Israel Gelfand: El hombre que construyó caminos a través de las matemáticas

Nunca terminó la escuela secundaria ni asistió a un solo curso universitario. A los dieciséis años trabajaba como portero en la Biblioteca Lenin de Moscú, impartiendo clases nocturnas de aritmética elemental para mantenerse y colándose en conferencias universitarias cuando podía. A los diecinueve, la Universidad Estatal de Moscú lo admitió directamente en estudios de posgrado, bajo el criterio de Kolmogorov. Vladimir Arnold expresó más tarde la diferencia entre ambos hombres de esta manera: Kolmogorov escalaría la montaña más alta y Gelfand empezaría a construir caminos.

Sin escuela, sin título, Moscú de todos modos

Israil Moiseevic Gelfand nació el 2 de septiembre de 1913 en Okny, entonces en el Imperio ruso y ahora en Ucrania, cerca de Odesa. En 1930, a los dieciséis años, partió hacia Moscú sin haber completado la educación secundaria. Lo que siguió fueron dos años de supervivencia improvisada y autoaprendizaje: trabajos ocasionales, la puerta de la biblioteca y una serie de puestos docentes en institutos nocturnos de Moscú que lo llevaron desde las matemáticas elementales hasta cursos avanzados mientras él mismo aprendía el material.

Asistió a conferencias en la Universidad de Moscú como oyente; su primer curso fue análisis complejo con Lavrent'ev. En 1932, Kolmogorov lo aceptó como estudiante de investigación, integrándolo en una escuela de análisis funcional que también incluía a A. E. Plessner y L. A. Lyusternik. Tres años después, a los veintidós, defendió una tesis sobre funciones abstractas y operadores lineales.

El truco con los ideales maximales

La tesis de 1935 ya mostraba el movimiento que lo definiría. Ante funciones que viven en un espacio normado abstracto, donde no se aplican ninguna de las herramientas ordinarias del cálculo, la táctica de Gelfand fue aplicarles funcionales lineales, convirtiendo el objeto intratable en una función ordinaria de una variable real o compleja, y luego aplicar todo el peso del análisis clásico sobre eso.

Su tesis doctoral de 1938, sobre anillos normados conmutativos, convirtió esto en un método general. La idea que lo sustentaba era el ideal maximal. Un álgebra de funciones y un espacio topológico habían parecido, hasta entonces, diferentes tipos de objetos. Gelfand demostró que los puntos del espacio podían recuperarse solo a partir del álgebra, como sus ideales maximales, lo que significa que un álgebra abstracta es secretamente un álgebra de funciones en un espacio que se puede reconstruir desde adentro. Sus colegas le dieron el crédito preciso: fue Gelfand quien sacó a la luz el concepto fundamental de ideal maximal y, al hacerlo, unió un conjunto de hechos previamente desconectados en una sola estructura.

Esa construcción se llama ahora representación de Gelfand, y los objetos se denominan álgebras de Banach. Su resultado más espectacular llegó a principios de la década de 1940 con Mark Naimark, cuando ambos manejaron anillos normados no conmutativos con involución y demostraron que estos también pueden representarse concretamente como álgebras de operadores lineales en un espacio de Hilbert. El teorema de Gelfand-Naimark es uno de los resultados fundamentales del análisis del siglo XX, y es la razón por la que la formulación algebraica de la mecánica cuántica funciona: el álgebra abstracta de observables siempre puede realizarse como operadores.

Una carrera en varias matemáticas a la vez

Gelfand trabajó en la Academia de Ciencias de la URSS de 1935 a 1941 y luego se convirtió en profesor en la Universidad Estatal de Moscú. Lo que hizo después resiste el resumen porque no se limita a un solo campo.

Tomó la teoría de representación —el trabajo de Frobenius y Schur sobre grupos finitos, el de Weyl sobre los compactos— y la extendió a grupos no compactos, donde la maquinaria es mucho más difícil y donde reside la física. Trabajó en el problema inverso de Sturm-Liouville en ecuaciones diferenciales: no "dado este sistema, ¿cómo vibra?", sino al revés, "dado cómo vibra, ¿cuál es el sistema?". Con Georgi Shilov desarrolló la teoría de las funciones generalizadas, siguiendo a Sobolev y Schwartz, que es como los físicos logran usar objetos como la delta de Dirac sin que las matemáticas colapsen.

