Si llegamos a una ecuación que contiene en cada lado el mismo término pero con coeficientes diferentes, debemos restar iguales de iguales hasta obtener un término igual a otro término. Pero, si hay términos negativos en uno o en ambos lados, las deficiencias deben sumarse en ambos lados hasta que todos los términos en ambos lados sean positivos. Entonces debemos restar iguales de iguales hasta que quede un término en cada lado.
Diophantus de Alexandria fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros llamados Arithmetica, muchos de los cuales se han perdido. Sus textos tratan sobre la resolución de ecuaciones algebraicas. Al leer la edición de Arithmetica de Diophantus de Claude Gaspard Bachet de Méziriac, Pierre de Fermat concluyó que una cierta ecuación considerada por Diophantus no tenía soluciones, y anotó en el margen sin elaboración que había encontrado "una prueba verdaderamente maravillosa de esta proposición", ahora conocida como el Último Teorema de Fermat. Esto llevó a avances tremendos en teoría de números, y el estudio de ecuaciones diofánticas "geometría diofántica" y de aproximaciones diofánticas siguen siendo áreas importantes de investigación matemática. Diophantus acuñó el término παρισότης parisotes para referirse a una igualdad aproximada. Este término se tradujo como adaequalitas en latín, y se convirtió en la técnica de adecuación desarrollada por Pierre de Fermat para encontrar máximos de funciones y líneas tangentes a curvas. Diophantus fue el primer matemático griego que reconoció las fracciones como números; así permitió números racionales positivos para los coeficientes y soluciones. En el uso moderno, las ecuaciones diofánticas son generalmente ecuaciones algebraicas con coeficientes enteros, para las cuales se buscan soluciones enteras.
Biografía
Se sabe poco sobre la vida de Diophantus. Vivió en Alexandria, Egipto, durante la era romana, probablemente entre los años 200 y 214 a 284 o 298 d.C. Diophantus ha sido descrito de varias maneras por historiadores como griego, o posiblemente egipcio helenizado, o babilonio helenizado. Muchas de estas identificaciones pueden provenir de confusiones con el retórico del siglo IV Diophantus el Árabe. Gran parte de nuestro conocimiento sobre la vida de Diophantus proviene de una antología griega del siglo V de juegos numéricos y acertijos creada por Metrodorus. Uno de los problemas a veces llamado su epitafio dice:
'Aquí yace Diophantus', contempla la maravilla.
Por arte algebraico, la piedra cuenta cuántos años vivió:
'Dios le dio su infancia una sexta parte de su vida,
Una doceava parte más como juventud mientras germinaba la barba;
Y entonces una séptima parte antes de que comenzara el matrimonio;
En cinco años llegó un hijo saltarín.
Ay, el querido hijo del maestro y sabio
Después de alcanzar la mitad de la medida de la vida de su padre, el destino despiadado lo tomó. Después de consolar su destino por la ciencia de los números durante cuatro años, terminó su vida.'
Este acertijo implica que la edad de Diophantus x puede expresarse como
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
lo que da a x un valor de 84 años. Sin embargo, la precisión de la información no puede confirmarse independientemente.
En la cultura popular, este acertijo fue el Acertijo No. 142 en Professor Layton and Pandora's Box como uno de los acertijos más difíciles de resolver en el juego, que necesitaba ser desbloqueado resolviendo otros acertijos primero.
Arithmetica
Arithmetica es la obra principal de Diophantus y la obra más destacada sobre álgebra en las matemáticas griegas. Es una colección de problemas que proporciona soluciones numéricas de ecuaciones tanto determinadas como indeterminadas. De los trece libros originales de los que constaba Arithmetica, solo seis han sobrevivido, aunque hay quienes creen que cuatro libros árabes descubiertos en 1968 también son de Diophantus. Algunos problemas diofánticos de Arithmetica se han encontrado en fuentes árabes.
Debe mencionarse aquí que Diophantus nunca utilizó métodos generales en sus soluciones. Hermann Hankel, renombrado matemático alemán, hizo la siguiente observación respecto a Diophantus.
