جوزيف تايخمان: عالم الهندسة الذي اتجه إلى السوق

كان عنوان أطروحته للدكتوراه عام 1999 هو "نظرية مجموعات لي ذات الأبعاد اللانهائية من وجهة نظر التحليل الدالي (The Theory of Infinite-Dimensional Lie Groups from the Point of View of Functional Analysis)". لا شيء في تلك الجملة يشير إلى رجل سينتهي به المطاف في برنامج كل مؤتمر جاد للتمويل الكمي على وجه الأرض، أو يحصل على جائزة لويس باشيلييه (Louis Bachelier Prize) من الأكاديمية الفرنسية للعلوم بعد خمسة عشر عاماً. لكن منحنى أسعار الفائدة هو كائن ذو أبعاد لانهائية، يتطور بمرور الوقت، وبمجرد أن لاحظ جوزيف تايخمان (Josef Teichmann) ذلك، أصبحت المسافة بين الهندسة المجردة وسوق السندات قصيرة جداً في الواقع.

من لينز إلى فيينا

وُلد تايخمان في 27 أغسطس 1972 في لينز، في تيرول بالنمسا. درس الرياضيات في جامعة غراتس قبل أن ينتقل إلى جامعة فيينا للعمل على الدكتوراه تحت إشراف بيتر دبليو. ميخور (Peter W. Michor)، أحد الشخصيات الرائدة في الهندسة التفاضلية ذات الأبعاد اللانهائية. كانت الأطروحة، التي اكتملت في عام 1999، تقع تماماً في ذلك العالم: مجموعات لي (Lie groups) ذات الأبعاد اللانهائية، التي تم تناولها من خلال التحليل الدالي بدلاً من الحدسيات ذات الأبعاد المحدودة التي توجه هذا الموضوع عادةً.

ثم حصل على منصب ما بعد الدكتوراه في جامعة فيينا للتكنولوجيا وتأهل للتدريس هناك في عام 2002 - وهو الترخيص الرسمي في النظام الأكاديمي الناطق بالألمانية لشغل كرسي أستاذية، وفي حالته كانت هذه هي النقطة التي انعطف فيها مساره المهني.

أبعاد لانهائية، أموال حقيقية

تبدو الخطوة من الهندسة البحتة إلى الرياضيات المالية كتغيير في المسار المهني، لكنها كانت أقرب إلى تغيير في الأمثلة.

يتعامل تسعير الخيارات الكلاسيكي مع سعر أصل واحد كعملية عشوائية ويسأل عن قيمة المشتقة عليه. أسعار الفائدة أكثر صعوبة، لأن ما يتحرك ليس رقماً بل منحنى: هيكل العائد بالكامل عبر كل استحقاق من يوم واحد إلى ثلاثين عاماً، يتأرجح كشكل واحد مترابط. يقوم إطار عمل هيث-جارو-مورتون (Heath–Jarrow–Morton)، الذي عمل عليه تايخمان بشكل مكثف، بنمذجة هذا المنحنى بالكامل كعملية عشوائية في مساحة وظيفية. يعيش متغير الحالة في أبعاد لانهائية. مما يعني أن الأسئلة التي يطرحها عالم الهندسة - ما هو شكل المساحة، ما هي المتشعبات الفرعية التي يتم الحفاظ عليها بواسطة الديناميكيات، متى يظل التدفق داخل عائلة ذات أبعاد محدودة - هي بالضبط الأسئلة التي تطرحها المشكلة المالية.

هذا هو النمط المتكرر في مسيرته المهنية: جلب مجموعة أدوات هندسية قوية بشكل غير عادي إلى مجال كان يُعالج بشكل أساسي بالاحتمالات والحسابات، وإيجاد هيكل لم يستطع الآخرون رؤيته لأنهم لم يكونوا مجهزين للبحث عنه.

المسارات الخشنة، حسابات ماليافين، التربيع

تراوح عمله في التحليل العشوائي عبر أكثر آليات المجال تقنية. توفر حسابات ماليافين (Malliavin calculus) - وهي حساب تفاضلي على مساحة المسارات العشوائية - نتائج حساسية وسلاسة لا يمكن الوصول إليها بطريقة أخرى. تهاجم نظرية المسار الخشن (Rough path theory) ودراسة المعادلات التفاضلية الجزئية العشوائية مشكلة ما يعنيه أصلاً حل معادلة مدفوعة بضوضاء غير منتظمة للغاية بحيث لا يمكن دمجها كلاسيكياً. توفر العمليات التآلفية (Affine processes) الفئة القابلة للمعالجة التي تكمن وراء الكثير من نمذجة أسعار الفائدة والتقلب.

إلى جانب النظرية، هناك اهتمام مستمر بالحسابات. صيغ التربيع (Cubature formulas) والمخططات العددية للمعادلات التفاضلية العشوائية ليست براقة، لكنها الطريقة التي يتحول بها النموذج إلى سعر. إن استعداد تايخمان للعمل في كلا الطرفين - هندسة المساحات ذات الأبعاد اللانهائية من جهة، والمخطط العددي من جهة أخرى - أمر غير معتاد، وهو جزء كبير من سبب قراءة الممارسين لأعماله.

