مارك لاكينبي: الرجل الذي فك عقدة العقد

"لا توجد طريقة منهجية معروفة حتى الآن يمكن من خلالها معرفة ما إذا كانت عقدتان متطابقتين." كان هذا قول آلان تورينج (Alan Turing) في عام 1954، مشيرًا إلى واحدة من أكثر المشكلات الرياضية الملموسة استعصاءً على الحل: بالنظر إلى كتلة من الخيوط ذات أطراف موصلة، حدد ما إذا كانت عقدة حقيقية. طرح ماكس ديهن (Max Dehn) هذه المسألة في عام 1910. أنتج فولفغانغ هاكن (Wolfgang Haken) الخوارزمية الأولى في عام 1961، لكنها كانت بطيئة بشكل ميؤوس منه في أي شيء معقد. في 2 فبراير 2021، في جامعة كاليفورنيا في ديفيس، أعلن مارك لاكينبي أن المسألة يمكن حلها في خطوات تعادل n مرفوعة للقوة c log n - أي زمن شبه متعدد الحدود، وهو فارق بسيط عن الكفاءة التي يعتبرها علماء الكمبيوتر علامة على مشكلة قابلة للحل حقًا. وصف علماء الرياضيات في أكسفورد الأمر بأنه إنجاز فذ في حل عقدة غوردية.

كامبريدج ومدرسة ليكوريش

ذهب لاكينبي إلى كامبريدج لدراسة الرياضيات في عام 1990 وبقي للحصول على الدكتوراه، التي أكملها في عام 1997 تحت إشراف دبليو. بي. آر. ليكوريش (W. B. R. Lickorish) بأطروحة بعنوان "جراحة ديهن وعمليات فك العقد". يعد ليكوريش أحد الشخصيات المركزية في نظرية العقد في القرن العشرين، وكانت موضوعات الأطروحة - جراحة ديهن وفك العقد - لا تزال تمثل موضوعات لاكينبي بعد ربع قرن. قلة من علماء الرياضيات يختارون منطقتهم في وقت مبكر ثم يستمرون في إيجاد أشياء جديدة فيها.

شغل منصب زميل أبحاث ميلر في جامعة كاليفورنيا في بيركلي وزميل أبحاث في كامبريدج قبل الانتقال إلى أكسفورد في عام 1999 كمحاضر وزميل في كلية سانت كاترين. تبع ذلك الترقية إلى منصب أستاذ في عام 2006. يقع عمله عبر نظرية العقد، وطوبولوجيا الأبعاد المنخفضة، ونظرية المجموعات - وهي ثلاثة مواضيع تبين أنها في الأبعاد الثلاثة هي أكثر أو أقل نفس الموضوع الذي يُنظر إليه من زوايا مختلفة.

ملء الثقوب

جراحة ديهن هي العملية التي تقع في قلب طوبولوجيا الأبعاد الثلاثة: قطع أنبوب صلب حول عقدة، ثم إعادة لصقه بشكل مختلف. يمكن إنتاج كل متعدد متشعب ثلاثي الأبعاد تقريبًا بهذه الطريقة، لذا فإن فهم العملية يعني فهم الكائنات.

السؤال المهم هو متى تظل النتيجة زائدية - الهندسة الزائدية هي الهيكل الذي يجعل المتعدد المتشعب ثلاثي الأبعاد صلبًا وقابلاً للتحليل، وغيابها هو حيث تبدأ البرية. تقدم مبرهنة 2π معيارًا هندسيًا يضمن أن الجراحة تحافظ على الزائدية. أثبت لاكينبي نسخة معززة منها. هذا نوع نموذجي من النتائج بالنسبة له: ليس اكتشاف مشهد جديد بل شحذ لخط حدودي موجود، تم تنفيذه بشكل جيد بما يكفي لكي تقع مساحة أكبر بكثير على الجانب المفيد منه.

العقد المتناوبة والحجم

يربط خيط ثانٍ بين صورة العقدة وهندستها. ارسم عقدة كمخطط على صفحة وسيكون لديك توافقيات - تقاطعات، أقواس، مناطق. فكر في المساحة المحيطة بالعقدة وسيكون لديك هندسة، مع حجم زائدي مرتبط بها. هذه أنواع مختلفة تمامًا من المعلومات، وربطها هو أحد المشاريع العميقة في هذا المجال.

أنتج لاكينبي حدودًا على الحجم الزائدي لمكملات العقد للعقد المتناوبة - وهي الفئة التي تتبادل فيها التقاطعات فوق، تحت، فوق، تحت أثناء سفرك حولها - مما يربط ثابتًا هندسيًا بشيء يمكنك عده حرفيًا في رسم. نتائج من هذا النوع هي ما يجعل هندسة العقد قابلة للحساب بدلاً من مجرد كونها قابلة للتأمل.

حركات ريدمايستر، معدودة

يمكن تحويل أي مخطط لعقدة إلى أي مخطط آخر لنفس العقدة من خلال سلسلة من ثلاث عمليات تلاعب أولية، وهي حركات ريدمايستر. كان هذا معروفًا منذ عشرينيات القرن العشرين، وهو عديم الفائدة بمفرده: لا يوجد شيء يخبرك بعدد الحركات المطلوبة، وقد تضطر السلسلة إلى المرور عبر مخططات أكثر فوضوية من أي من نقطتي النهاية قبل أن تتبسط. هذا هو بالضبط سبب صعوبة فك العقد - غالبًا ما يتعين عليك جعل العقدة أسوأ قبل أن تتحسن.

