Dudley E. Littlewood: Die Regel, die er nicht beweisen konnte

Im Jahr 1934 veröffentlichten zwei Mathematiker an einer kleinen walisischen Universität ein kombinatorisches Gesetz, das bestimmt, wie sich bestimmte algebraische Objekte multiplizieren. Sie stellten es als Theorem auf. Sie bewiesen es nur für eine Handvoll einfacher Spezialfälle, und das Rechenbeispiel, das sie zur Illustration anboten, enthielt Fehler. Die Regel war trotzdem korrekt. Es dauerte vierzig Jahre, bis die Fachwelt dies bewies; zu diesem Zeitpunkt war es zu einem der am häufigsten verwendeten Ergebnisse in der modernen Algebra geworden. Wie es der Darstellungstheoretiker Gordon James ausdrückte: Die Littlewood-Richardson-Regel „half, Menschen auf den Mond zu bringen, wurde aber erst bewiesen, nachdem sie dort angekommen waren.“

Von Tottenham nach Trinity

Dudley Ernest Littlewood wurde am 7. September 1903 in London geboren, als einziges Kind von Ada Piper und Harry Bramley Littlewood, einem Anwaltsgehilfen. Es gab kein mathematisches Erbe und kein Geld; er kam durch Prüfungen dorthin, wo er war. Von der Tottenham County School in Middlesex gewann er sowohl ein staatliches Stipendium als auch ein Aufnahmestipendium für das Trinity College in Cambridge.

In Trinity war sein Tutor für das Grundstudium John Edensor Littlewood – der berühmte Analytiker und Mitarbeiter von Hardy, mit dem er nicht verwandt war, ein Zufall, der Bibliographien seither verwirrt. Er machte 1925 seinen Abschluss als Wrangler in den Mathematical Tripos, im selben Jahrgang wie Hall und Hodge. Dann passierte, wie es auf dem akademischen Markt der Zwischenkriegszeit üblich war, erst einmal nichts. Er unterrichtete an einer Schule. 1928 nahm er eine befristete Teilzeit-Dozentenstelle am University College Swansea an, gefolgt von einer kurzen Anstellung am Queen's College, Dundee. Er heiratete 1930 Muriel Doris Dyson; ihr Sohn wurde 1935 geboren.

Swansea und Richardson

In Swansea begann sein mathematisches Leben tatsächlich, und es begann wegen eines Kollegen. Archibald Read Richardson, dort Professor, führte Littlewood in die Algebra ein – ein Gebiet, auf dem er zuvor nicht gearbeitet hatte. Er kehrte 1930 als Assistenzdozent nach Swansea zurück und wurde 1934 Dozent; er blieb dort bis 1947. Seine frühen Arbeiten befassten sich mit Quaternionenalgebren und Invariantentheorie, respektable Arbeit, die keine besonderen Anzeichen für das Kommende zeigte.

Was kam, war das 1934 mit Richardson verfasste Papier „Group characters and algebras“. Es führte die Immanante einer Matrix ein – eine Verallgemeinerung, die zwischen Determinante und Permanent steht – und behandelte die S-Funktionen, die heute allgemein als Schur-Funktionen bezeichnet werden und die Charaktere der symmetrischen und allgemeinen linearen Gruppen kodieren. Das Papier stellte die offensichtliche nächste Frage: Was passiert, wenn man zwei Schur-Funktionen miteinander multipliziert? Die Antwort, die sie vorschlugen, lautet, dass sich das Produkt in eine Summe von Schur-Funktionen zerlegt, deren Koeffizienten bestimmte Tableaus zählen – kombinatorische Anordnungen von Kästchen, die nach strengen Regeln mit Zahlen gefüllt sind.

Warum die Regel wichtig ist

Diese einzige Aussage erwies sich als Knotenpunkt, an dem sich mehrere Gebiete treffen. Die Littlewood-Richardson-Koeffizienten liefern die Multiplizitäten, wenn Tensorprodukte von endlichdimensionalen Darstellungen zerlegt werden und wenn Darstellungen symmetrischer Gruppen induziert werden. Sie sind die Strukturkonstanten des Rings symmetrischer Funktionen in der Schur-Basis. Und in der algebraischen Geometrie tauchen sie als Schnittzahlen auf Grassmann-Varietäten wieder auf und zählen, wie sich Schubert-Varietäten schneiden – eine Verbindung, nach der 1934 niemand suchte. Littlewood selbst verfolgte die Anwendungen der Darstellungstheorie auf die Quantenmechanik.

