Israel Gelfand: Der Mann, der Straßen durch die Mathematik baute

Er beendete nie die High School und besuchte nie einen einzigen Grundstudiengang. Mit sechzehn Jahren arbeitete er als Türsteher in der Lenin-Bibliothek in Moskau, gab abends Unterricht in elementarer Arithmetik, um sich über Wasser zu halten, und schlich sich in Universitätsvorlesungen, wann immer er konnte. Mit neunzehn Jahren nahm ihn die Staatliche Universität Moskau auf Empfehlung von Kolmogorov direkt in das Graduiertenstudium auf. Vladimir Arnold drückte den Unterschied zwischen den beiden Männern später so aus: Kolmogorov würde den höchsten Berg besteigen, und Gelfand würde anfangen, Straßen zu bauen.

Keine Schule, kein Abschluss, trotzdem Moskau

Israil Moiseevic Gelfand wurde am 2. September 1913 in Okny geboren, damals im Russischen Kaiserreich und heute in der Ukraine, in der Nähe von Odessa. 1930, im Alter von sechzehn Jahren, ging er ohne abgeschlossene Schulausbildung nach Moskau. Es folgten zwei Jahre improvisierten Überlebens und Selbststudiums: Gelegenheitsjobs, die Arbeit an der Bibliothekstür und eine Reihe von Lehraufträgen an Moskauer Abendschulen, die ihn von der elementaren Mathematik bis zu fortgeschrittenen Kursen führten, während er den Stoff selbst noch lernte.

Er besuchte Vorlesungen an der Universität Moskau als Gasthörer – sein erster Kurs war komplexe Analysis bei Lavrent'ev. 1932 nahm ihn Kolmogorov als Forschungsstudenten auf und warf ihn in eine Schule für Funktionalanalysis, der auch A. E. Plessner und L. A. Lyusternik angehörten. Drei Jahre später, im Alter von zweiundzwanzig Jahren, verteidigte er eine Dissertation über abstrakte Funktionen und lineare Operatoren.

Der Trick mit den maximalen Idealen

Die Dissertation von 1935 zeigte bereits den Ansatz, der ihn definieren sollte. Konfrontiert mit Funktionen, die auf einem abstrakten normierten Raum leben, wo keines der gewöhnlichen Werkzeuge der Analysis anwendbar ist, bestand Gelfands Taktik darin, lineare Funktionale auf sie anzuwenden, das unzugängliche Objekt in eine gewöhnliche Funktion einer reellen oder komplexen Variablen zu verwandeln – und dann das volle Gewicht der klassischen Analysis darauf anzuwenden.

Seine Habilitationsschrift von 1938 über kommutative normierte Ringe machte dies zu einer allgemeinen Methode. Die tragende Idee war das maximale Ideal. Eine Algebra von Funktionen und ein topologischer Raum hatten bis dahin wie verschiedene Arten von Objekten ausgesehen. Gelfand zeigte, dass die Punkte des Raums allein aus der Algebra als ihre maximalen Ideale wiederhergestellt werden konnten – was bedeutet, dass eine abstrakte Algebra im Geheimen eine Algebra von Funktionen auf einem Raum ist, den man von innen rekonstruieren kann. Kollegen würdigten ihn präzise: Es war Gelfand, der das grundlegende Konzept eines maximalen Ideals ans Licht brachte und damit eine Reihe zuvor unverbundener Fakten zu einer einzigen Struktur vereinte.

Diese Konstruktion wird heute als Gelfand-Darstellung bezeichnet, und die Objekte heißen Banach-Algebren. Ihr spektakulärster Erfolg kam Anfang der 1940er Jahre mit Mark Naimark, als die beiden nicht-kommutative normierte Ringe mit Involution behandelten und zeigten, dass auch diese immer konkret als Algebren linearer Operatoren auf einem Hilbert-Raum dargestellt werden können. Der Satz von Gelfand-Naimark ist eines der tragenden Ergebnisse der Analysis des 20. Jahrhunderts, und er ist der Grund, warum die algebraische Formulierung der Quantenmechanik überhaupt funktioniert: Die abstrakte Algebra der Observablen kann immer als Operatoren realisiert werden.

Eine Karriere in mehreren mathematischen Gebieten gleichzeitig

Gelfand arbeitete von 1935 bis 1941 an der Akademie der Wissenschaften der UdSSR und wurde dann Professor an der Staatlichen Universität Moskau. Was er danach tat, lässt sich kaum zusammenfassen, da es nicht in einem einzigen Bereich blieb.

Er nahm die Darstellungstheorie – die Arbeiten von Frobenius und Schur über endliche Gruppen, die von Weyl über kompakte Gruppen – und erweiterte sie auf nicht-kompakte Gruppen, wo die Maschinerie weitaus schwieriger ist und wo die Physik zu Hause ist. Er arbeitete am inversen Sturm-Liouville-Problem in Differentialgleichungen: nicht „gegeben dieses System, wie schwingt es?“, sondern umgekehrt: „gegeben, wie es schwingt, was ist das System?“. Mit Georgi Shilov baute er die Theorie der verallgemeinerten Funktionen auf, nach Sobolev und Schwartz, wodurch Physiker Objekte wie die Dirac-Delta-Funktion verwenden können, ohne dass die Mathematik zusammenbricht.