أظهر لاكينبي أن مخطط العقدة التافهة يمكن فكه في عدد من حركات ريدمايستر متعدد الحدود في عدد التقاطعات. كان التشاؤم في غير محله. توجد دائمًا طريق قصير معقول إلى الدائرة التافهة، حتى لو كان العثور عليه مسألة أخرى.

زمن شبه متعدد الحدود

وهذا يقودنا إلى عام 2021. كانت مشكلة التعرف على العقدة قد تراكمت فيها العديد من الخوارزميات بعد هاكن، بالاعتماد على الطوبولوجيا والهندسة، وكان كل شيء تقريبًا بطيئًا بشكل كارثي بمجرد أن تصبح العقد معقدة. أصبح ما إذا كانت هناك خوارزمية زمنية متعددة الحدود موجودة أحد الأسئلة المفتوحة الشهيرة على حدود الطوبولوجيا وعلوم الكمبيوتر. قال ويليام ثورستون (William Thurston)، في عام 2011، بوضوح: "لقد فكر الكثير من الناس في هذا السؤال ... لكن هذا كان سؤالًا يصعب حله للغاية".

حد n^(c log n) الخاص بلاكينبي لا يحسم الأمر تمامًا. شبه متعدد الحدود أبطأ من متعدد الحدود. لكن الفجوة بين شبه متعدد الحدود وكل ما جاء من قبل هائلة، والفجوة بين شبه متعدد الحدود ومتعدد الحدود، من الناحية العملية والمفاهيمية، صغيرة. المشكلة التي أدرجها تورينج ضمن المشكلات غير المروضة أصبحت الآن، في الأساس، مروضة.

لماذا يُدعى مارك عبقريًا

الجودة المعروضة ليست السرعة ولا الاتساع. إنها نوع من العمق الصبور: البقاء مع نفس مجموعة الأسئلة - جراحة ديهن، فك العقد، هندسة مكملات العقد - لمدة خمسة وعشرين عامًا، وتراكم التقنية حتى أصبحت المشكلات التي قاومت أجيالًا قابلة للحل. نتيجة فك العقد هي أوضح دليل، لأنها لم تسقط بفضل خدعة ذكية. بل سقطت بفضل شخص قضى حياته المهنية في بناء الآليات المحددة المطلوبة وكان بإمكانه رؤية، حيث لم يستطع الآخرون، أي مزيج من الأدوات الطوبولوجية والهندسية سيؤدي إلى الحل.

كان الاعتراف من أقرانه متسقًا وليس مثيرًا: جائزة وايتهيد من جمعية لندن للرياضيات في عام 2003، وجائزة فيليب ليفرهولم في الرياضيات والإحصاء في عام 2006، ودعوة للتحدث في المؤتمر الدولي لعلماء الرياضيات في عام 2010 - وهي الإشارة الأكثر موثوقية في هذا التخصص على أن مجموعة العمل مهمة. أثار إعلان عام 2021 أقوى العبارات، حيث استخدمت أكسفورد كلمة "إنجاز فذ".

يجب ذكر الحالة المعارضة. لا يوجد مصدر يسجل أن أحدًا وصف لاكينبي بالعبقري، والثقافة الرياضية التي ينتمي إليها تقتصد بشكل ملحوظ في استخدام هذه الكلمة. يبني عمله بشكل مباشر على هاكن، وثورستون، وليكوريش وتقاليد الأسطح العادية بأكملها؛ الخوارزمية شبه متعددة الحدود هي تحسين مذهل ضمن إطار قائم، وليست إطارًا جديدًا. كما أنها ليست متعددة الحدود، مما يعني أن السؤال الرئيسي لا يزال مفتوحًا تقنيًا. وطوبولوجيا الأبعاد المنخفضة، رغم كل جمالها، هي مجال متخصص - نتائجه مشهورة بين علماء الطوبولوجيا وغير معروفة إلى حد كبير في الخارج. ما لا جدال فيه هو أنه حل شيئًا استعصى لقرن من الزمان، وقام بذلك من خلال معرفة موضوعه الخاص بشكل أكثر شمولًا من أي شخص آخر.

الإرث

ما فعله لاكينبي، عبر جميع خيوط عمله الأربعة، هو جعل نظرية العقد فعالة. حصر الأحجام عن طريق عد التقاطعات، وحصر فك العقد عن طريق عد الحركات، وحصر التعرف عن طريق عد الخطوات - في كل حالة أصبح الكائن الذي يمكن تأمله كائنًا يمكن حسابه. هذا التحول هو ما يحول نظرية جميلة إلى نظرية قابلة للاستخدام، وهو السبب في أن نتيجة عام 2021 تجاوزت الطوبولوجيا إلى علوم الكمبيوتر النظرية. طرح ديهن السؤال في عام 1910. استغرق الأمر 111 عامًا وأستاذًا في أكسفورد رفض العمل على أي شيء آخر.