Y desarrolló la geometría integral, incluido el trabajo sobre la transformada de Radon: la matemática de reconstruir un objeto a partir de una familia de sus secciones transversales o proyecciones. Eso resultó ser la teoría subyacente a las imágenes médicas: las tomografías computarizadas y las resonancias magnéticas producen imágenes tridimensionales de un cuerpo vivo resolviendo exactamente este problema. Entre 1968 y 1972 añadió un cuerpo de trabajo sobre la cohomología de álgebras de Lie de dimensión infinita. A lo largo de su vida publicó más de quinientos artículos.

El seminario

El seminario de Moscú era una institución en sí misma, celebrada semanalmente en la Universidad Estatal de Moscú y recordada por todos los que sobrevivieron a ella. Se acercaba más a la improvisación que a un programa de conferencias; los asistentes a menudo no conocían el tema hasta que comenzaba. La contribución característica de Gelfand era el replanteamiento: la formulación de nuevos problemas, la pregunta inesperada, la tendencia a mirar incluso las cosas bien conocidas desde un ángulo que nadie había intentado. También construyó una escuela por correspondencia que llevó matemáticas serias a estudiantes de toda la Unión Soviética que no tenían acceso a un centro de investigación.

No era un hombre fácil de tratar. La evaluación de Andrei Zelevinsky fue contundente: no era la persona más delicada y educada del mundo. Alexander Goncharov, quien lo encontró impredecible, aun así lo llamó la persona más interesante que jamás había conocido.

Biología, y una razón para ello

Desde 1958, Gelfand trasladó una parte sustancial de su atención a la biología y la medicina, cofundando el Instituto de Física Biológica con Fomin en 1960. El detonante fue personal: su hijo desarrolló leucemia y Gelfand inició un seminario de biología. El trabajo que surgió de él fue característicamente estructural en lugar de descriptivo: principios generales sobre cómo se organiza el control en sistemas multicelulares complejos, con aplicaciones que llegan al análisis de rayos X y el reconocimiento de patrones.

Por qué a Israel se le llama genio

La palabra es defendible aquí por una razón específica: el don de Gelfand era encontrar el nivel de abstracción en el que dos cosas no relacionadas se convierten en la misma cosa. La intuición del ideal maximal es el ejemplo más claro: un objeto algebraico y un espacio geométrico resultan ser dos vistas de una misma estructura, y una vez que lo ves, toda una literatura de resultados separados colapsa en un solo teorema. Hizo eso repetidamente, a través del análisis, la teoría de representación, las ecuaciones diferenciales, la geometría integral y la teoría de Lie, y luego cruzando la frontera hacia la biología.

La distinción de Arnold entre montaña y caminos es lo más agudo que alguien ha dicho sobre él, y no es del todo halagador. Gelfand no fue principalmente un solucionador de problemas famosos. Fue un constructor de infraestructura: hizo que el territorio fuera transitable para otras personas. Su influencia corrió fuertemente a través del seminario y de los estudiantes, lo que significa que una buena parte del trabajo que lleva su impronta no es, estrictamente, suyo. Que nunca recibiera una Medalla Fields, en una carrera de este alcance, merece ser señalado honestamente.

En contra de eso: la autoeducación no es una nota al pie romántica, sino una evidencia. Un niño sin educación secundaria llegó, sin supervisión, al punto en que Kolmogorov lo admitió en estudios de posgrado, y a los veinticinco años había producido una idea estructural que reorganizó el análisis funcional. Cualquiera que sea esa facultad, muy pocas personas la tienen.

Legado

Los honores llegaron constantemente y desde todas las direcciones: presidente de la Sociedad Matemática de Moscú de 1968 a 1970, la Orden de Lenin, miembro de la Royal Society en 1977, el Premio Wolf en 1978, el Premio Kioto en 1989, una beca MacArthur en 1994 y el Premio Leroy P. Steele en 2005 por influir profundamente en muchos campos de investigación. Enseñó en Harvard en 1989-90, emigró a los Estados Unidos en 1990 y se convirtió en profesor visitante distinguido en Rutgers, donde fundó el Programa de Extensión Gelfand para estudiantes de secundaria: el mismo instinto que la escuela por correspondencia soviética, trasplantado.

Murió el 5 de octubre de 2009 en el Hospital Universitario Robert Wood Johnson en New Brunswick, Nueva Jersey, a los noventa y seis años, sobrevivido por su esposa Tatiana, sus hijos Sergei y Vladimir, su hija Tatiana, cuatro nietos y tres bisnietos. Cualquiera que haya estado dentro de un escáner de resonancia magnética ha pasado por sus matemáticas.