Und er entwickelte die Integralgeometrie, einschließlich Arbeiten zur Radon-Transformation – der Mathematik der Rekonstruktion eines Objekts aus einer Familie seiner Querschnitte oder Projektionen. Dies erwies sich als die Theorie, die der medizinischen Bildgebung zugrunde liegt: CT-Scans und MRT erzeugen dreidimensionale Bilder eines lebenden Körpers, indem sie genau dieses Problem lösen. Zwischen 1968 und 1972 fügte er ein Werk über die Kohomologie von unendlich-dimensionalen Lie-Algebren hinzu. Im Laufe seines Lebens veröffentlichte er mehr als fünfhundert Arbeiten.

Das Seminar

Das Moskauer Seminar war eine Institution für sich, die wöchentlich an der Staatlichen Universität Moskau stattfand und jedem, der sie überlebte, in Erinnerung blieb. Es glich eher einer Improvisation als einem Vorlesungsprogramm – die Teilnehmer kannten das Thema oft nicht, bis es begann. Gelfands charakteristischer Beitrag war die Umrahmung: die Formulierung neuer Probleme, die unerwartete Frage, die Tendenz, selbst bekannte Dinge aus einem Winkel zu betrachten, den noch niemand versucht hatte. Er baute auch eine Korrespondenzschule auf, die ernsthafte Mathematik zu Studenten in der gesamten Sowjetunion brachte, die keinen Zugang zu einem Forschungszentrum hatten.

Er war kein einfacher Mensch im Umgang. Andrei Zelevinskys Einschätzung war unverblümt: Er war nicht die delikateste, höflichste Person der Welt. Alexander Goncharov, der ihn als unberechenbar empfand, nannte ihn dennoch den interessantesten Menschen, den er je getroffen hatte.

Biologie und ein Grund dafür

Ab 1958 verlagerte Gelfand einen wesentlichen Teil seiner Aufmerksamkeit auf Biologie und Medizin und gründete 1960 gemeinsam mit Fomin das Institut für Biologische Physik. Der Auslöser war persönlich: Sein Sohn erkrankte an Leukämie, und Gelfand startete ein Biologieseminar. Die daraus resultierende Arbeit war charakteristischerweise eher strukturell als deskriptiv – allgemeine Prinzipien dafür, wie Kontrolle in komplexen mehrzelligen Systemen organisiert ist, mit Anwendungen, die bis in die Röntgenanalyse und Mustererkennung reichten.

Warum Israel ein Genie genannt wird

Das Wort ist hier aus einem bestimmten Grund vertretbar: Gelfands Gabe war es, die Abstraktionsebene zu finden, auf der zwei nicht zusammenhängende Dinge dasselbe werden. Die Einsicht in das maximale Ideal ist das sauberste Beispiel – ein algebraisches Objekt und ein geometrischer Raum erweisen sich als zwei Ansichten einer Struktur, und sobald man es sieht, bricht eine ganze Literatur separater Ergebnisse in einem einzigen Satz zusammen. Er tat dies wiederholt, in der Analysis, der Darstellungstheorie, den Differentialgleichungen, der Integralgeometrie und der Lie-Theorie, und dann über die Grenze zur Biologie hinweg.

Arnolds Unterscheidung zwischen Berg und Straßen ist das Schärfste, was je jemand über ihn gesagt hat, und sie ist nicht ganz schmeichelhaft. Gelfand war nicht in erster Linie ein Löser berühmter stehender Probleme. Er war ein Infrastrukturbauer – er machte das Territorium für andere Menschen passierbar. Sein Einfluss verlief stark durch das Seminar und durch Studenten, was bedeutet, dass ein guter Teil der Arbeit, die seinen Stempel trägt, streng genommen nicht seine ist. Dass er in einer Karriere von dieser Reichweite nie eine Fields-Medaille erhielt, ist ehrlich anzumerken.

Dagegen: Die Selbstbildung ist keine romantische Fußnote, sondern ein Beweis. Ein Junge ohne Sekundarschulbildung erreichte ohne Aufsicht den Punkt, an dem Kolmogorov ihn zum Graduiertenstudium zuließ, und hatte mit fünfundzwanzig eine strukturelle Idee hervorgebracht, die die Funktionalanalysis neu organisierte. Was auch immer diese Fähigkeit ist, sehr wenige Menschen haben sie.

Vermächtnis

Die Ehrungen kamen stetig und aus allen Richtungen: Präsident der Moskauer Mathematischen Gesellschaft von 1968 bis 1970, der Leninorden, Fellow der Royal Society 1977, der Wolf-Preis 1978, der Kyoto-Preis 1989, ein MacArthur-Stipendium 1994 und der Leroy P. Steele Prize 2005 für die tiefgreifende Beeinflussung vieler Forschungsbereiche. Er lehrte 1989–90 in Harvard, wanderte 1990 in die Vereinigten Staaten aus und wurde Distinguished Visiting Professor an der Rutgers University, wo er das Gelfand Outreach Program für High-School-Schüler gründete – derselbe Instinkt wie bei der sowjetischen Korrespondenzschule, nur transplantiert.

Er starb am 5. Oktober 2009 im Robert Wood Johnson University Hospital in New Brunswick, New Jersey, im Alter von sechsundneunzig Jahren und hinterließ seine Frau Tatiana, seine Söhne Sergei und Vladimir, seine Tochter Tatiana, vier Enkelkinder und drei Urenkel. Jeder, der schon einmal in einem MRT-Scanner war, hat seine Mathematik durchlaufen.