إيفاريست غالوا

إيفاريست غالوا

كان إيفاريست غالوا (Évariste Galois؛ 25 أكتوبر 1811 – 31 مايو 1832) عالم رياضيات وناشطاً سياسياً فرنسياً. في سن المراهقة، استطاع تحديد شرط كافٍ وضروري لقابلية حل المعادلات متعددة الحدود بواسطة الجذور، محلاً بذلك معضلة ظلت مفتوحة لمدة 350 عاماً. وضع عمله حجر الأساس لنظرية غالوا ونظرية الزمر، وهما فرعان رئيسيان من الجبر المجرد.

كان غالوا جمهورياً متحمساً وشارك بقوة في الاضطرابات السياسية التي أحاطت بالثورة الفرنسية عام 1830. ونتيجة لنشاطه السياسي، اعتُقل مراراً وقضى عقوبة بالسجن لعدة أشهر. ولأسباب لا تزال غامضة، وبعد وقت قصير من خروجه من السجن، خاض غالوا مبارزة وتوفي متأثراً بجراحه.

السيرة

### النشأة

وُلد غالوا في 25 أكتوبر 1811 لأبوين هما نيكولا-غابرييل غالوا وأديلايد-ماري (لقبها قبل الزواج ديمانت). كان والده جمهورياً ورئيساً للحزب الليبرالي في بورغ-لا-رين، وأصبح عمدة للقرية بعد عودة لويس الثامن عشر إلى العرش عام 1814. أما والدته، ابنة أحد رجال القانون، فكانت تجيد القراءة باللاتينية والأدب الكلاسيكي، وكانت مسؤولة عن تعليم ابنها خلال سنواته الاثنتي عشرة الأولى.

في أكتوبر 1823، التحق بمدرسة لويس الكبير الثانوية (Lycée Louis-le-Grand) حيث أدرك معلمه لويس بول إميل ريتشارد عبقريته. وفي سن الرابعة عشرة، بدأ يهتم بالرياضيات اهتماماً جاداً.

عثر غالوا على نسخة من كتاب "عناصر الهندسة" (Éléments de Géométrie) لأدريان-ماري ليجاندر، ويُقال إنه قرأه "كما يقرأ المرء رواية" وأتقنه من القراءة الأولى. في سن الخامسة عشرة، كان يقرأ الأوراق البحثية الأصلية لجوزيف-لوي لاغرانج، مثل "تأملات حول الحل الجبري للمعادلات" (Réflexions sur la résolution algébrique des équations) التي حفزته على الأرجح في عمله اللاحق حول نظرية المعادلات، و"دروس في حساب الدوال" (Leçons sur le calcul des fonctions)، وهي أعمال مخصصة لعلماء الرياضيات المحترفين، ومع ذلك ظلت دراسته المدرسية غير ملهمة واتهمه معلموه بأنه يتصنع صفات العبقرية.

### عالم رياضيات ناشئ

في عام 1828، حاول غالوا اجتياز امتحان القبول للمدرسة المتعددة التقنيات (École Polytechnique)، المؤسسة الأكثر شهرة في فرنسا للرياضيات في ذلك الوقت، دون التحضير المعتاد، وفشل بسبب نقص التفسيرات في الامتحان الشفوي. في العام نفسه، التحق بالمدرسة العليا للأساتذة (École Normale، التي كانت تُعرف آنذاك بالمدرسة التحضيرية)، وهي مؤسسة أقل شأناً بمراحل في الدراسات الرياضية في ذلك الوقت، حيث وجد بعض الأساتذة المتعاطفين معه.

