بال توران: نظريات من معسكر عمل

في يوليو 1944، كان يهودي مجري في معسكر عمل قسري يدفع عربات الطوب على قضبان في مصنع بالقرب من بودابست. حيث تتقاطع المسارات، كانت العربات تهتز ويصبح العمل أكثر صعوبة. كان معظم الرجال يلعنون التقاطعات. بدأ توران يتساءل عن الحد الأدنى الممكن لعدد التقاطعات لـ m من الأفران و n من المستودعات - وبذلك طرح ما يسمى الآن مشكلة مصنع الطوب لتوران، وهي واحدة من الأسئلة التأسيسية لنظرية أعداد التقاطع. كان سجيناً. وكان أيضاً، في تلك اللحظة، يمارس الرياضيات.

بودابست، فيير، وباب مغلق

ولد توران في 18 أغسطس 1910 في بودابست، التي كانت آنذاك جزءاً من النمسا-المجر، لعائلة يهودية مجرية. ظهرت موهبته في المدرسة الثانوية. حصل على شهادته في التدريس من جامعة بودابست في عام 1933 وحصل على الدكتوراه في عام 1935 من جامعة إيتفوس لوراند تحت إشراف ليبوت فيير، الشخصية المركزية في التحليل المجري.

نشر ورقتين بحثيتين مهمتين في عام 1933، في مجلات الجمعيات الرياضية الأمريكية واللندنية. لم يحدث ذلك أي فرق في قابليته للتوظيف. قوانين "العدد المحدود" (numerus clausus) في المجر التي قيدت مشاركة اليهود في التعليم العالي أبقته بعيداً عن العمل الأكاديمي المستقر لسنوات، والمنصب الذي حصل عليه أخيراً في عام 1938 كان في مدرسة تدريب حاخامية في بودابست. ها هو عالم رياضيات ينشر دولياً في سن الثالثة والعشرين ويدرس في معهد ديني في سن الثامنة والعشرين لأن الدولة استبعدته قانونياً من الجامعة.

لقاء إيردوس

في 1 سبتمبر 1930، في ندوة رياضية في جامعة بودابست، التقى توران ببول إيردوس. كان كلاهما من حلّالي المسائل البارزين في مجلة المسائل KöMaL عندما كانا تلميذين. استمر التعاون الذي بدأ في ذلك اليوم ستة وأربعين عاماً وأنتج ثماني وعشرين ورقة بحثية مشتركة - وهي واحدة من أعظم الشراكات المستمرة في رياضيات القرن العشرين، ومصدر الكثير مما نعرفه عن شخصية توران، لأن إيردوس كتب عنه باستفاضة ولم يداهنه.

خمس سنوات في المعسكرات

في سبتمبر 1940، اعتُقل توران بسبب تراثه اليهودي وأُرسل إلى معسكرات العمل. قضى خمس سنوات في معسكرات مختلفة عبر ترانسيلفانيا والمجر.

كان ينبغي أن تكون هذه الفترة فراغاً في سيرته الذاتية. لم تكن كذلك. ضابط يدعى جوزيف وينكلر، كان مدرباً في الرياضيات، تعرف على اسم توران ورتب له مهام أخف. استخدم توران الهامش الذي وفره له ذلك. ألف ورقة بحثية مهمة عن دالة زيتا لريمان أثناء اعتقاله، وحافظ على توازنه بحل المسائل في رأسه والتفكير في المشكلات. جاءت ملاحظة مصنع الطوب في يوليو 1944؛ ولم يتناولها بجدية إلا بعد عام 1952، لكن السؤال ولد على القضبان.

قال إيردوس بصراحة: توران "لم يفقد روحه حتى في معسكرات النازيين وقام بعمل رائع هناك". أُطلق سراحه في عام 1944 وعاد إلى التدريس.

نظرية المخططات المتطرفة

أهم شيء بناه توران، بناه أثناء سجنه. يقول إيردوس مرة أخرى: "في 1940-1941 أنشأ مجال المسائل المتطرفة في نظرية المخططات، والذي يعد الآن أحد أسرع الموضوعات نمواً في التوافقية".

النتيجة التأسيسية، نظرية توران، تعطي حداً أعلى لعدد الحواف التي يمكن أن يمتلكها مخطط دون احتواء مخطط فرعي كامل على r من الرؤوس. لإثبات ذلك، اخترع مخطط توران، وهو تعميم للمخططات الثنائية الكاملة. لا تكمن أهمية النظرية في الحد المحدد بل في شكل السؤال الذي أسسته: كم من الهيكل يمكنك امتلاكه قبل أن يُجبر نمط ما على الظهور؟ هذا السؤال، الذي طُرح في آلاف السياقات منذ ذلك الحين، هو ما تمثله التوافقية المتطرفة. وسعت نظرية كوفاري-سوس-توران النهج ليشمل المخططات الثنائية ذات المخططات الفرعية المحظورة.

المنخل ومجموع القوى

كانت نظرية الأعداد مجاله الأساسي. قدم منخل توران، من عام 1934، برهاناً مبسطاً لنتيجة عام 1917 لهاردي ورامانوجان حول الترتيب الطبيعي لعدد القواسم الأولية المتميزة. حدد هالاس أهميته الحقيقية: "تكمن أهميته الحقيقية في حقيقة أنه كان نقطة انطلاق نظرية الأعداد الاحتمالية". التبسيط الذي يؤسس تخصصاً ليس تبسيطاً. عممت متراجحة توران-كوبيليوس العمل.