"Nuestro autor Diophantos no muestra ni el más mínimo rastro de un método general y comprehensivo; cada problema requiere algún método especial que se niega a funcionar incluso para los problemas más estrechamente relacionados. Por esta razón es difícil para el erudito moderno resolver el problema 101 incluso después de haber estudiado 100 de las soluciones de Diophantos".
Historia
Como muchos otros tratados matemáticos griegos, Diophantus fue olvidado en Europa Occidental durante los llamados Oscuros Medios Oscuros, ya que el estudio del griego antiguo y la alfabetización en general habían declinado enormemente. La porción de la Arithmetica griega que sobrevivió, sin embargo, fue, como todos los textos griegos antiguos transmitidos al mundo moderno temprano, copiada por, y por lo tanto conocida por, eruditos bizantinos medievales. Escolios sobre Diophantus del erudito griego bizantino John Chortasmenos 1370–1437 se conservan junto con un comentario comprehensivo escrito por el anterior erudito griego Maximos Planudes 1260 – 1305, quien produjo una edición de Diophantus dentro de la biblioteca del Monasterio de Chora en Constantinople bizantina. Además, alguna porción de Arithmetica probablemente sobrevivió en la tradición árabe ver arriba. En 1463 el matemático alemán Regiomontanus escribió:
Nadie ha traducido aún del griego al latín los trece libros de Diophantus, en los cuales la flor misma de toda la aritmética yace oculta . . . .
Arithmetica fue traducida por primera vez del griego al latín por Bombelli en 1570, pero la traducción nunca fue publicada. Sin embargo, Bombelli tomó prestados muchos de los problemas para su propio libro Algebra. La editio princeps de Arithmetica fue publicada en 1575 por Xylander. La traducción al latín más conocida de Arithmetica fue realizada por Bachet en 1621 y se convirtió en la primera edición en latín que estuvo ampliamente disponible. Pierre de Fermat poseía una copia, la estudió, e hizo anotaciones en los márgenes.
Escritura en márgenes por Fermat y Chortasmenos
La edición de 1621 de Arithmetica por Bachet ganó fama después de que Pierre de Fermat escribiera su famoso "Último Teorema" en los márgenes de su copia:
Si un entero n es mayor que 2, entonces an + bn = cn no tiene soluciones en enteros no nulos a, b, y c. Tengo una prueba verdaderamente maravillosa de esta proposición que este margen es demasiado estrecho para contener.
La prueba de Fermat nunca fue encontrada, y el problema de encontrar una prueba para el teorema quedó sin resolver durante siglos. Una prueba fue finalmente encontrada en 1994 por Andrew Wiles después de trabajar en ella durante siete años. Se cree que Fermat no tenía realmente la prueba que afirmaba tener. Aunque la copia original en la que Fermat escribió esto se ha perdido hoy, el hijo de Fermat editó la siguiente edición de Diophantus, publicada en 1670. Aunque el texto es por lo demás inferior a la edición de 1621, las anotaciones de Fermat—incluyendo el "Último Teorema"—fueron impresas en esta versión.
Fermat no fue el primer matemático tan movido a escribir sus propias anotaciones en márgenes a Diophantus; el erudito bizantino John Chortasmenos 1370–1437 había escrito "Tu alma, Diophantus, sea con Satán por la dificultad de tus otros teoremas y particularmente del teorema presente" junto al mismo problema.
Otras obras
Diophantus escribió varios otros libros además de Arithmetica, pero muy pocos de ellos han sobrevivido.
Los Porismos
Diophantus mismo se refiere a una obra que consiste en una colección de lemas llamada Los Porismos o Porismas, pero este libro se ha perdido completamente.
Aunque Los Porismos se ha perdido, conocemos tres lemas contenidos allí, ya que Diophantus se refiere a ellos en Arithmetica. Un lema establece que la diferencia de los cubos de dos números racionales es igual a la suma de los cubos de otros dos números racionales, es decir, dados a y b, con a > b, existen c y d, todos positivos y racionales, tales que
a3 − b3 = c3 + d3.
Números poligonales y elementos geométricos
Se sabe también que Diophantus escribió sobre números poligonales, un tema de gran interés para Pitágoras y los pitagóricos. Fragmentos de un libro que trata sobre números poligonales existen.