في العام التالي، نُشر أول بحث لغالوا حول الكسور المستمرة البسيطة. وفي الوقت نفسه تقريباً، بدأ في إجراء اكتشافات أساسية في نظرية المعادلات متعددة الحدود. قدم ورقتين حول هذا الموضوع إلى أكاديمية العلوم. قام أوغستين-لوي كوشي بتحكيم هذه الأوراق، لكنه رفض قبولها للنشر لأسباب لا تزال غير واضحة. ومع ذلك، وعلى عكس العديد من الادعاءات، يُعتقد على نطاق واسع أن كوشي أدرك أهمية عمل غالوا، وأنه اقترح فقط دمج الورقتين في ورقة واحدة للمشاركة في مسابقة الجائزة الكبرى للأكاديمية في الرياضيات. اعتبر كوشي، وهو عالم رياضيات بارز في ذلك الوقت رغم آرائه السياسية المعارضة تماماً لآراء غالوا، أن عمل غالوا مرشح محتمل للفوز.

في 28 يوليو 1829، انتحر والد غالوا بعد نزاع سياسي مرير مع كاهن القرية. وبعد يومين، قام غالوا بمحاولته الثانية والأخيرة لدخول المدرسة المتعددة التقنيات وفشل مرة أخرى. لا جدال في أن غالوا كان مؤهلاً بما يفوق المطلوب؛ وتختلف الروايات حول سبب فشله. تشير الروايات الأكثر منطقية إلى أن غالوا قام بقفزات منطقية كثيرة أربكت الممتحن غير الكفء، مما أثار غضب غالوا. ربما أثرت الوفاة الأخيرة لوالده أيضاً على سلوكه.

بعد حرمانه من القبول في المدرسة المتعددة التقنيات، خاض غالوا امتحانات البكالوريا لدخول المدرسة العليا للأساتذة. اجتازها وحصل على شهادته في 29 ديسمبر 1829. وذكر ممتحنه في الرياضيات: "هذا الطالب غامض أحياناً في التعبير عن أفكاره، لكنه ذكي ويظهر روحاً بحثية رائعة."

قدم غالوا مذكرته حول نظرية المعادلات عدة مرات، لكنها لم تُنشر أبداً في حياته. ورغم رفض محاولته الأولى من قبل كوشي، فإنه قدمها في فبراير 1830 بناءً على اقتراح كوشي إلى سكرتير الأكاديمية جوزيف فوريه، للنظر فيها لنيل الجائزة الكبرى للأكاديمية. لسوء الحظ، توفي فوريه بعد فترة وجيزة، وضاعت المذكرة. مُنحت الجائزة في ذلك العام لنيلس هنريك أبيل بعد وفاته ولكارل غوستاف جاكوب جاكوبي. ورغم ضياع المذكرة، نشر غالوا ثلاثة أبحاث في ذلك العام. أحدها وضع أسس نظرية غالوا. والثاني كان حول الحل العددي للمعادلات (إيجاد الجذور في المصطلحات الحديثة). والثالث كان مهماً في نظرية الأعداد، حيث تم التعبير عن مفهوم الحقل المنتهي لأول مرة.

### الشعلة السياسية

عاش غالوا في فترة من الاضطرابات السياسية في فرنسا. خلف شارل العاشر لويس الثامن عشر في عام 1824، لكن فصيله تعرض لانتكاسة انتخابية كبيرة عام 1827، وبحلول عام 1830 أصبح الحزب الليبرالي المعارض هو الأغلبية. وبمواجهة المعارضة السياسية من الغرف، قام شارل بانقلاب وأصدر مراسيم يوليو الشهيرة، مما أدى إلى ثورة يوليو التي انتهت بتولي لويس فيليب الأول العرش. وبينما كان نظراؤهم في المدرسة المتعددة التقنيات يصنعون التاريخ في الشوارع، كان غالوا في المدرسة العليا للأساتذة محبوساً من قبل مدير المدرسة. ثار غضب غالوا وكتب رسالة لاذعة تنتقد المدير، وقدمها إلى "جريدة المدارس" (Gazette des Écoles)، موقعاً على الرسالة باسمه الكامل. ورغم أن محرر الجريدة حذف التوقيع للنشر، فقد طُرد غالوا.

