Évariste Galois

Évariste Galois

Évariste Galois (/ɡælˈwɑː/; en francés: [evaʁist ɡalwa]; 25 de octubre de 1811 – 31 de mayo de 1832) fue un matemático y activista político francés. Siendo aún adolescente, logró determinar una condición necesaria y suficiente para que un polinomio sea resoluble por radicales, resolviendo así un problema que había estado abierto durante 350 años. Su trabajo sentó las bases de la teoría de Galois y la teoría de grupos, dos ramas principales del álgebra abstracta.

Galois fue un republicano convencido y estuvo profundamente involucrado en la agitación política que rodeó la Revolución francesa de 1830. Como resultado de su activismo político, fue arrestado repetidamente, cumpliendo una pena de cárcel de varios meses. Por razones que permanecen oscuras, poco después de su liberación de prisión, Galois luchó en un duelo y murió a causa de las heridas sufridas.

Vida

### Primeros años

Galois nació el 25 de octubre de 1811, hijo de Nicolas-Gabriel Galois y Adélaïde-Marie (de soltera Demante). Su padre era republicano y jefe del partido liberal de Bourg-la-Reine. Su padre se convirtió en alcalde del pueblo después de que Luis XVIII regresara al trono en 1814. Su madre, hija de un jurista, leía con fluidez latín y literatura clásica, y fue la responsable de la educación de su hijo durante sus primeros doce años.

En octubre de 1823, ingresó al Liceo Louis-le-Grand, donde su profesor Louis Paul Émile Richard reconoció su brillantez. A la edad de 14 años, comenzó a interesarse seriamente por las matemáticas.

Galois encontró un ejemplar de los Éléments de Géométrie de Adrien-Marie Legendre, que, según se dice, leyó "como una novela" y dominó desde la primera lectura. A los 15 años, ya leía los artículos originales de Joseph-Louis Lagrange, tales como Réflexions sur la résolution algébrique des équations, que probablemente motivó su trabajo posterior sobre la teoría de ecuaciones, y Leçons sur le calcul des fonctions, un trabajo destinado a matemáticos profesionales; sin embargo, su trabajo escolar permanecía carente de inspiración y sus maestros lo acusaban de darse aires de genio.

### Matemático en ciernes

En 1828, Galois intentó el examen de admisión a la École Polytechnique, la institución de matemáticas más prestigiosa de Francia en ese momento, sin la preparación habitual, y fracasó por falta de explicaciones en el examen oral. Ese mismo año ingresó a la École Normale (entonces conocida como l'École préparatoire), una institución muy inferior para estudios matemáticos en ese momento, donde encontró algunos profesores que simpatizaban con él.

Al año siguiente se publicó el primer artículo de Galois, sobre fracciones continuas simples. Fue aproximadamente al mismo tiempo que comenzó a hacer descubrimientos fundamentales en la teoría de ecuaciones polinómicas. Presentó dos artículos sobre este tema a la Academia de Ciencias. Augustin-Louis Cauchy revisó estos documentos, pero se negó a aceptarlos para su publicación por razones que aún no están claras. Sin embargo, a pesar de muchas afirmaciones en contra, se cree ampliamente que Cauchy reconoció la importancia del trabajo de Galois y que simplemente sugirió combinar los dos trabajos en uno para ingresarlo en el concurso del Gran Premio de Matemáticas de la academia. Cauchy, un eminente matemático de la época, aunque con opiniones políticas diametralmente opuestas a las de Galois, consideró que el trabajo de Galois probablemente sería ganador.

El 28 de julio de 1829, el padre de Galois se suicidó tras una amarga disputa política con el párroco del pueblo. Un par de días después, Galois hizo su segundo y último intento de ingresar a la Polytechnique y volvió a fallar. Es indiscutible que Galois estaba más que calificado; las versiones difieren sobre por qué falló. Las explicaciones más plausibles señalan que Galois dio demasiados saltos lógicos y confundió al examinador incompetente, lo que enfureció a Galois. La reciente muerte de su padre también pudo haber influido en su comportamiento.

Tras habérsele denegado la admisión a la École Polytechnique, Galois tomó los exámenes de bachillerato para ingresar a la École Normale. Aprobó, obteniendo su título el 29 de diciembre de 1829. Su examinador de matemáticas informó: "Este alumno es a veces oscuro al expresar sus ideas, pero es inteligente y muestra un espíritu de investigación notable".

