Carl Gustav Jacob Jacobi

Carl Gustav Jacob Jacobi war ein deutscher Mathematiker, der grundlegende Beiträge zu elliptischen Funktionen, Dynamik, Differentialgleichungen, Determinanten und Zahlentheorie leistete. 

Jacobi war der erste jüdische Mathematiker, der zum Professor an einer deutschen Universität ernannt wurde.

Biografie

Jacobi wurde am 10. Dezember 1804 in Potsdam als Kind aschkenasisch-jüdischer Eltern geboren. Er war das zweite von vier Kindern des Bankiers Simon Jacobi. Sein älterer Bruder Moritz von Jacobi sollte sich später als Ingenieur und Physiker einen Namen machen. Er wurde zunächst von seinem Onkel Lehman zu Hause unterrichtet, der ihm klassische Sprachen und Grundlagen der Mathematik beibrachte. 1816 ging der zwölfjährige Jacobi zum Potsdamer Gymnasium, wo die Schüler alle Standardfächer unterrichtet bekamen: klassische Sprachen, Geschichte, Philologie, Mathematik, Naturwissenschaften usw. Aufgrund der guten Erziehung durch seinen Onkel sowie seiner eigenen bemerkenswerten Fähigkeiten wurde Jacobi nach weniger als einem halben Jahr trotz seines jungen Alters in die Oberklasse versetzt. Da die Universität jedoch Studenten unter 16 Jahren nicht annahm, musste er bis 1821 in der Oberklasse bleiben. Er nutzte diese Zeit, um sein Wissen zu erweitern und zeigte Interesse an allen Fächern, einschließlich Latein, Griechisch, Philologie, Geschichte und Mathematik. Während dieser Zeit unternahm er auch seine ersten Forschungsversuche und versuchte, die quintische Gleichung durch Radikale zu lösen.

1821 ging Jacobi zum Studium an die Berliner Universität, wo er zunächst seine Aufmerksamkeit zwischen seiner Leidenschaft für Philologie und Mathematik aufteilte. In der Philologie nahm er an den Seminaren von Böckh teil und zog die Aufmerksamkeit des Professors mit seinem Talent auf sich. Jacobi besuchte nicht viele Mathematikvorlesungen an der Universität, da das niedrige Niveau der Mathematik an der Universität Berlin zu dieser Zeit zu elementar für ihn war. Allerdings setzte er sein Privatstudium der fortgeschritteneren Werke von Euler, Lagrange und Laplace fort. Bis 1823 war ihm klar, dass er sich zwischen seinen konkurrierenden Interessen entscheiden musste, und er beschloss, seine ganze Aufmerksamkeit der Mathematik zu widmen. Im selben Jahr erhielt er die Berechtigung zum Unterrichten von Sekundarschülern und wurde für eine Position am Joachimsthal Gymnasium in Berlin angeboten. Jacobi beschloss stattdessen, an einer Universitätsposition weiterzuarbeiten. 1825 erhielt er den Doktortitel der Philosophie mit einer Dissertation über die Partialbruchzerlegung rationaler Brüche, die vor einer von Enno Dirksen geleiteten Kommission verteidigt wurde. Unmittelbar danach folgte seine Habilitation und gleichzeitig konvertierte er zum Christentum. Da er nun qualifiziert war, Universitätsvorlesungen zu halten, hielt der 21-jährige Jacobi 1825/26 Vorlesungen zur Theorie der Kurven und Flächen an der Universität Berlin.

1827 wurde Jacobi Professor und 1829 ordentlicher Professor für Mathematik an der Universität Königsberg, wo er den Lehrstuhl bis 1842 innehatte. 1843 erlitt er einen Zusammenbruch durch Überarbeitung. Anschließend besuchte er Italien für einige Monate, um seine Gesundheit wiederherzustellen. Nach seiner Rückkehr zog er nach Berlin, wo er bis zu seinem Tod als königlicher Pensionär lebte. Während der Revolution von 1848 war Jacobi politisch engagiert und präsentierte erfolglos seine Kandidatur für ein Parlamentsmandat im Namen eines Liberalen Clubs. Dies führte nach der Unterdrückung der Revolution zu einer Kürzung seiner königlichen Zuwendung – aber sein Ruhm und seine Reputation waren so groß, dass diese bald wieder aufgenommen wurde. 1836 wurde er zum ausländischen Mitglied der Königlich Schwedischen Akademie der Wissenschaften gewählt.

Jacobi starb 1851 an einer Pockeninfektionieren. Sein Grab wird auf einem Friedhof im Kreuzberger Teil Berlins erhalten, dem Friedhof I der Dreifaltigkeits-Kirchengemeinde Baruther Straße 61. Sein Grab befindet sich in der Nähe desjenigen von Johann Encke, dem Astronomen. Der Mondkrater Jacobi ist nach ihm benannt.

Wissenschaftliche Beiträge

Eine von Jacobis größten Errungenschaften war seine Theorie der elliptischen Funktionen und ihre Beziehung zur elliptischen Thetafunktion. Diese wurde in seinem großen Werk Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum 1829 sowie in späteren Arbeiten in Crelles Journal entwickelt. Thetafunktionen sind in der mathematischen Physik von großer Bedeutung wegen ihrer Rolle im inversen Problem für periodische und quasi-periodische Flüsse. Die Bewegungsgleichungen sind in Form von Jacobis elliptischen Funktionen in den bekannten Fällen des Pendels, des Euler-Kreisels, des symmetrischen Lagrange-Kreisels in einem Gravitationsfeld und des Kepler-Problems der Planetenbewegung in einem zentralen Gravitationsfeld integrierbar.