على الرغم من أن طرده كان سيصبح نافذاً رسمياً في 4 يناير 1831، إلا أن غالوا ترك المدرسة على الفور وانضم إلى وحدة المدفعية الجمهورية المتشددة في الحرس الوطني. قسم وقته بين عمله الرياضي وانتماءاته السياسية. وبسبب الجدل المحيط بالوحدة، وبعد فترة وجيزة من انضمام غالوا إليها، تم حل مدفعية الحرس الوطني في 31 ديسمبر 1830 خوفاً من أنها قد تزعزع استقرار الحكومة. وفي الوقت نفسه تقريباً، تم اعتقال تسعة عشر ضابطاً من وحدة غالوا السابقة واتهامهم بالتآمر للإطاحة بالحكومة.

في أبريل 1831، تمت تبرئة الضباط من جميع التهم، وفي 9 مايو 1831 أقيمت مأدبة على شرفهم حضرها العديد من الشخصيات المرموقة، مثل ألكسندر دوما. تحولت الإجراءات إلى الشغب. وفي مرحلة ما، وقف غالوا واقترح نخبًا قال فيه: "من أجل لويس فيليب"، مع رفع خنجر فوق كأسه. فسر الجمهوريون في المأدبة نخب غالوا كتهديد لحياة الملك وهتفوا. تم اعتقاله في اليوم التالي في منزل والدته واحتُجز في سجن سانت بيلاجي حتى 15 يونيو 1831، عندما خضع لمحاكمته. زعم محامي الدفاع عن غالوا بذكاء أن غالوا قال في الواقع "من أجل لويس فيليب، إذا خان"، لكن هذا القيد ضاع وسط الهتافات. طرح المدعي العام بضعة أسئلة أخرى، ولعل تأثراً بصغر سن غالوا، برأته هيئة المحلفين في نفس اليوم.

في يوم الباستيل التالي (14 يوليو 1831)، كان غالوا على رأس احتجاج، مرتدياً زي المدفعية المنحلة، وكان مسلحاً بشدة بعدة مسدسات وبندقية محشوة وخنجر. تم اعتقاله مرة أخرى. وأثناء وجوده في السجن، شرب غالوا الكحول لأول مرة بتحريض من زملائه السجناء. سجل أحد هؤلاء السجناء، فرانسوا-فنسنت راسباي، ما قاله غالوا أثناء سكره في رسالة مؤرخة في 25 يوليو. مقتطفات من الرسالة:

> "وأقول لك، سأموت في مبارزة بسبب فتاة لعوب من الدرجة الدنيا. لماذا؟ لأنها ستدعوني للانتقام لشرفها الذي مسّه شخص آخر."

"هل تعرف ما الذي ينقصني يا صديقي؟ لا يمكنني البوح به إلا لك: إنه شخص يمكنني أن أحبه، وأحبه فقط بالروح. لقد فقدت والدي ولم يستبدله أحد، هل تسمعني؟..."

يتابع راسباي أن غالوا، وهو لا يزال في حالة هذيان، حاول الانتحار، وأنه كان سينجح لو لم يوقفه زملاؤه السجناء بالقوة. بعد أشهر، عندما تمت محاكمة غالوا في 23 أكتوبر، حُكم عليه بالسجن ستة أشهر لارتدائه زياً رسمياً بشكل غير قانوني. وأثناء وجوده في السجن، واصل تطوير أفكاره الرياضية. أُطلق سراحه في 29 أبريل 1832.

