons :

• La loi fondamentale V peut être affaiblie d'autres manières. La manière la plus connue est due au philosophe et logicien mathématique George Boolos 1940–1996, qui était un expert sur l'œuvre de Frege. Un « concept » F est « petit » si les objets tombant sous F ne peuvent pas être mis en correspondance biunivoque avec l'univers du discours, c'est-à-dire, à moins : ∃R[R est 1-to-1 & ∀x∃yxRy & Fy]. Maintenant affaiblir V à V* : un « concept » F et un « concept » G ont la même « extension » si et seulement si ni F ni G n'est petit ou ∀xFx ↔ Gx. V* est cohérent si l'arithmétique du second ordre l'est, et suffit à prouver les axiomes de l'arithmétique du second ordre.
• La loi fondamentale V peut simplement être remplacée par le principe de Hume, qui dit que le nombre de Fs est le même que le nombre de Gs si et seulement si les Fs peuvent être mis en correspondance biunivoque avec les Gs. Ce principe, aussi, est cohérent si l'arithmétique du second ordre l'est, et suffit à prouver les axiomes de l'arithmétique du second ordre. Ce résultat est appelé le théorème de Frege parce qu'on a remarqué que dans le développement de l'arithmétique, l'utilisation de la loi fondamentale V par Frege est restreinte à une preuve du principe de Hume ; c'est à partir de cela, à son tour, que les principes arithmétiques sont dérivés. Sur le principe de Hume et le théorème de Frege, voir « La logique de Frege, le théorème et les fondements de l'arithmétique ».
• La logique de Frege, maintenant connue sous le nom de logique du second ordre, peut être affaiblie à la soi-disant logique prédicative du second ordre. La logique prédicative du second ordre plus la loi fondamentale V est prouvablement cohérente par des méthodes finitistes ou constructives, mais elle ne peut interpréter que des fragments très faibles de l'arithmétique.

Le travail de Frege en logique a reçu peu d'attention internationale jusqu'en 1903 quand Russell a écrit un appendice à The Principles of Mathematics indiquant ses différences avec Frege. La notation schématique que Frege utilisait n'avait pas d'antécédents et n'a eu aucun imitateurs depuis. De plus, jusqu'à ce que Principia Mathematica de Russell et Whitehead 3 vol. parut en 1910–13, l'approche dominante de la logique mathématique était encore celle de George Boole 1815–64 et de ses descendants intellectuels, en particulier Ernst Schröder 1841–1902. Les idées logiques de Frege se sont néanmoins propagées par les écrits de son étudiant Rudolf Carnap 1891–1970 et d'autres admirateurs, en particulier Bertrand Russell et Ludwig Wittgenstein 1889–1951.

Philosophe

Frege est l'un des fondateurs de la philosophie analytique, dont le travail sur la logique et le langage a donné naissance au tournant linguistique en philosophie. Ses contributions à la philosophie du langage incluent :

• Analyse de fonction et d'argument de la proposition ;
• Distinction entre concept et objet Begriff und Gegensta