Brahmagupta

Comme le soleil éclipse les étoiles par son éclat, ainsi l'homme de connaissance éclipsera la renommée des autres dans les assemblées du peuple s'il propose des problèmes algébriques, et bien plus encore s'il les résout.

Brahmagupta était un mathématicien et astronome indien. Il est l'auteur de deux premiers travaux sur les mathématiques et l'astronomie : le Brāhmasphuṭasiddhānta BSS, « doctrine correctement établie de Brahma », datant de 628, un traité théorique, et le Khaṇḍakhādyaka « bouchée comestible », datant de 665, un texte plus pratique.

Brahmagupta a été le premier à donner des règles pour calculer avec zéro. Les textes composés par Brahmagupta étaient en vers elliptiques en sanskrit, comme c'était la pratique courante en mathématiques indiennes. Comme aucune preuve n'est donnée, on ne sait pas comment les résultats de Brahmagupta ont été dérivés.

Vie et carrière

Brahmagupta est né en 598 de notre ère selon sa propre déclaration. Il a vécu à Bhillamāla dans le Gurjaradesa, actuelle Bhinmal au Rajasthan, en Inde, pendant le règne du souverain de la dynastie Chavda, Vyagrahamukha. Il était le fils de Jishnugupta et était hindou de religion, en particulier un Shivaïte. Il a vécu et travaillé là une grande partie de sa vie. Prithudaka Svamin, un commentateur ultérieur, l'appelait Bhillamalacharya, le maître de Bhillamala.

Bhillamala était la capitale du Gurjaradesa, le deuxième plus grand royaume de l'Inde occidentale, comprenant le sud du Rajasthan et le nord du Gujarat dans l'Inde actuelle. C'était aussi un centre d'apprentissage pour les mathématiques et l'astronomie. Brahmagupta devint astronome de l'école Brahmapaksha, l'une des quatre grandes écoles d'astronomie indienne à cette période. Il a étudié les cinq Siddhartha traditionnels sur l'astronomie indienne ainsi que le travail d'autres astronomes dont Aryabhata I, Latadeva, Pradyumna, Varahamihira, Simha, Srisena, Vijayanandin et Vishnuchandra.

En l'année 628, à l'âge de 30 ans, il composa le 'Brāhmasphuṭasiddhānta' le traité amélioré de Brahma qui est considéré comme une version révisée du Siddhanta reçu de l'école Brahmapaksha d'astronomie. Les érudits affirment qu'il a incorporé une grande originalité à sa révision, ajoutant une quantité considérable de nouveau matériel. Le livre se compose de 24 chapitres avec 1008 vers en mètre ārya. Une grande partie en est l'astronomie, mais il contient aussi des chapitres clés sur les mathématiques, incluant l'algèbre, la géométrie, la trigonométrie et l'algorithmique, qui sont considérés comme contenant de nouveaux aperçus dus à Brahmagupta lui-même.

Plus tard, Brahmagupta s'installa à Ujjaini, Avanti, qui était aussi un centre majeur pour l'astronomie en Inde centrale. À l'âge de 67 ans, il composa son prochain travail bien connu Khanda-khādyaka, un manuel pratique d'astronomie indienne dans la catégorie karana destiné à être utilisé par les étudiants.

Brahmagupta décéda en 668 de notre ère, et il est présumé qu'il est mort à Ujjain.

Controverse

Brahmagupta adresse une grande part de critiques au travail des astronomes rivaux, et son Brahmasphutasiddhanta affiche l'une des premières schismes parmi les mathématiciens indiens. La division concernait principalement l'application des mathématiques au monde physique, plutôt que les mathématiques elles-mêmes. Dans le cas de Brahmagupta, les désaccords provenaient largement du choix des paramètres astronomiques et des théories. Les critiques des théories rivales apparaissent tout au long des dix premiers chapitres astronomiques et le onzième chapitre est entièrement consacré à la critique de ces théories, bien qu'aucune critique n'apparaisse dans les douzième et dix-huitième chapitres.

Réception

L'historien des sciences George Sarton l'appela « l'un des plus grands scientifiques de sa race et le plus grand de son époque ». Les avancées mathématiques de Brahmagupta ont été poursuivies par Bhāskara II, un descendant direct à Ujjain, qui décrivit Brahmagupta comme le ganaka-chakra-chudamani le joyau du cercle des mathématiciens. Prithudaka Svamin écrivit des commentaires sur ses deux œuvres, rendant les versets difficiles en langage plus simple et ajoutant des illustrations. Lalla et Bhattotpala aux 8e et 9e siècles ont écrit des commentaires sur le Khanda-khadyaka. Des commentaires supplémentaires ont continué à être écrits jusqu'au 12e siècle.