### الأيام الأخيرة

عاد غالوا إلى الرياضيات بعد طرده من المدرسة العليا للأساتذة، رغم استمراره في قضاء بعض الوقت في الأنشطة السياسية. بعد أن أصبح طرده رسمياً في يناير 1831، حاول بدء فصل دراسي خاص في الجبر المتقدم جذب بعض الاهتمام، لكن هذا الاهتمام تلاشى، حيث بدا أن نشاطه السياسي له الأولوية. طلب منه سيمون دينيس بواسون تقديم عمله حول نظرية المعادلات، وهو ما فعله في 17 يناير 1831. في حوالي 4 يوليو 1831، أعلن بواسون أن عمل غالوا "غير مفهوم"، معلناً أن "حجة (غالوا) ليست واضحة بما يكفي ولا متطورة بما يكفي للسماح لنا بالحكم على دقتها"؛ ومع ذلك، انتهى تقرير الرفض بملاحظة مشجعة: "نقترح عندئذ أن يقوم المؤلف بنشر كامل عمله من أجل تكوين رأي نهائي." بينما تم إعداد تقرير بواسون قبل اعتقال غالوا في 14 يوليو، استغرق وصوله إلى غالوا في السجن حتى أكتوبر. وليس من المستغرب، في ضوء شخصيته ووضعه في ذلك الوقت، أن يتفاعل غالوا بعنف مع خطاب الرفض، ويقرر التخلي عن نشر أوراقه من خلال الأكاديمية ونشرها بدلاً من ذلك بشكل خاص من خلال صديقه أوغست شوفالييه. ومع ذلك، على ما يبدو، لم يتجاهل غالوا نصيحة بواسون، حيث بدأ في جمع كل مخطوطاته الرياضية وهو لا يزال في السجن، وواصل صقل أفكاره حتى إطلاق سراحه في 29 أبريل 1832، وبعد ذلك تم إقناعه بطريقة ما بمبارزة.

وقعت مبارزة غالوا القاتلة في 30 مايو. الدوافع الحقيقية وراء المبارزة غامضة. كانت هناك الكثير من التكهنات حولها. ما هو معروف هو أنه قبل وفاته بخمسة أيام، كتب رسالة إلى شوفالييه تلمح بوضوح إلى علاقة حب محطمة.

تشير بعض التحقيقات الأرشيفية في الرسائل الأصلية إلى أن المرأة ذات الاهتمام الرومانسي كانت ستيفاني-فيليسي بوتيرين دو موتيل، ابنة الطبيب في النزل الذي أقام فيه غالوا خلال الأشهر الأخيرة من حياته. تتوفر أجزاء من رسائل منها، نسخها غالوا نفسه (مع العديد من الأجزاء، مثل اسمها، إما مطموسة أو محذوفة عمداً). تلمح الرسائل إلى أن بوتيرين دو موتيل قد باحت ببعض مشاكلها لغالوا، وربما دفع هذا غالوا لاستفزاز المبارزة بنفسه نيابة عنها. يتم دعم هذا التخمين أيضاً برسائل أخرى كتبها غالوا لاحقاً لأصدقائه في الليلة التي سبقت وفاته. ابن عم غالوا، غابرييل ديمانت، عندما سُئل عما إذا كان يعرف سبب المبارزة، ذكر أن غالوا "وجد نفسه في حضور عم مزعوم وخطيب مزعوم، قام كل منهما باستفزاز المبارزة". صرخ غالوا نفسه: "أنا ضحية لفتاة لعوب شائنة ومخدوعيها الاثنين."

أما بالنسبة لخصمه في المبارزة، فيسمي ألكسندر دوما بيشو ديربينفيل، الذي كان في الواقع أحد ضباط المدفعية التسعة عشر الذين تم الاحتفال بتبرئتهم في المأدبة التي أدت إلى اعتقال غالوا الأول. ومع ذلك، دوما وحيد في هذا الادعاء، وإذا كان محقاً فمن غير الواضح لماذا كان ديربينفيل متورطاً. لقد تم التكهن بأنه كان "الخطيب المزعوم" لبوتيرين دو موتيل في ذلك الوقت (تزوجت في النهاية من شخص آخر)، ولكن لم يتم العثور على دليل واضح يدعم هذا التخمين. من ناحية أخرى، فإن قصاصات الصحف الموجودة بعد أيام قليلة فقط من المبارزة تعطي وصفاً لخصمه (المحدد بالأحرف الأولى "L.D.") الذي يبدو أنه ينطبق بدقة أكبر على أحد أصدقاء غالوا الجمهوريين، على الأرجح إرنست دوشاتليه، الذي سُجن مع غالوا بنفس التهم. بالنظر إلى المعلومات المتضاربة المتاحة، قد تكون الهوية الحقيقية لقاتله ضائعة في التاريخ.

