Andreas Dress : Le mathématicien qui n'a cessé de changer de domaine

Il existe une variété en géométrie tropicale appelée le Dressien. Il existe un objet combinatoire utilisé pour classer les pavages périodiques appelé le symbole de Delaney-Dress. Il existe un ensemble de travaux sur la reconstruction d'arbres évolutifs à partir de données de distance connu sous le nom de théorie T. Tous trois proviennent du même homme, et ils appartiennent à trois branches différentes des mathématiques que la plupart des chercheurs considéreraient comme des carrières distinctes. Andreas Dress, décédé le 23 février 2024 à l'âge de quatre-vingt-cinq ans, a passé six décennies à faire quelque chose d'inhabituel, même parmi les mathématiciens de premier plan : il n'a cessé de recommencer à zéro.

Kiel, 1962

Dress est né le 26 août 1938. Il a étudié à la Freie Universität Berlin, à Tübingen et à Kiel, obtenant son doctorat à Kiel en 1962 sous la direction de Friedrich Bachmann et Karl-Heinrich Weise. La thèse était intitulée Konstruktion metrischer Ebenen — la construction de plans métriques — ce qui place ses origines directement dans la tradition allemande des fondements de la géométrie. Il convient de noter à quel point il était jeune : un doctorat à vingt-quatre ans, dans un sujet qui était l'une des grandes spécialités allemandes depuis Hilbert.

Bielefeld à partir de zéro

En 1969, l'État de Rhénanie-du-Nord-Westphalie a ouvert une nouvelle université à Bielefeld, conçue comme une institution axée sur la recherche avec une charte interdisciplinaire. Dress fut l'un de ses professeurs fondateurs de mathématiques, et il y resta jusqu'à sa retraite en 2003 — trente-quatre ans dans le même département, ce qui est une statistique curieuse pour un mathématicien de son agitation, jusqu'à ce que l'on remarque qu'il changeait de sujet environ tous les dix ans sans jamais changer d'adresse. La faculté de mathématiques de Bielefeld est devenue l'une des plus fortes d'Allemagne au cours de cette période, et Dress en était une raison substantielle.

Foncteurs, pavages, matroïdes

Son premier grand corpus de travaux portait sur la théorie des représentations, où il a développé les foncteurs de Mackey et de Green — une machinerie formelle qui fournit un cadre unifié pour les théorèmes de restriction et d'induction qui imprègnent la théorie des représentations des groupes finis. Il s'agit d'algèbre abstraite pure, et cela reste un équipement standard dans le domaine.

Au début des années 1980, il s'est tourné vers la géométrie discrète et a introduit, avec Andrew Delaney, le codage combinatoire désormais appelé symbole de Delaney-Dress : une structure finie qui capture le type de symétrie d'un pavage périodique de manière suffisamment complète pour permettre une classification systématique. Les cristallographes et les mathématiciens l'ont tous deux adopté, car il convertit un problème de classification géométrique en un problème combinatoire qu'un ordinateur peut énumérer.

Il s'est ensuite tourné vers la théorie des matroïdes, construisant des approches algébriques complètes pour un sujet qui avait été largement combinatoire, y compris la construction du groupe de Tutte d'un matroïde. À partir de là, les travaux ont alimenté la géométrie tropicale : Dress a établi des liens entre les matroïdes valués et les espaces linéaires tropicaux, et l'objet de paramétrage qui en a résulté porte son nom — le Dressien.

