Dudley E. Littlewood: La regla que no pudo probar

En 1934, dos matemáticos en un pequeño colegio universitario galés publicaron una ley combinatoria que rige cómo se multiplican ciertos objetos algebraicos. La enunciaron como un teorema. Solo la probaron en un puñado de casos especiales sencillos, y el ejemplo práctico que ofrecieron para ilustrarla contenía errores. La regla era correcta de todos modos. La profesión tardó cuarenta años en demostrarlo, momento en el cual se había convertido en uno de los resultados más utilizados en el álgebra moderna. Como dijo el teórico de representaciones Gordon James, la regla de Littlewood-Richardson "ayudó a llevar al hombre a la Luna, pero no fue probada hasta después de que llegaran allí".

De Tottenham a Trinity

Dudley Ernest Littlewood nació en Londres el 7 de septiembre de 1903, hijo único de Ada Piper y Harry Bramley Littlewood, empleado de un abogado. No hubo herencia matemática ni dinero; llegó a donde llegó gracias a los exámenes. Desde la Tottenham County School en Middlesex, obtuvo una beca estatal y una beca de ingreso al Trinity College de Cambridge.

En Trinity, su tutor de pregrado fue John Edensor Littlewood, el célebre analista y colaborador de Hardy, sin parentesco alguno, una coincidencia que ha confundido a las bibliografías desde entonces. Se graduó en 1925 como wrangler en los Mathematical Tripos, en la misma promoción que Hall y Hodge. Luego, a la manera del mercado académico de entreguerras, no pasó nada. Se dedicó a la enseñanza escolar. En 1928 obtuvo una cátedra temporal a tiempo parcial en el University College de Swansea, seguida de un breve puesto en el Queen's College de Dundee. Se casó con Muriel Doris Dyson en 1930; su hijo nació en 1935.

Swansea y Richardson

Swansea es donde realmente comenzó su vida matemática, y comenzó gracias a un colega. Archibald Read Richardson, profesor allí, introdujo a Littlewood en el álgebra, un campo en el que no había trabajado anteriormente. Regresó a Swansea como profesor asistente en 1930 y se convirtió en profesor titular en 1934, permaneciendo allí hasta 1947. Sus primeros artículos trataban sobre álgebras de cuaterniones y teoría de invariantes, un trabajo respetable que no daba señales particulares de lo que estaba por venir.

Lo que vino fue el artículo de 1934 escrito con Richardson, "Group characters and algebras". Introdujo el inmanante de una matriz (una generalización que se sitúa entre el determinante y el permanente) y abordó las S-funciones, ahora llamadas universalmente funciones de Schur, que codifican los caracteres de los grupos simétricos y lineales generales. El artículo planteaba la siguiente pregunta obvia: ¿qué sucede cuando se multiplican dos funciones de Schur? La respuesta que propusieron es que el producto se descompone en una suma de funciones de Schur cuyos coeficientes cuentan ciertos cuadros: arreglos combinatorios de cajas llenas con números bajo reglas estrictas.

Por qué importa la regla

Esa única afirmación resultó estar en una encrucijada donde se encuentran varios campos. Los coeficientes de Littlewood-Richardson dan las multiplicidades cuando se descomponen los productos tensoriales de representaciones de dimensión finita, y cuando se inducen las representaciones de los grupos simétricos. Son las constantes de estructura del anillo de funciones simétricas en la base de Schur. Y en geometría algebraica reaparecen como números de intersección en Grassmannianos, contando cómo se encuentran las variedades de Schubert, una conexión que nadie buscaba en 1934. El propio Littlewood buscó las aplicaciones de la teoría de representaciones a la mecánica cuántica.