مهما كانت الأسباب الكامنة وراء المبارزة، كان غالوا مقتنعاً جداً بوفاته الوشيكة لدرجة أنه بقي مستيقظاً طوال الليل يكتب رسائل لأصدقائه الجمهوريين ويكتب ما سيصبح وصيته الرياضية، وهي الرسالة الشهيرة إلى أوغست شوفالييه التي توضح أفكاره، وثلاث مخطوطات مرفقة. قال عالم الرياضيات هيرمان فايل عن هذه الوصية: "هذه الرسالة، إذا تم الحكم عليها من حيث حداثة وعمق الأفكار التي تحتوي عليها، ربما تكون أهم قطعة كتابية في الأدب البشري بأكمله." ومع ذلك، يبدو أن أسطورة غالوا وهو يصب أفكاره الرياضية على الورق في الليلة التي سبقت وفاته قد تم المبالغة فيها. في هذه الأوراق النهائية، حدد الخطوط العريضة لبعض الأعمال التي كان يقوم بها في التحليل وعلق على نسخة من المخطوطة المقدمة للأكاديمية وأوراق أخرى.

في صباح يوم 30 مايو 1832، أُصيب في البطن، وتخلى عنه خصومه وثوانوه، وعثر عليه مزارع مارّ. توفي في صباح اليوم التالي في الساعة العاشرة في مستشفى كوشين (على الأرجح بسبب التهاب الصفاق)، بعد رفض خدمات كاهن. انتهت جنازته بأعمال شغب. كانت هناك خطط لبدء انتفاضة خلال جنازته، لكن في نفس الوقت سمع القادة بوفاة الجنرال جان ماكسيميليان لامارك وتم تأجيل الانتفاضة دون حدوث أي انتفاضة حتى 5 يونيو. تم إخطار شقيق غالوا الأصغر فقط بالأحداث قبل وفاة غالوا. كان عمر غالوا 20 عاماً. كانت كلماته الأخيرة لشقيقه الأصغر ألفريد:

> "لا تبك يا ألفريد! أحتاج كل شجاعتي لأموت في العشرين!"

في 2 يونيو، دُفن إيفاريست غالوا في قبر مشترك في مقبرة مونبارناس وموقعها الدقيق غير معروف. في مقبرة مسقط رأسه – بورغ-لا-رين – تم نصب قبر رمزي على شرفه بجانب قبور أقاربه.

في عام 1842، بدأ جوزيف ليوفيل دراسة أوراق غالوا غير المنشورة وأقر بقيمتها في عام 1843. ليس من الواضح ما حدث في السنوات العشر بين 1832 و1842 ولا ما الذي ألهم ليوفيل في النهاية للبدء في قراءة أوراق غالوا. يستكشف يسبر لوتسن هذا الموضوع بإسهاب في الفصل الرابع عشر "نظرية غالوا" من كتابه عن جوزيف ليوفيل دون التوصل إلى أي استنتاجات نهائية.

من المؤكد أنه من الممكن أن علماء الرياضيات (بما في ذلك ليوفيل) لم يرغبوا في نشر أوراق غالوا لأن غالوا كان ناشطاً سياسياً جمهورياً مات قبل 5 أيام من تمرد يونيو، وهو تمرد فاشل مناهض للملكية من قبل الجمهوريين الباريسيين. في نعي غالوا، اتهم صديقه أوغست شوفالييه تقريباً الأكاديميين في المدرسة المتعددة التقنيات بأنهم قتلوا غالوا، لأنه لو لم يرفضوا عمله، لكان قد أصبح عالم رياضيات ولم يكرس نفسه للنشاط السياسي الجمهوري الذي يعتقد البعض أنه قُتل بسببه. بالنظر إلى أن فرنسا كانت لا تزال تعيش في ظل عهد الإرهاب والعصر النابليوني، ربما انتظر ليوفيل حتى تهدأ الاضطرابات السياسية (من تمرد يونيو الفاشل وما أعقبه) قبل تحويل انتباهه إلى أوراق غالوا.