التواقيع والعشوائية

التحول الأحدث هو نحو التعلم الآلي، وهنا أيضاً نقطة الدخول هيكلية وليست عصرية. توقيع المسار (Signature) هو تسلسل لانهائي من التكاملات المتكررة التي تشفر شكل المسار - مجموعة أساسية من الميزات الناشئة عن نظرية المسار الخشن بدلاً من تخمينات المهندسين. تسعى محادثات تايخمان حول نظرية التوقيع والرياضيات المالية إلى تحقيق النتيجة: إذا كانت التواقيع تعطي وصفاً مبدئياً للمسار، فإنها تعطي مدخلات مبدئية لخوارزمية تعلم تعمل على سلاسل زمنية مالية.

يتعلق مسار موازٍ بالعشوائية وحوسبة الخزان (Reservoir computing)، وهو نهج يتم فيه توليد أنظمة عشوائية كبيرة ويتم تدريب طبقة قراءة بسيطة فقط. جاذبيته لعالم الرياضيات هي أن سلوكه قابل للتحليل بطريقة لا تتوفر عادةً في الشبكات العميقة. تتعلق أعمال أخرى حديثة بالتعظيم القوي المتأصل للنمو التقاربي - مسألة كيفية تنمية رأس المال على المدى الطويل عندما يكون النموذج نفسه غير مؤكد.

زيورخ

انضم إلى المعهد الفيدرالي السويسري للتكنولوجيا في زيورخ (ETH Zürich) كأستاذ في يونيو 2009، في قسم الرياضيات، حيث عمل ضمن مجموعة التمويل العشوائي - القسم الذي قام بأكثر من أي قسم آخر في أوروبا القارية لتعريف الرياضيات المالية الحديثة. ومنذ أغسطس 2023، يرأس القسم. وهو يلقي محاضرات ويقدم عروضاً في جميع أنحاء العالم، من ندوات باشيلييه (Bachelier Colloquiums) واجتماعات جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية (SIAM) للرياضيات المالية إلى المؤتمرات الدولية للرياضيات الصناعية والتطبيقية.

جاء الاعتراف مبكراً ومن عدة اتجاهات: جائزة الجمعية الرياضية النمساوية في عام 2005، وجائزة START من صندوق العلوم النمساوي في عام 2006 - وهي الجائزة الأكثر شهرة في النمسا للباحثين الشباب - وجائزة لويس باشيلييه من الأكاديمية الفرنسية للعلوم في عام 2014.

لماذا يُدعى جوزيف عبقرياً

لا يوجد مصدر أمامي يطبق الكلمة عليه، وسيكون من غير الأمانة اختلاق واحد. ما يدعمه السجل هو ملف تعريف معرفي محدد وغير شائع: نطاق غير عادي، يتم نشره كآلية نقل. معظم علماء الرياضيات الذين ينتقلون إلى التمويل يجلبون الاحتمالات. جلب تايخمان الهندسة التفاضلية ذات الأبعاد اللانهائية، وهو موضوع لا علاقة واضحة له بالأسواق حتى تلاحظ أن منحنى العائد هو نقطة في مساحة وظيفية وأن تطوره هو تدفق. القيام بذلك مرة واحدة فكرة جيدة. القيام بذلك بشكل متكرر - في المسارات الخشنة، في العمليات التآلفية، في طرق التوقيع للتعلم الآلي - يشير إلى عقل يسأل عادةً ما هي هندسة المشكلة قبل أن يسأل عن كيفية حسابها.

الجودة الثانية هي رفض التخصص الضيق. من الطبيعي أن يصبح عالم الرياضيات أكثر تجريداً أو أكثر تطبيقاً بشكل مطرد. لقد شغل تايخمان كلا المنصبين، ونشر عن هيكل المساحات ذات الأبعاد اللانهائية وعن مخططات التربيع التي يتم تنفيذها، وجائزة باشيلييه هي بالضبط الاعتراف الممنوح لهذا المزيج.

الحالة المضادة الصادقة: هو عالم رياضيات بحثي عامل يتمتع بتميز عالٍ، وليس شخصية يرتبط اسمها بنظرية أعادت تنظيم مجال ما. جوائزه وطنية وتخصصية وليست ميدالية فيلدز أو أبيل. الكثير من مخرجاته الأكثر استشهاداً تعاونية، كما هو معتاد في الرياضيات المالية. وعمل التعلم الآلي حديث بما يكفي لدرجة أن متانته غير مؤكدة - قد تصبح طرق التوقيع معدات قياسية أو حاشية، ومن السابق لأوانه القول أيهما. إنه ينتمي إلى أقوى وأكثر علماء الرياضيات تنوعاً في مجاله، وهو تميز حقيقي ومختلف عن العبقرية.

الإرث

ما بناه تايخمان في زيورخ هو جسر ذو حركة مرور في كلا الاتجاهين: الهندسة والتحليل العشوائي يغذي مشاكل التسعير والتحوط التي تواجهها البنوك بالفعل، وصعوبة تلك المشاكل تولد رياضيات بحتة جديدة في المقابل. إن رئاسة قسم الرياضيات في ETH منذ عام 2023 تضعه مسؤولاً عن إحدى المؤسسات التي تقرر كيف يبدو الجيل القادم من هذا العمل. تبين أن أطروحة مجموعات لي ذات الأبعاد اللانهائية لم تكن نقطة بداية بقدر ما كانت مجموعة من الأدوات التي كان يفك حزمها، في أماكن غير محتملة بشكل متزايد، منذ ذلك الحين.