Quelques décennies après la mort de Brahmagupta, le Sind vint sous le Califat arabe en 712 de notre ère. Des expéditions ont été envoyées dans le Gurjaradesa « Al-Baylaman à Jurz », selon les historiens arabes. Le royaume de Bhillamala semble avoir été anéanti mais Ujjain a repoussé les attaques. La cour du Calife Al-Mansur 754–775 reçut une ambassade du Sind, dont un astrologue appelé Kanaka, qui apporta possiblement des textes astronomiques mémorisés, y compris ceux de Brahmagupta. Les textes de Brahmagupta ont été traduits en arabe par Muhammad al-Fazari, un astronome à la cour d'Al-Mansur sous les noms Sindhind et Arakhand. Une conséquence immédiate a été la propagation du système numérique décimal utilisé dans les textes. Le mathématicien Al-Khwarizmi 800–850 de notre ère écrivit un texte appelé al-Jam wal-tafriq bi hisal-al-Hind Addition et Soustraction en Arithmétique Indienne, qui a été traduit en latin au 13e siècle en tant qu'Algorithmi de numero indorum. Par ces textes, le système numérique décimal et les algorithmes de Brahmagupta pour l'arithmétique se sont propagés dans le monde entier. Al-Khwarizmi a également écrit sa propre version de Sindhind, s'inspirant de la version d'Al-Fazari et incorporant des éléments ptolémaïques. Le matériel astronomique indien a circulé largement pendant des siècles, passant même dans des textes latins médiévaux.

Mathématiques

Algèbre

Brahmagupta a donné la solution de l'équation linéaire générale au chapitre dix-huit de Brahmasphutasiddhānta,

qui est une solution pour l'équation bx + c = dx + e où rupas se réfère aux constantes c et e. La solution donnée est équivalente à x = e − c/b − d. Il a en outre donné deux solutions équivalentes à l'équation quadratique générale

18.44. Diminuez par le nombre du milieu la racine carrée des rupas multipliée par quatre fois le carré et augmentée du carré du nombre du milieu ; divisez le reste par deux fois le carré. [Le résultat est] le nombre du milieu.
18.45. Quelle que soit la racine carrée des rupas multipliée par le carré [et] augmentée du carré de la moitié de l'inconnue, diminuez cela par la moitié de l'inconnue [et] divisez [le reste] par son carré. [Le résultat est] l'inconnue.

qui sont, respectivement, des solutions pour l'équation ax2 + bx = c équivalente à,

et

Il a poursuivi en résolvant des systèmes d'équations indéterminées simultanées en affirmant que la variable désirée doit d'abord être isolée, puis l'équation doit être divisée par le coefficient de la variable désirée. En particulier, il a recommandé d'utiliser « le pulvérisateur » pour résoudre les équations avec plusieurs inconnues.

18.51. Soustrayez les couleurs différentes de la première couleur. [Le reste] divisé par le [coefficient de la] première [couleur] est la mesure de la première. [Les termes] deux par deux [sont] considérés [quand réduits à] des diviseurs similaires, [et ainsi de suite] à plusieurs reprises. S'il y a beaucoup [de couleurs], le pulvérisateur [doit être utilisé].

Comme l'algèbre de Diophante, l'algèbre de Brahmagupta était syncopée. L'addition était indiquée en plaçant les nombres côte à côte, la soustraction en plaçant un point sur le soustrahende, et la division en plaçant le diviseur au-dessous du dividende, similaire à notre notation mais sans la barre. La multiplication, l'évolution et les quantités inconnues étaient représentées par des abréviations de termes appropriés. L'étendue de l'influence grecque sur cette syncope, le cas échéant, n'est pas connue et il est possible que la syncope grecque et indienne puissent toutes deux être dérivées d'une source babylonienne commune.

Arithmétique

Les quatre opérations fondamentales addition, soustraction, multiplication et division étaient connues par de nombreuses cultures avant Brahmagupta. Ce système actuel est basé sur le système numérique hindou-arabe et est apparu pour la première fois dans Brahmasphutasiddhanta. Brahmagupta décrit la multiplication ainsi « Le multiplicande est répété comme une corde pour le bétail, autant de fois qu'il y a de parties intégrantes dans le multiplicateur et est répété multiplié par eux et les produits sont additionnés ensemble. C'est la multiplication. Ou le multiplicande est répété autant de fois qu'il y a de parties composantes dans le multiplicateur ». L'arithmétique indienne était connue en Europe médiévale sous le nom « Modus Indorum » signifiant méthode des Indiens. Dans Brahmasphutasiddhanta, la multiplication s'appelait Gomutrika. 