Arbres à partir de distances

Le dernier chapitre, le plus visible publiquement, l'a fait sortir complètement des mathématiques pures pour le mener à la biologie. Le problème est facile à énoncer et difficile à résoudre : étant donné une matrice de dissemblances mesurées entre des espèces, des séquences ou des populations, reconstruire l'arbre évolutif qui les a générées — ou déterminer qu'aucun arbre ne convient, et représenter ce qui convient. Dress a attaqué cela avec les outils de la géométrie métrique, développant la théorie T et la théorie des espaces étroits (tight spans), qui fournissent un moyen canonique d'intégrer un espace métrique fini et de lire sa structure arborescente et non arborescente. Le sujet qu'il a aidé à créer a été appelé combinatoire phylogénétique, et en 2012, il l'a exposé sous forme de livre avec Katharina Huber, Jacobus Koolen, Vincent Moulton et Andreas Spillner sous le titre Basic Phylogenetic Combinatorics, publié par Cambridge University Press.

Shanghai

Après avoir pris sa retraite de Bielefeld en 2003, Dress est allé à l'Institut Max Planck pour les mathématiques dans les sciences à Leipzig, où il est resté un membre scientifique externe de longue date. En 2005, il est devenu directeur fondateur du Partner Institute for Computational Biology à Shanghai, une coentreprise entre la Société Max Planck et l'Académie chinoise des sciences, où il a servi jusqu'en 2010. Il a été conférencier invité au Congrès international des mathématiciens à Berlin en 1998.

Pourquoi Andreas est qualifié de génie

La qualité qui distingue Dress est le transfert structurel — la reconnaissance qu'une pièce de machinerie développée pour un problème concerne secrètement quelque chose de complètement différent. Cela est visible à chaque étape de sa carrière. La géométrie métrique qu'il a apprise pour sa thèse de 1962 sur les plans métriques est devenue, quarante ans plus tard, l'appareil permettant de décider si une matrice de distances génétiques est arborescente. Les instincts algébriques qu'il a développés en théorie des représentations sont devenus l'algébrisation de la théorie des matroïdes, qui à son tour est devenue une base pour la géométrie tropicale. L'œil combinatoire qui a produit le symbole de Delaney-Dress pour les pavages est reconnaissable comme étant le même œil qui a produit la décomposition en scissions pour les données biologiques. La plupart des mathématiciens approfondissent ; Dress traduisait. Le faire une fois est de la chance. Le faire quatre fois, à travers la théorie des représentations, la géométrie discrète, les matroïdes et la biologie mathématique, est un trait d'esprit distinctif, et le fait que trois objets distincts portent son nom dans trois domaines distincts en est la preuve objective.

Le contre-argument mérite d'être exposé. Dress n'a résolu aucun problème ouvert célèbre, et aucune de ses contributions ne porte le genre de renommée singulière qui s'attache à un résultat de médaille Fields. Plusieurs de ses constructions les plus connues étaient collaboratives — le symbole de Delaney-Dress, les travaux phylogénétiques avec Huber, Koolen, Moulton et Spillner, les connexions en géométrie tropicale que d'autres ont substantiellement développées — et son don consistait souvent à établir un cadre que ses collègues développaient ensuite. Il était conférencier invité plutôt que plénier à l'ICM, et ses honneurs formels sont modestes par rapport à son influence. Un verdict équitable est qu'il était un générateur exceptionnel de cadres et un superbe identificateur d'analogies cachées, plutôt qu'un résolveur de problèmes célèbres. En mathématiques, ce sont des réputations différentes, et la première est plus facile à sous-estimer.

Héritage

La combinatoire phylogénétique est désormais un domaine établi avec un manuel, une communauté de recherche et une application directe en biologie évolutive et en analyse de séquences — la chose la plus proche d'une discipline fondée par Dress. Le symbole de Delaney-Dress reste l'outil de travail pour la classification systématique des pavages périodiques. Le Dressien figure dans le vocabulaire standard de la géométrie tropicale. Et à Shanghai, l'Institut partenaire qu'il a aidé à fonder a formé une génération de biologistes computationnels chinois à un moment où ce pays construisait le domaine à partir de presque rien. Bielefeld, Leipzig et Shanghai l'ont chacun pleuré comme le leur, ce qui est à peu près la bonne description d'une carrière qui n'est jamais restée assez longtemps au même endroit pour être revendiquée par un seul sujet.