Un libro llamado Preliminarios a los Elementos Geométricos ha sido tradicionalmente atribuido a Hero de Alexandria. Ha sido estudiado recientemente por Wilbur Knorr, quien sugirió que la atribución a Hero es incorrecta, y que el verdadero autor es Diophantus.
Influencia
El trabajo de Diophantus ha tenido una gran influencia en la historia. Las ediciones de Arithmetica ejercieron una profunda influencia en el desarrollo del álgebra en Europa en el siglo dieciséis tardío y durante los siglos XVII y XVIII. Diophantus y sus obras también influyeron en las matemáticas árabes y fueron de gran fama entre los matemáticos árabes. El trabajo de Diophantus creó una base para trabajar en álgebra y de hecho gran parte de las matemáticas avanzadas se basa en álgebra. Cuánto afectó a India es un tema de debate.
Diophantus es a menudo llamado "el padre del álgebra" porque contribuyó enormemente a la teoría de números, a la notación matemática, y porque Arithmetica contiene el uso más antiguo conocido de notación sincopada.
Análisis diofántico
Hoy en día, el análisis diofántico es el área de estudio donde se buscan soluciones de números enteros para ecuaciones, y las ecuaciones diofánticas son ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros para las cuales solo se buscan soluciones enteras. Generalmente es bastante difícil determinar si una ecuación diofántica dada es resoluble. La mayoría de los problemas en Arithmetica conducen a ecuaciones cuadráticas. Diophantus consideró 3 tipos diferentes de ecuaciones cuadráticas: ax2 + bx = c, ax2 = bx + c, y ax2 + c = bx. La razón por la que había tres casos para Diophantus, mientras que hoy tenemos solo un caso, es que no tenía noción de cero y evitaba coeficientes negativos considerando que los números dados a, b, c fueran todos positivos en cada uno de los tres casos anteriores. Diophantus siempre se satisfacía con una solución racional y no requería un número entero, lo que significa que aceptaba fracciones como soluciones a sus problemas. Diophantus consideraba soluciones de raíz cuadrada negativas o irracionales "inútiles", "sin sentido", e incluso "absurdas". Para dar un ejemplo específico, llama a la ecuación 4 = 4x + 20 'absurda' porque conduciría a un valor negativo para x. Una solución era todo lo que buscaba en una ecuación cuadrática. No hay evidencia que sugiera que Diophantus incluso se dio cuenta de que podría haber dos soluciones a una ecuación cuadrática. También consideró ecuaciones cuadráticas simultáneas.
Notación matemática
Diophantus realizó avances importantes en notación matemática, convirtiéndose en la primera persona conocida que usó notación y simbolismo algebraico. Antes que él todos escribían las ecuaciones completamente. Diophantus introdujo un simbolismo algebraico que usaba una notación abreviada para operaciones que ocurren frecuentemente, y una abreviatura para la incógnita y para las potencias de la incógnita. El historiador de matemáticas Kurt Vogel afirma:
El simbolismo que Diophantus introdujo por primera vez, e indudablemente ideó él mismo, proporcionó un medio corto y fácilmente comprensible de expresar una ecuación... Como también se utiliza una abreviatura para la palabra 'iguala', Diophantus dio un paso fundamental del álgebra verbal hacia el álgebra simbólica.
Aunque Diophantus realizó avances importantes en simbolismo, todavía carecía de la notación necesaria para expresar métodos más generales. Esto causó que su trabajo se preocupara más por problemas particulares que por situaciones generales. Algunas de las limitaciones de la notación de Diophantus son que solo tenía notación para una incógnita y, cuando los problemas involucraban más de una incógnita única, Diophantus se veía reducido a expresar "primera incógnita", "segunda incógnita", etc. en palabras. También le faltaba un símbolo para un número general n. Donde escribiríamos 12 + 6n/n2 − 3, Diophantus tiene que recurrir a construcciones como: "... un número séxtuple aumentado por doce, que se divide por la diferencia por la cual el cuadrado del número excede tres".
El álgebra todavía tenía un largo camino por recorrer antes de que problemas muy generales pudieran escribirse y resolverse sucintamente.