Au début du chapitre douze de son Brahmasphutasiddhānta, intitulé Calcul, Brahmagupta détaille les opérations sur les fractions. Le lecteur est censé connaître les opérations arithmétiques de base jusqu'à la prise de la racine carrée, bien qu'il explique comment trouver le cube et la racine cubique d'un entier et plus tard donne des règles facilitant le calcul des carrés et des racines carrées. Il donne ensuite des règles pour traiter cinq types de combinaisons de fractions : a/c + b/c ; a/c × b/d ; a/1 + b/d ; a/c + b/d × a/c = ad + b/cd ; et a/c − b/d × a/c = ad − b/cd.

Séries

Brahmagupta poursuit ensuite en donnant la somme des carrés et cubes des n premiers entiers.

Ici, Brahmagupta a trouvé le résultat en termes de la somme des n premiers entiers, plutôt qu'en termes de n comme le veut la pratique moderne.

Il donne la somme des carrés des n premiers nombres naturels comme nn + 12n + 1/6 et la somme des cubes des n premiers nombres naturels comme nn + 1/22.

Zéro

Le Brahmasphuṭasiddhānta de Brahmagupta est le premier livre qui fournit des règles pour les manipulations arithmétiques qui s'appliquent à zéro et aux nombres négatifs. Le Brahmasphutasiddhānta est le texte connu le plus ancien pour traiter zéro comme un nombre en soi, plutôt que simplement comme un chiffre de substitution dans la représentation d'un autre nombre comme l'ont fait les Babyloniens ou comme un symbole d'une absence de quantité comme l'ont fait Ptolémée et les Romains. Au chapitre dix-huit de son Brahmasphutasiddhānta, Brahmagupta décrit les opérations sur les nombres négatifs. Il décrit d'abord l'addition et la soustraction,

18.30. [La somme] de deux positifs est positifs, de deux négatifs négatif ; d'un positif et d'un négatif [la somme] est leur différence ; s'ils sont égaux c'est zéro. La somme d'un négatif et zéro est négatif, [celle] d'un positif et zéro positif, [et celle] de deux zéros zéro.

18.32. Un négatif moins zéro est négatif, un positif [moins zéro] positif ; zéro [moins zéro] est zéro. Quand un positif doit être soustrait d'un négatif ou un négatif d'un positif, alors il doit être ajouté.

Il poursuit en décrivant la multiplication,

18.33. Le produit d'un négatif et d'un positif est négatif, de deux négatifs positif, et de positifs positif ; le produit de zéro et d'un négatif, de zéro et d'un positif, ou de deux zéros est zéro.

Mais sa description de la division par zéro diffère de notre compréhension moderne :

18.34. Un positif divisé par un positif ou un négatif divisé par un négatif est positif ; zéro divisé par zéro est zéro ; un positif divisé par un négatif est négatif ; un négatif divisé par un positif est [aussi] négatif.
18.35. Un négatif ou un positif divisé par zéro a ce [zéro] comme son diviseur, ou zéro divisé par un négatif ou un positif [a ce négatif ou positif comme son diviseur]. Le carré d'un négatif ou d'un positif est positif ; [le carré] de zéro est zéro. Celui dont [le carré] est le carré est [sa] racine carrée.

Ici, Brahmagupta énonce que / = 0 et quant à la question de a/ où a ≠ 0, il ne s'est pas engagé. Ses règles pour l'arithmétique sur les nombres négatifs et zéro sont assez proches de la compréhension moderne, sauf qu'en mathématiques modernes la division par zéro reste indéfinie.

Analyse diophantienne

Triplets pythagoriciens

Au chapitre douze de son Brahmasphutasiddhanta, Brahmagupta fournit une formule utile pour générer des triplets pythagoriciens :

12.39. La hauteur d'une montagne multipliée par un multiplicateur donné est la distance à une ville ; ce n'est pas effacé. Quand elle est divisée par le multiplicateur augmenté de deux c'est le saut de l'un des deux qui font le même voyage.

Ou, en d'autres termes, si d = mx/x + 2, alors un voyageur qui « saute » verticalement vers le haut d'une distance d du sommet d'une montagne de hauteur m, puis se déplace en ligne droite vers une ville à une distance horizontale mx de la base de la montagne, parcourt la même distance que celui qui descend verticalement la montagne puis se déplace horizontalement vers la ville. Énoncé géométriquement, cela dit que si un triangle rectangle a une base de longueur a = mx et une altitude de longueur b = m + d, alors la longueur, c, de son hypoténuse est donnée par c = m1 + x − d. Et en effet, la manipulation algébrique élémentaire montre que a2 + b2 = c2 chaque fois que d a la valeur énoncée. De plus, si m et x sont rationnels, il en est de même pour d, a, b et c. Un triplet pythagoricien peut donc être obtenu à partir de a, b et c en multipliant chacun d'eux par le plus petit commun multiple de leurs dénominateurs.

Équation de Pell

Brahmagupta a poursuivi en donnant une relation de récurrence pour générer des solutions à certains cas d'équations diophantiennes de la