نشر ليوفيل أخيراً مخطوطات غالوا في عدد أكتوبر-نوفمبر 1846 من مجلة الرياضيات البحتة والتطبيقية (Journal de Mathématiques Pures et Appliquées). كانت أشهر مساهمة لغالوا هي إثبات مبتكر بأنه لا توجد صيغة للمعادلات من الدرجة الخامسة – أي أن المعادلات من الدرجة الخامسة وما فوق ليست قابلة للحل بشكل عام بواسطة الجذور. على الرغم من أن نيلس هنريك أبيل كان قد أثبت بالفعل استحالة "صيغة خماسية" بواسطة الجذور في عام 1824، ونشر باولو روفيني حلاً في عام 1799 تبين أنه معيب، إلا أن أساليب غالوا أدت إلى بحث أعمق فيما يسمى الآن نظرية غالوا، والتي يمكن استخدامها لتحديد، لأي معادلة متعددة الحدود، ما إذا كان لها حل بواسطة الجذور.

المساهمات في الرياضيات

من السطور الختامية لرسالة من غالوا إلى صديقه أوغست شوفالييه، مؤرخة في 29 مايو 1832، قبل يومين من وفاة غالوا:

> "عليك أن تطلب علناً من جاكوبي أو غاوس إبداء رأيهما، ليس في حقيقة هذه النظريات، بل في أهميتها."

"بعد ذلك، آمل أن يكون هناك أناس سيجدون مصلحتهم في فك رموز كل هذه الفوضى."

（الترجمة: عليك أن تطلب علناً من جاكوبي أو غاوس إبداء رأيهما، ليس في حقيقة هذه النظريات، بل في أهميتها. بعد ذلك، آمل أن يكون هناك أناس سيجدون مصلحتهم في فك رموز كل هذه الفوضى.）

ضمن الصفحات الستين أو نحو ذلك من أعمال غالوا المجمعة، توجد العديد من الأفكار المهمة التي كان لها عواقب بعيدة المدى لجميع فروع الرياضيات تقريباً. تمت مقارنة عمله بعمل نيلس هنريك أبيل (1802–1829)، وهو عالم رياضيات معاصر توفي أيضاً في سن مبكرة جداً، وكان لعملهما تداخل كبير.

### الجبر

بينما أعطى العديد من علماء الرياضيات قبل غالوا اعتباراً لما يُعرف الآن بالزمر، كان هو أول من استخدم كلمة "زمرة" (بالفرنسية groupe) بمعنى قريب من المعنى التقني المفهوم اليوم، مما جعله من بين مؤسسي فرع الجبر المعروف بنظرية الزمر. أطلق على تفكيك الزمرة إلى مجموعاتها المصاحبة اليسرى واليمنى تفكيكاً مناسباً إذا تطابقت المجموعات المصاحبة اليسرى واليمنى، مما يؤدي إلى مفهوم ما يُعرف اليوم بالزمر الفرعية الناظمية. كما قدم مفهوم الحقل المنتهي (المعروف أيضاً بحقل غالوا تكريماً له) بنفس الشكل المفهوم اليوم بشكل أساسي.

في رسالته الأخيرة إلى شوفالييه والمخطوطات المرفقة، وهي الثانية من ثلاث، أجرى دراسات أساسية للزمر الخطية فوق الحقول المنتهية:

لقد أنشأ الزمرة الخطية العامة فوق حقل أولي، GL(ν, p) وحسب رتبتها، في دراسة زمرة غالوا للمعادلة العامة من الدرجة p.