Er leistete auch grundlegende Beiträge zum Studium von Differentialgleichungen und zur klassischen Mechanik, insbesondere zur Hamilton-Jacobi-Theorie.

Es war in der algebraischen Entwicklung, dass Jacobis besondere Stärke hauptsächlich lag, und er leistete wichtige Beiträge dieser Art in vielen Bereichen der Mathematik, wie durch seine lange Liste von Arbeiten in Crelles Journal und anderswo ab 1826 gezeigt wird. Es wird berichtet, dass er seinen Studenten sagte, dass man bei der Suche nach einem Forschungsthema „immer umkehren" sollte, was seine Überzeugung widerspiegelt, dass das Invertieren bekannter Ergebnisse neue Forschungsfelder eröffnen kann, zum Beispiel durch das Invertieren elliptischer Integrale und das Fokussieren auf die Natur elliptischer und Thetafunktionen.

In seiner Arbeit von 1835 bewies Jacobi das folgende grundlegende Ergebnis, das periodische Funktionen einschließlich elliptischer Funktionen klassifiziert: Wenn eine univariate einwertige Funktion mehrfach periodisch ist, dann kann eine solche Funktion nicht mehr als zwei Perioden haben, und das Verhältnis der Perioden kann keine reelle Zahl sein. Er entdeckte viele der grundlegenden Eigenschaften von Thetafunktionen, einschließlich der Funktionalgleichung und der Jacobi-Tripelproduktformel, sowie viele andere Ergebnisse zu q-Reihen und hypergeometrischen Reihen.

Die Lösung des Jacobi-Inversionsproblems für die hyperelliptische Abel-Abbildung durch Weierstrass 1854 erforderte die Einführung der hyperelliptischen Thetafunktion und später der allgemeinen Riemann-Thetafunktion für algebraische Kurven beliebigen Geschlechts. Der komplexe Torus, der zu einem Geschlecht g durch das Gitter der Perioden assoziiert ist, wird als Jacobi-Varietät bezeichnet. Diese Inversionsmethode und ihre anschließende Erweiterung durch Weierstrass und Riemann auf beliebige algebraische Kurven kann als eine Verallgemeinerung höheren Geschlechts der Beziehung zwischen elliptischen Integralen und den Jacobi- oder Weierstrass-elliptischen Funktionen angesehen werden.

Jacobi war der erste, der elliptische Funktionen auf die Zahlentheorie anwendete, zum Beispiel durch den Beweis von Fermats Zwei-Quadrat-Theorem und Lagranges Vier-Quadrat-Theorem sowie ähnlicher Ergebnisse für 6 und 8 Quadrate. Seine weitere Arbeit in der Zahlentheorie setzte die Arbeit von C. F. Gauss fort: neue Beweise der quadratischen Reziprozität und Einführung des Jacobi-Symbols; Beiträge zu höheren Reziprozitätsgesetzen, Untersuchungen von Kettenbrüchen und die Erfindung von Jacobi-Summen.

Er war auch einer der frühen Gründer der Theorie der Determinanten. Insbesondere erfand er die aus den n² partiellen Ableitungen von n gegebenen Funktionen von n unabhängigen Variablen gebildete Jacobi-Determinante, die bei Variablenwechsel in mehrfachen Integralen und bei vielen analytischen Untersuchungen eine wichtige Rolle spielt. 1841 führte er die partielle Ableitungsnotation ∂ von Legendre wieder ein, die zum Standard werden sollte.

Er war einer der ersten, der die symmetrischen Polynome einführte und untersuchte, die heute als Schur-Polynome bekannt sind, und gab die sogenannte bialternante Formel für diese, die ein Spezialfall der Weyl-Charakterformel ist, und leitete die Jacobi-Trudi-Identitäten ab. Er entdeckte auch die Desnanot-Jacobi-Formel für Determinanten, die den Plucker-Relationen für Grassmannsche zugrunde liegen.

Studenten von Vektorfeldern, Lie-Theorie, Hamiltonscher Mechanik und Operatoralgebren stoßen oft auf die Jacobi-Identität, das Analogon der Assoziativität für die Lie-Klammer-Operation.

Planetarische Theorie und andere spezielle dynamische Probleme beschäftigten ihn von Zeit zu Zeit. Während er zur Himmelsmechanik beitrug, führte er 1836 das Jacobi-Integral für ein Sternkoordinatensystem ein. Seine Theorie des letzten Multiplikators wird in Vorlesungen über Dynamik behandelt, herausgegeben von Alfred Clebsch 1866.

Carl Gustav hinterließ viele Manuskripte, von denen Teile regelmäßig in Crelles Journal veröffentlicht wurden. Seine anderen Werke umfassen Commentatio de transformatione integralis duplicis indefiniti in formam simpliciorem 1832, Canon arithmeticus 1839 und Opuscula mathematica 1846–1857. Seine Gesammelte Werke 1881–1891 wurden von der Berliner Akademie veröffentlicht.

Wissenswertes

Carl Gustavs Name wird gelegentlich in seinen lateinischen Büchern als Carolus Gustavus Iacobus Iacobi geschrieben, und sein Vorname wird manchmal als Karl angegeben.