صاغ مصطلح "سباق الأعداد الأولية" لعدم الانتظام في كيفية توزيع الأعداد الأولية عبر فئات البواقي، وعمل مع كنابوسكي على نتائج تتعلق بانحياز تشيبيشيف. تتعلق حدسية إيردوس-توران بالأعداد الأولية في المتتاليات الحسابية. وطور طريقة مجموع القوى، وهي تقنية للمتراجحات حول مجموع قوى أصفار دالة زيتا لريمان، مع تطبيقات تصل إلى التحليل المركب، والتحليل العددي، والمعادلات التفاضلية، ونظرية الأعداد المتعالية، وتقدير الأصفار بشكل عام.

حول الفرضية نفسها، سجل إيردوس أن توران كان "'غير مؤمن'، في الواقع، 'وثنياً': لم يكن يؤمن بصحة فرضية ريمان". أنتج تحليله متراجحات توران حول متعددات حدود ليجاندر، ومع إيردوس، متراجحة التوزيع المتساوي لإيردوس-توران.

تشخيص تم الحفاظ عليه سراً

أصبح أستاذاً مشاركاً في جامعة بودابست في عام 1945 وأستاذاً كاملاً في عام 1949. جاءت جائزة كوشوت في عام 1948 ومرة أخرى في عام 1952؛ انتُخب عضواً مراسلاً في الأكاديمية المجرية للعلوم في عام 1948 وعضواً عادياً في عام 1953. أسس وترأس جمعية يانوس بولياي الرياضية، وكان عضواً في هيئات تحرير المجلات الرائدة، وتحدث في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات في عام 1970 ودُعي إلى لجنة جائزة فيلدز في ذلك العام. تبعتها جائزة تيبور سزيلي في عام 1975.

تزوج من إيديت كوبور في عام 1939، وأنجب منها ابناً، روبرت؛ في عام 1952 تزوج من عالمة الرياضيات فيرا سوس، التي نشر معها بشكل مشترك وأنجب منها ابنين، جيورجي وتاماس.

حوالي عام 1970 تم تشخيص إصابته بسرطان الدم. فيرا فقط هي من عرفت. اختارت ألا تخبره، معتقدة أنه "محب جداً للحياة" وكان سيصاب باليأس. لم تخبر إيردوس إلا في عام 1976. رثى إيردوس لاحقاً التكلفة: لعدم معرفته بأن وقته كان قصيراً، أجل توران أعمالاً معينة "لوقت لاحق" ولم يكملها أبداً.

لماذا يُدعى بال عبقرياً

القدرة المحددة هي خلق المشكلات على مستوى تخصصات كاملة. نظريات توران الفردية قوية، لكن توقيعه هو أن ثلاثة مجالات منفصلة تتبع أصلها إليه: نظرية المخططات المتطرفة، التي ينسبها إيردوس صراحة إليه في إنشائها في 1940-41؛ نظرية الأعداد الاحتمالية، التي يقول هالاس إنها بدأت بمنخله عام 1934؛ ونظرية أعداد التقاطع، التي بدأت بالطوب. تأسيس مجال واحد هو مهنة. تأسيس ثلاثة هو شيء آخر - غريزة غير عادية للسؤال الكامن تحت السؤال، والذي يكون شكله العام حالة من صعوبة محددة.

الظروف تشحذ الادعاء بدلاً من مجرد تزيينه. لقد أنشأ نظرية المخططات المتطرفة في معسكر عمل، بدون مكتبة، وبدون زملاء، وبدون ورق، محتفظاً بالهياكل في رأسه. إيردوس، الذي لم يكن عاطفياً بشأن القدرة الرياضية وكان يعرف كل من يستحق المعرفة، قال إنه قام بعمل رائع هناك.

الحجة المضادة أضعف من المعتاد لكنها حقيقية. كان إيردوس أقرب أصدقائه لمدة ستة وأربعين عاماً ومقيمه الأكثر اقتباساً، وهو ليس مصدراً مستقلاً. طريقة مجموع القوى لتوران، رغم كل مداها، لم تكسر فرضية ريمان التي لم يكن يؤمن بها. تكريماته - جائزتان من كوشوت، جائزة سزيلي، عضوية الأكاديمية - هي اعترافات وطنية مجرية وليست أعلى الجوائز الدولية للتخصص. والنمو المتفجر لنظرية المخططات المتطرفة يدين بالكثير لأولئك الذين طوروها بعده. لقد طرح السؤال؛ وبنى الآخرون الموضوع.

الإرث

توفي توران بسبب سرطان الدم في بودابست في 26 سبتمبر 1976، عن عمر يناهز ستة وستين عاماً، ولا يزال غير مدرك لما كان يقتله. تدرس كل دورة في التوافقية الآن نظريته، وتؤرخ نظرية الأعداد الاحتمالية تأسيسها لمنخل ابتكره في سن الرابعة والعشرين. تظل مشكلة مصنع الطوب مفتوحة بشكل عام. إنه نصب تذكاري مناسب: سؤال طرحه سجين يراقب تقاطع القضبان، والذي لم ينته التخصص من الإجابة عليه بعد.