Der Beweis fehlte jedoch. Gilbert de Beauregard Robinson behauptete 1938, ihn vervollständigt zu haben, aber seine Darlegung war so undurchsichtig, dass die Lücken darin jahrzehntelang unentdeckt blieben; Ian Macdonald füllte 1995 noch einige davon aus. Die ersten Beweise, die modernen Standards genügten, stammten von Glânffrwd P. Thomas im Jahr 1974 und Marcel-Paul Schützenberger im Jahr 1977, aufgebaut auf der kombinatorischen Maschinerie der Robinson-Schensted-Korrespondenz, die von Schensted, Schützenberger und Donald Knuth entwickelt wurde. Etwa vier Jahrzehnte trennten die Behauptung vom Beweis.

Bücher und Bangor

Littlewood verwandelte seine Forschung in das Buch, das seinen Namen am weitesten trug, The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups, veröffentlicht 1940 mit einer zweiten Auflage 1950 – für eine Generation der Standard, um das Fach auf Englisch zu lernen. Es folgte 1949 The Skeleton Key of Mathematics, eine allgemeine Darstellung, die mehrere spätere Auflagen erlebte, und 1950 A University Algebra, überarbeitet 1961.

Er verbrachte die Jahre 1947 bis 1948 als Universitätsdozent in Cambridge und übernahm dann 1948 den Lehrstuhl für Mathematik am University College of North Wales in Bangor, den er zweiundzwanzig Jahre lang bis zu seiner Pensionierung im Jahr 1970 innehatte. Kollegen erinnerten sich an einen schüchternen, zurückhaltenden Mann, immer mit einem freundlichen Lächeln, gütig und unterstützend, der Science-Fiction las und Philosophie und Religion für Themen hielt, die einer Untersuchung weit mehr wert waren als Mathematik – ein ungewöhnliches Eingeständnis eines Professors für dieses Fach.

Warum Dudley als Genie bezeichnet wird

Das Wort bezieht sich auf eine spezifische und enge Fähigkeit: Er konnte die Form eines algebraischen Mechanismus sehen, bevor jemand beweisen konnte, dass er diese Form hatte. Sein Student J. A. Green beschrieb es genau: „Littlewoods mathematische Stärke lag in seiner außergewöhnlichen Einsicht in die Art und Weise, wie bestimmte algebraische Prozesse funktionierten.“ Kollegen bemerkten ein starkes intuitives Verständnis für formale Mathematik und eine offene Vorliebe für eine brauchbare Formel gegenüber einer rigorosen Ableitung und beobachteten, dass er die Methoden von Frobenius, Schur und Weyl nahm und sie in seinem eigenen Idiom überarbeitete, anstatt sie zu reproduzieren. Die Regel von 1934 ist das treffende Beispiel. Littlewood und Richardson kamen zu einem korrekten kombinatorischen Gesetz über Objekte, die niemand vollständig verstand, in einem Bereich, in dem Intuition bekanntermaßen unzuverlässig ist, und hatten recht – während mehrere fähige Mathematiker, die in den folgenden vierzig Jahren Beweisversuche unternahmen, falsch lagen.

Der Gegenfall ist real und nicht nur pedantisch. Sie veröffentlichten die Regel als Theorem, obwohl sie nur einfache Spezialfälle bewiesen hatten, und das anschauliche Beispiel, das sie gaben, war falsch berechnet. Wäre ein Gutachter strenger gewesen, hätte das Ergebnis als Vermutung erscheinen können, was es war. Die Aufgabe eines Mathematikers ist der Beweis, und nach diesem Maßstab war Littlewoods berühmtester Beitrag vier Jahrzehnte lang unvollständig und wurde von anderen Personen mit Werkzeugen fertiggestellt, die er nicht hatte. Sein breiteres Werk – drei Bücher und eine Reihe von Papieren über Invarianten, Quaternionenalgebren und Gruppencharaktere – ist eher solide und nützlich als epochemachend, und er verbrachte seine Karriere in Swansea und Bangor, weit außerhalb der Zentren der Disziplin. Das ehrliche Urteil ist, dass er über einen wahrhaft außergewöhnlichen mathematischen Instinkt verfügte, der jedoch nicht mit der nötigen Strenge gepaart war, um ihn umzusetzen; die Fachwelt hat neunzig Jahre lang davon profitiert, den Instinkt zu nutzen und die Strenge zu reparieren.

Vermächtnis

Er ging 1970 in den Ruhestand und starb am 6. Oktober 1979 in Llandudno, kurz nach seinem sechsundsiebzigsten Geburtstag, nach einem Sturz, bei dem er sich das Bein brach. Er ist in Llanrhos begraben; Muriel überlebte ihn um zehn Jahre. Sein Name wird heute täglich von Menschen ausgesprochen, die sonst nichts über ihn wissen; er ist mit einer Regel verbunden, die das moderne Studium symmetrischer Funktionen, die Darstellungstheorie klassischer Gruppen und den Schubert-Kalkül untermauert. Nur sehr wenige Mathematiker haben ein Theorem nach sich benannt. Noch weniger haben eines, dessen Ruhm eintraf, bevor der Beweis erbracht war.