Galois presentó su memoria sobre la teoría de ecuaciones varias veces, pero nunca se publicó en vida. Aunque su primer intento fue rechazado por Cauchy, en febrero de 1830, siguiendo la sugerencia de Cauchy, la presentó al secretario de la academia, Joseph Fourier, para que fuera considerada para el Gran Premio de la academia. Lamentablemente, Fourier murió poco después y la memoria se perdió. El premio de ese año se otorgó a Niels Henrik Abel, a título póstumo, y también a Carl Gustav Jacob Jacobi. A pesar de la pérdida de la memoria, Galois publicó tres trabajos ese año. Uno sentó las bases de la teoría de Galois. El segundo versaba sobre la resolución numérica de ecuaciones (búsqueda de raíces en terminología moderna). El tercero fue uno importante en teoría de números, en el que se articuló por primera vez el concepto de cuerpo finito.

### Activista político

Galois vivió durante una época de agitación política en Francia. Carlos X había sucedido a Luis XVIII en 1824, pero en 1827 su facción sufrió un gran revés electoral y para 1830 el partido liberal de oposición se convirtió en mayoría. Carlos, enfrentado a la oposición política de las cámaras, dio un golpe de Estado y emitió sus notorias Ordenanzas de julio, lo que desencadenó la Revolución de julio que terminó con Luis Felipe I convirtiéndose en rey. Mientras sus homólogos de la Polytechnique hacían historia en las calles, Galois, en la École Normale, estaba encerrado por el director de la escuela. Galois, indignado, escribió una carta mordaz criticando al director, la cual envió a la Gazette des Écoles, firmándola con su nombre completo. Aunque el editor de la Gazette omitió la firma para la publicación, Galois fue expulsado.

Aunque su expulsión habría entrado formalmente en vigor el 4 de enero de 1831, Galois dejó la escuela inmediatamente y se unió a la unidad de artillería de la Guardia Nacional, de tendencia republicana. Dividió su tiempo entre su trabajo matemático y sus afiliaciones políticas. Debido a la controversia en torno a la unidad, poco después de que Galois se convirtiera en miembro, el 31 de diciembre de 1830, la artillería de la Guardia Nacional fue disuelta por temor a que pudieran desestabilizar al gobierno. Aproximadamente al mismo tiempo, diecinueve oficiales de la antigua unidad de Galois fueron arrestados y acusados de conspirar para derrocar al gobierno.

En abril de 1831, los oficiales fueron absueltos de todos los cargos y, el 9 de mayo de 1831, se celebró un banquete en su honor, con la presencia de muchas personas ilustres, como Alexandre Dumas. El proceso se volvió tumultuoso. En un momento dado, Galois se levantó y propuso un brindis en el que dijo: "¡Por Luis Felipe!", con una daga sobre su copa. Los republicanos en el banquete interpretaron el brindis de Galois como una amenaza contra la vida del rey y vitorearon. Fue arrestado al día siguiente en casa de su madre y mantenido en detención en la prisión de Sainte-Pélagie hasta el 15 de junio de 1831, cuando tuvo su juicio. El abogado defensor de Galois afirmó inteligentemente que Galois en realidad dijo: "Por Luis Felipe, si traiciona", pero que el calificativo fue ahogado por los vítores. El fiscal hizo algunas preguntas más y, quizás influenciado por la juventud de Galois, el jurado lo absolvió ese mismo día.

En el siguiente Día de la Bastilla (14 de julio de 1831), Galois estaba al frente de una protesta, vistiendo el uniforme de la artillería disuelta, y fue fuertemente armado con varias pistolas, un rifle cargado y una daga. Fue arrestado nuevamente. Durante su estancia en prisión, Galois en un momento dado bebió alcohol por primera vez ante la incitación de sus compañeros de celda. Uno de estos reclusos, François-Vincent Raspail, registró lo que dijo Galois mientras estaba borracho en una carta del 25 de julio. Extraído de la carta:

> Y te digo que moriré en un duelo a causa de alguna coquette de bas étage. ¿Por qué? Porque ella me invitará a vengar su honor que otro ha comprometido.

¿Sabes lo que me falta, amigo mío? Sólo puedo confiártelo a ti: es alguien a quien pueda amar y amar sólo en espíritu. He perdido a mi padre y nadie lo ha reemplazado nunca, ¿me oyes...?