- أنشأ الزمرة الخطية الخاصة الإسقاطية PSL(2,p). قام غالوا بإنشائها كتحويلات خطية كسرية، ولاحظ أنها كانت بسيطة إلا إذا كانت p تساوي 2 أو 3. كانت هذه هي العائلة الثانية من الزمر البسيطة المنتهية، بعد الزمر المتبادلة. - لاحظ الحقيقة الاستثنائية بأن PSL(2,p) بسيطة وتعمل على p من النقاط إذا وفقط إذا كانت p هي 5 أو 7 أو 11.

### نظرية غالوا

أهم مساهمة لغالوا في الرياضيات هي تطويره لنظرية غالوا. أدرك أن الحل الجبري لمعادلة متعددة الحدود مرتبط ببنية زمرة من التبديلات المرتبطة بجذور متعددة الحدود، وهي زمرة غالوا لمتعددة الحدود. وجد أن المعادلة يمكن حلها بالجذور إذا كان بالإمكان العثور على سلسلة من الزمر الفرعية لزمرة غالوا الخاصة بها، كل واحدة منها ناظمية في خليفتها مع حاصل قسمة أبلي، أي أن زمرة غالوا الخاصة بها قابلة للحل. أثبت هذا أنه نهج مثمر، قام علماء الرياضيات لاحقاً بتكييفه مع العديد من المجالات الأخرى في الرياضيات بخلاف نظرية المعادلات التي طبقها عليها غالوا في الأصل.

### التحليل

ساهم غالوا أيضاً ببعض المساهمات في نظرية التكاملات الأبلية والكسور المستمرة.

كما كُتب في رسالته الأخيرة، انتقل غالوا من دراسة الدوال الإهليلجية إلى النظر في تكاملات أكثر التفاضلات الجبرية عمومية، والتي تسمى اليوم التكاملات الأبلية. قام بتصنيف هذه التكاملات إلى ثلاث فئات.

### الكسور المستمرة

في بحثه الأول عام 1828، أثبت غالوا أن الكسر المستمر المنتظم الذي يمثل الصمّاء التربيعية ζ هو دوري بحت إذا وفقط إذا كانت ζ صمّاء مختزلة، أي،

ζ > 1

{\displaystyle \zeta >1}

والمرافق الخاص بها

η

{\displaystyle \eta }

تستوفي

− 1 < η < 0

{\displaystyle -1<\eta <0}

.

في الواقع، أظهر غالوا أكثر من ذلك. وأثبت أيضاً أنه إذا كانت ζ صمّاء تربيعية مختزلة وη هي مرافقها، فإن الكسور المستمرة لـ ζ و لـ (−1/η) كلاهما دوري بحت، وأن الكتلة المتكررة في أحد تلك الكسور المستمرة هي صورة مرآتية للكتلة المتكررة في الآخر. بالرموز لدينا

ζ

= [

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

m − 1

¯

]

− 1

η

= [

a

m − 1

;

a

m − 2

,

a

m − 3

, … ,

a

0

¯

]

{\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=[\,{\overline {a_{0};a_{1},a_{2},\dots ,a_{m-1}}}\,]\\[3pt]{\frac {-1}{\eta }}&=[\,{\overline {a_{m-1};a_{m-2},a_{m-3},\dots ,a_{0}}}\,]\,\end{aligned}}}

حيث ζ هي أي صمّاء تربيعية مختزلة، وη هي مرافقها.

من هاتين النظريتين لغالوا يمكن استنتاج نتيجة عرفها لاغرانج بالفعل. إذا كان r > 1 عدداً نسبياً ليس مربعاً كاملاً، فإن

r

=

[

a

0

;

a

1

,

a

2

, … ,

a

2

,

a

1

, 2

a

0

¯

]

.

{\displaystyle {\sqrt {r}}=\left[\,a_{0};{\overline {a_{1},a_{2},\dots ,a_{2},a_{1},2a_{0}}}\,\right].}

بشكل خاص، إذا كان n أي عدد صحيح موجب غير مربع، فإن توسيع الكسر المستمر المنتظم لـ √n يحتوي على كتلة متكررة بطول m، حيث تشكل المقامات الجزئية m − 1 الأولى سلسلة متناظرة.