Sin embargo, faltaba la prueba. Gilbert de Beauregard Robinson afirmó en 1938 haberla completado, pero su exposición era lo suficientemente oscura como para que los vacíos pasaran desapercibidos durante décadas; Ian Macdonald todavía estaba llenando algunos de ellos en 1995. Los primeros argumentos que satisficieron los estándares modernos provinieron de Glânffrwd P. Thomas en 1974 y Marcel-Paul Schützenberger en 1977, construidos sobre la maquinaria combinatoria de la correspondencia de Robinson-Schensted desarrollada por Schensted, Schützenberger y Donald Knuth. Aproximadamente cuatro décadas separaron la afirmación de la demostración.

Libros y Bangor

Littlewood convirtió su investigación en el libro que llevó su nombre más lejos, The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups, publicado en 1940 con una segunda edición en 1950, durante una generación el lugar estándar para aprender la materia en inglés. Lo siguió con The Skeleton Key of Mathematics en 1949, una exposición general que tuvo varias ediciones posteriores, y A University Algebra en 1950, revisada en 1961.

Pasó de 1947 a 1948 como profesor universitario en Cambridge, y luego en 1948 ocupó la cátedra de matemáticas en el University College of North Wales en Bangor, manteniéndola durante veintidós años hasta su jubilación en 1970. Sus colegas recordaban a un hombre tímido y reservado, siempre con una sonrisa amable, bondadoso y solidario, que leía ciencia ficción y que consideraba que la filosofía y la religión eran temas mucho más dignos de investigación que las matemáticas, una admisión inusual para un profesor de la materia.

Por qué Dudley es llamado un genio

La palabra se aplica a una facultad específica y estrecha: podía ver la forma de un mecanismo algebraico antes de que nadie pudiera probar que tenía esa forma. Su estudiante J. A. Green lo describió con exactitud: "La fuerza matemática de Littlewood residía en su extraordinaria intuición sobre cómo funcionaban ciertos procesos algebraicos". Sus colegas notaron una fuerte comprensión intuitiva de las matemáticas formales y una franca preferencia por una fórmula utilizable sobre una derivación rigurosa, y observaron que tomó los métodos de Frobenius, Schur y Weyl y los reelaboró en su propio lenguaje en lugar de reproducirlos. La regla de 1934 es un caso ejemplar. Littlewood y Richardson llegaron a una ley combinatoria correcta sobre objetos que nadie entendía del todo, en un dominio donde la intuición es famosamente poco fiable, y tuvieron razón, mientras que varios matemáticos capaces que intentaron demostraciones durante los siguientes cuarenta años estaban equivocados.

El contraejemplo es real y no es meramente pedante. Publicaron la regla como un teorema habiendo probado solo casos especiales fáciles, y el ejemplo ilustrativo que dieron estaba mal calculado. Si un revisor hubiera sido más estricto, el resultado podría haber aparecido como una conjetura, que es lo que era. El trabajo de un matemático es la prueba, y bajo ese estándar, la contribución más famosa de Littlewood estuvo incompleta durante cuatro décadas y fue terminada por otras personas utilizando herramientas que él no tenía. Su obra más amplia (tres libros y una serie de artículos sobre invariantes, álgebras de cuaterniones y caracteres de grupos) es sólida y útil más que trascendental, y pasó su carrera en Swansea y Bangor, muy lejos de los centros de la disciplina. El veredicto honesto es que poseía un instinto matemático genuinamente excepcional, desigualmente igualado por el rigor para materializarlo; la profesión ha pasado noventa años beneficiándose del instinto y reparando el rigor.

Legado

Se jubiló en 1970 y murió en Llandudno el 6 de octubre de 1979, poco después de cumplir setenta y seis años, tras una caída en la que se rompió la pierna. Está enterrado en Llanrhos; Muriel le sobrevivió diez años. Su nombre es pronunciado ahora a diario por personas que no saben nada más sobre él, vinculado a una regla que sustenta el estudio moderno de las funciones simétricas, la teoría de representaciones de los grupos clásicos y el cálculo de Schubert. Muy pocos matemáticos tienen un teorema que lleve su nombre. Menos aún tienen uno cuya fama llegó antes que su prueba.