Raspail continúa diciendo que Galois, aún en delirio, intentó suicidarse y que lo habría logrado si sus compañeros de celda no lo hubieran detenido por la fuerza. Meses después, cuando tuvo lugar el juicio de Galois el 23 de octubre, fue sentenciado a seis meses de prisión por usar uniforme ilegalmente. Mientras estaba en prisión, continuó desarrollando sus ideas matemáticas. Fue liberado el 29 de abril de 1832.

### Días finales

Galois volvió a las matemáticas tras su expulsión de la École Normale, aunque siguió dedicando tiempo a actividades políticas. Después de que su expulsión se hiciera oficial en enero de 1831, intentó iniciar una clase privada de álgebra avanzada que atrajo algo de interés, pero este disminuyó, ya que parecía que su activismo político tenía prioridad. Siméon Denis Poisson le pidió que presentara su trabajo sobre la teoría de ecuaciones, lo cual hizo el 17 de enero de 1831. Alrededor del 4 de julio de 1831, Poisson declaró que el trabajo de Galois era "incomprensible", declarando que "[el] argumento [de Galois] no es ni lo suficientemente claro ni lo suficientemente desarrollado para permitirnos juzgar su rigor"; sin embargo, el informe de rechazo termina con una nota alentadora: "Sugerimos entonces que el autor publique la totalidad de su obra para poder formarse una opinión definitiva". Si bien el informe de Poisson se realizó antes del arresto de Galois el 14 de julio, tardó hasta octubre en llegar a manos de Galois en prisión. No es sorprendente, a la luz de su carácter y situación en ese momento, que Galois reaccionara violentamente ante la carta de rechazo y decidiera abandonar la publicación de sus artículos a través de la academia y, en cambio, publicarlos de forma privada a través de su amigo Auguste Chevalier. Al parecer, sin embargo, Galois no ignoró el consejo de Poisson, ya que comenzó a recopilar todos sus manuscritos matemáticos mientras aún estaba en prisión, y continuó puliendo sus ideas hasta su liberación el 29 de abril de 1832, después de lo cual fue convencido de alguna manera para un duelo.

El duelo fatal de Galois tuvo lugar el 30 de mayo. Los verdaderos motivos detrás del duelo son oscuros. Ha habido mucha especulación sobre ellos. Lo que se sabe es que, cinco días antes de su muerte, escribió una carta a Chevalier que alude claramente a una historia de amor rota.

Alguna investigación de archivo sobre las cartas originales sugiere que la mujer de interés romántico era Stéphanie-Félicie Poterin du Motel, hija del médico del hostal donde Galois se alojó durante los últimos meses de su vida. Están disponibles fragmentos de cartas de ella, copiados por el propio Galois (con muchas partes, como su nombre, borradas o deliberadamente omitidas). Las cartas insinúan que Poterin du Motel le había confiado algunos de sus problemas a Galois, y esto podría haberle llevado a provocar él mismo el duelo en su nombre. Esta conjetura también está respaldada por otras cartas que Galois escribió más tarde a sus amigos la noche antes de morir. Cuando se le preguntó al primo de Galois, Gabriel Demante, si conocía la causa del duelo, mencionó que Galois "se encontró en presencia de un supuesto tío y un supuesto prometido, cada uno de los cuales provocó el duelo". El propio Galois exclamó: "Soy víctima de una infame coqueta y sus dos tontos".

En cuanto a su oponente en el duelo, Alexandre Dumas nombra a Pescheux d'Herbinville, quien fue en realidad uno de los diecinueve oficiales de artillería cuya absolución se celebró en el banquete que ocasionó el primer arresto de Galois. Sin embargo, Dumas está solo en esta afirmación, y si estuviera en lo cierto, no está claro por qué d'Herbinville habría estado involucrado. Se ha especulado que era el "supuesto prometido" de Poterin du Motel en ese momento (ella finalmente se casó con otro), pero no se ha encontrado evidencia clara que respalde esta conjetura. Por otro lado, los recortes de periódicos existentes de sólo unos días después del duelo dan una descripción de su oponente (identificado por las iniciales "L.D.") que parece aplicarse con mayor precisión a uno de los amigos republicanos de Galois, muy probablemente Ernest Duchatelet, quien fue encarcelado con Galois bajo los mismos cargos. Dada la información contradictoria disponible, la verdadera identidad de su asesino bien podría perderse en la historia.

Cualesquiera que sean las razones detrás del duelo, Galois estaba tan convencido de su muerte inminente que se quedó despierto toda la noche escribiendo cartas a sus amigos republicanos y componiendo lo que se convertiría en su testamento matemático, la famosa carta a Auguste Chevalier que describe sus ideas, y tres manuscritos adjuntos. El matemático Hermann Weyl dijo sobre este testamento: "Esta carta, si se juzga por la novedad y profundidad de las ideas que contiene, es quizás el escrito más sustancial en toda la literatura de la humanidad". Sin embargo, la leyenda de que Galois plasmó sus pensamientos matemáticos en papel la noche antes de morir parece haber sido exagerada. En estos documentos finales, esbozó los puntos básicos de un trabajo que había estado realizando en análisis y anotó una copia del manuscrito presentado a la academia y otros documentos.

Temprano en la mañana del 30 de mayo de 1832, recibió un disparo en el abdomen, fue abandonado por sus oponentes y sus propios padrinos, y fue encontrado por un agricultor que pasaba por allí. Murió a la mañana siguiente a las diez en punto en el Hôpital Cochin (probablemente de peritonitis), tras rechazar los servicios de un sacerdote. Su funeral terminó en disturbios. Había planes para iniciar un levantamiento durante su funeral, pero al mismo tiempo los líderes se enteraron de la muerte del general Jean Maximilien Lamarque y el levantamiento se pospuso sin que ocurriera ninguna revuelta hasta el 5 de junio. Solo el hermano menor de Galois fue notificado de los hechos antes de la muerte de Galois. Galois tenía 20 años. Sus últimas palabras a su hermano menor Alfred fueron:

> "Ne pleure pas, Alfred ! J'ai besoin de tout mon courage pour mourir à vingt ans !" (¡No llores, Alfred! ¡Necesito todo mi coraje para morir a los veinte años!)

El 2 de junio, Évariste Galois fue enterrado en una fosa común del cementerio de Montparnasse cuya ubicación exacta se desconoce. En el cementerio de su ciudad natal, Bourg-la-Reine, se erigió un cenotafio en su honor junto a las tumbas de sus familiares.

En 1842, Joseph Liouville comenzó a estudiar los documentos inéditos de Galois y reconoció su valor en 1843. No está claro qué sucedió en los diez años transcurridos entre 1832 y 1842, ni qué inspiró finalmente a Liouville a comenzar a leer los documentos de Galois. Jesper Lützen explora este tema con cierta extensión en el Capítulo XIV, Teoría de Galois, de su libro sobre Joseph Liouville, sin llegar a conclusiones definitivas.

Ciertamente es posible que los matemáticos (incluido Liouville) no quisieran publicar los documentos de Galois porque era un activista político republicano que murió 5 días antes de la Rebelión de junio, una insurrección antimonárquica infructuosa de republicanos parisinos. En el obituario de Galois, su amigo Auguste Chevalier casi acusó a los académicos de la École Polytechnique de haber matado a Galois, ya que, si no hubieran rechazado su trabajo, se habría convertido en matemático y no se habría dedicado al activismo político republicano por el que algunos creían que fue asesinado. Dado que Francia todavía vivía bajo la sombra del Reinado del Terror y la era napoleónica, Liouville podría haber esperado hasta que la agitación política disminuyera (después de la fallida Rebelión de junio y sus consecuencias) antes de dirigir su atención a los documentos de Galois.

Liouville finalmente publicó los manuscritos de Galois en el número de octubre-noviembre de 1846 del Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. La contribución más famosa de Galois fue una prueba novedosa de que no existe una fórmula para ecuaciones de quinto grado, es decir, que las ecuaciones de quinto grado y superiores no son generalmente resolubles por radicales. Aunque Niels Henrik Abel ya había demostrado la imposibilidad de una "fórmula para el quinto grado" por radicales en 1824 y Paolo Ruffini había publicado una solución en 1799 que resultó ser defectuosa, los métodos de Galois condujeron a una investigación más profunda de lo que ahora se llama teoría de Galois, que puede usarse para determinar, para cualquier ecuación polinómica, si tiene solución por radicales.

Contribuciones a las matemáticas

De las líneas finales de una carta de Galois a su amigo Auguste Chevalier, fechada el 29 de mayo de 1832, dos días antes de la muerte de Galois:

> Tu prieras publiquement Jacobi ou Gauss de donner leur avis, non sur la vérité, mais sur l'importance des théorèmes.

Après cela, il y aura, j'espère, des gens qui trouveront leur profit à déchiffrer tout ce gâchis.

>(Pide públicamente a Jacobi o Gauss que den su opinión, no sobre la veracidad, sino sobre la importancia de estos teoremas. Más tarde habrá, espero, algunas personas que encontrarán ventajoso descifrar todo este lío.)

Dentro de las aproximadamente 60 páginas de las obras completas de Galois hay muchas ideas importantes que han tenido consecuencias de gran alcance para casi todas las ramas de las matemáticas. Su trabajo se ha comparado con el de Niels Henrik Abel (1802-1829), un matemático contemporáneo que también murió a una edad muy temprana, y gran parte de su trabajo tuvo una superposición significativa.

### Álgebra

Si bien muchos matemáticos antes de Galois consideraron lo que hoy se conoce como grupos, él fue el primero en usar la palabra grupo (en francés groupe) en un sentido cercano al sentido técnico que se entiende hoy en día, convirtiéndolo en uno de los fundadores de la rama del álgebra conocida como teoría de grupos. Llamó a la descomposición de un grupo en sus clases laterales izquierda y derecha una descomposición propia si las clases laterales izquierda y derecha coinciden, lo que lleva a la noción de lo que hoy se conoce como subgrupos normales. También introdujo el concepto de cuerpo finito (también conocido como cuerpo de Galois en su honor) esencialmente en la misma forma en que se entiende hoy.

En su última carta a Chevalier y los manuscritos adjuntos, el segundo de tres, realizó estudios básicos de grupos lineales sobre cuerpos finitos:

Construyó el grupo lineal general sobre un cuerpo primo, GL(ν, p) y calculó su orden, al estudiar el grupo de Galois de la ecuación general de grado p.

- Construyó el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,p). Galois los construyó como transformaciones lineales fraccionarias y observó que eran simples excepto si p era 2 o 3. Estas fueron la segunda familia de grupos simples finitos, después de los grupos alternantes. - Notó el hecho excepcional de que PSL(2,p) es simple y actúa sobre p puntos si y solo si p es 5, 7 u 11.

### Teoría de Galois

La contribución más significativa de Galois a las matemáticas es su desarrollo de la teoría de Galois. Se dio cuenta de que la solución algebraica a una ecuación polinómica está relacionada con la estructura de un grupo de permutaciones asociado con las raíces del polinomio, el grupo de Galois del polinomio. Descubrió que una ecuación podía resolverse por radicales si se puede encontrar una serie de subgrupos de su grupo de Galois, cada uno normal en su sucesor con cociente abeliano, es decir, su grupo de Galois es resoluble. Esto resultó ser un enfoque fértil, que los matemáticos posteriores adaptaron a muchos otros campos de las matemáticas además de la teoría de ecuaciones a la que Galois la aplicó originalmente.

### Análisis

Galois también hizo algunas contribuciones a la teoría de integrales abelianas y fracciones continuas.

Como se escribió en su última carta, Galois pasó del estudio de funciones elípticas a la consideración de las integrales de los diferenciales algebraicos más generales, hoy llamados integrales abelianas. Clasificó estas integrales en tres categorías.

### Fracciones continuas

En su primer artículo en 1828, Galois demostró que la fracción continua regular que representa un número irracional cuadrático ζ es puramente periódica si y solo si ζ es un irracional reducido, es decir,

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

y su conjugado

η

{\displaystyle \eta }

satisface

1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

.

De hecho, Galois mostró más que esto. También demostró que si ζ es un número irracional cuadrático reducido y η es su conjugado, entonces las fracciones continuas para ζ y para (−1/η) son ambas puramente periódicas, y el bloque repetitivo en una de esas fracciones continuas es la imagen especular del bloque repetitivo en la otra. En símbolos tenemos

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

donde ζ es cualquier irracional cuadrático reducido, y η es su conjugado.

De estos dos teoremas de Galois se puede deducir un resultado ya conocido por Lagrange. Si r > 1 es un número racional que no es un cuadrado perfecto, entonces

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

En particular, si n es cualquier entero positivo que no sea un cuadrado, la expansión de fracción continua regular de √n contiene un bloque repetitivo de longitud m, en el cual los primeros m - 1 denominadores parciales forman una cadena palindrómica.