دادلي إي. ليتلوود: القاعدة التي لم يستطع إثباتها

في عام 1934، نشر عالمان رياضيان في كلية جامعية صغيرة بويلز قانوناً توافقياً يحكم كيفية ضرب كائنات جبرية معينة. وذكرا ذلك كقاعدة رياضية (مبرهنة). لقد أثبتاها فقط في حالات خاصة بسيطة ومحدودة، واحتوى المثال الذي قدماه لتوضيحها على أخطاء. ومع ذلك، كانت القاعدة صحيحة. استغرق المجتمع العلمي أربعين عاماً لإثبات ذلك، وبحلول ذلك الوقت كانت قد أصبحت واحدة من أكثر النتائج استخداماً في الجبر الحديث. وكما عبر عالم نظرية التمثيل غوردون جيمس (Gordon James)، فإن قاعدة ليتلوود-ريتشاردسون "ساعدت في إيصال البشر إلى القمر، لكن لم يتم إثباتها إلا بعد وصولهم إلى هناك".

من توتنهام إلى ترينيتي

وُلد دادلي إرنست ليتلوود (Dudley Ernest Littlewood) في لندن في 7 سبتمبر 1903، وكان الابن الوحيد لآدا بايبر (Ada Piper) وهاري براملي ليتلوود (Harry Bramley Littlewood)، الذي كان يعمل كاتباً في مكتب محاماة. لم يكن هناك إرث رياضي ولا مال؛ فقد وصل إلى ما وصل إليه من خلال الامتحانات. من مدرسة توتنهام كاونتي في ميدلسكس، فاز بمنحة حكومية ومنحة دراسية للالتحاق بكلية ترينيتي في كامبريدج.

في ترينيتي، كان معلمه الجامعي هو جون إندرسون ليتلوود (John Edensor Littlewood) — عالم التحليل الشهير والمتعاون مع هاردي (Hardy)، ولم تكن بينهما قرابة، وهي مصادفة سببت ارتباكاً في الببليوغرافيات منذ ذلك الحين. تخرج في عام 1925 كـ "رانجلر" (wrangler) في امتحان الرياضيات (Mathematical Tripos)، في نفس دفعة هول (Hall) وهودج (Hodge). ثم، في ظل ظروف سوق العمل الأكاديمي بين الحربين، لم يحدث شيء يذكر. عمل مدرساً. وفي عام 1928، تولى منصب محاضر مؤقت بدوام جزئي في كلية جامعة سوانزي، تلاه منصب قصير في كلية الملكة في دندي. تزوج من مورييل دوريس دايسون (Muriel Doris Dyson) في عام 1930؛ وولد ابنهما في عام 1935.

سوانزي وريتشاردسون

سوانزي هي المكان الذي بدأت فيه حياته الرياضية فعلياً، وكان ذلك بفضل زميل واحد. فقد عرفه أرشيبالد ريد ريتشاردسون (Archibald Read Richardson)، الأستاذ هناك، على الجبر — وهو مجال لم يعمل فيه من قبل. عاد إلى سوانزي كمحاضر مساعد في عام 1930 وأصبح محاضراً في عام 1934، وبقي هناك حتى عام 1947. تناولت أوراقه البحثية المبكرة جبر الكواترنيون ونظرية الثوابت، وهو عمل محترم لم يعط أي إشارة خاصة لما هو قادم.

ما جاء بعد ذلك كان ورقة عام 1934 التي كتبها مع ريتشاردسون بعنوان "رموز المجموعة والجبر" (Group characters and algebras). قدمت الورقة مفهوم "إيمانانت" المصفوفة (immanant) — وهو تعميم يقع بين المحدد والمحدد الدائم — وتناولت دوال S، التي تسمى الآن عالمياً دوال شور (Schur functions)، والتي تشفر رموز المجموعات المتماثلة والخطية العامة. طرحت الورقة السؤال التالي الواضح: ماذا يحدث عندما تضرب دالتين من دوال شور معاً؟ الجواب الذي اقترحاه هو أن الضرب يتحلل إلى مجموع من دوال شور التي تحسب معاملاتها جداول معينة — مصفوفات توافقية من الصناديق المملوءة بأرقام وفق قواعد صارمة.

لماذا القاعدة مهمة

تبين أن هذا البيان الفردي يقع عند تقاطع تجتمع فيه عدة مجالات. تعطي معاملات ليتلوود-ريتشاردسون التعددية عند تحليل نواتج التنسور للتمثيلات ذات الأبعاد المحدودة، وعند استقراء تمثيلات المجموعات المتماثلة. إنها ثوابت البنية لحلقة الدوال المتماثلة في أساس شور. وفي الهندسة الجبرية، تظهر مجدداً كأعداد تقاطع على متغيرات غراسمان (Grassmannians)، حيث تحسب كيفية التقاء تنوعات شوبرت (Schubert varieties) — وهو اتصال لم يكن أحد يبحث عنه في عام 1934. سعى ليتلوود نفسه لتطبيقات نظرية التمثيل في ميكانيكا الكم.

ومع ذلك، كان الإثبات مفقوداً. ادعى جيلبرت دي بوريغارد روبنسون (Gilbert de Beauregard Robinson) في عام 1938 أنه أكمله، لكن عرضه كان غامضاً بما يكفي لدرجة أن الفجوات فيه ظلت دون اكتشاف لعقود؛ وكان إيان ماكدونالد (Ian Macdonald) لا يزال يملأ بعضها في عام 1995. جاءت الحجج الأولى التي استوفت المعايير الحديثة من غلانفرويد بي. توماس (Glânffrwd P. Thomas) في عام 1974 ومارسيل-بول شوتزنبرغر (Marcel-Paul Schützenberger) في عام 1977، والتي بُنيت على الآلية التوافقية لمراسلات روبنسون-شينستد (Robinson–Schensted correspondence) التي طورها شينستد (Schensted) وشوتزنبرغر ودونالد كنوث (Donald Knuth). فصلت أربعة عقود تقريباً بين الادعاء والإثبات.

الكتب وبانغور

حول ليتلوود أبحاثه إلى الكتاب الذي حمل اسمه لأبعد مدى، "نظرية رموز المجموعة وتمثيلات المصفوفة للمجموعات" (The Theory of Group Characters and Matrix Representations of Groups)، الذي نُشر في عام 1940 مع طبعة ثانية في عام 1950 — وكان بالنسبة لجيل كامل المرجع القياسي لتعلم الموضوع باللغة الإنجليزية. وأتبعه بـ "مفتاح الرياضيات الهيكلي" (The Skeleton Key of Mathematics) في عام 1949، وهو عرض عام صدر في عدة طبعات لاحقة، و"جبر جامعي" (A University Algebra) في عام 1950، والذي نُقح في عام 1961.

قضى الفترة من 1947 إلى 1948 كمحاضر جامعي في كامبريدج، ثم في عام 1948 تولى كرسي الرياضيات في كلية جامعة شمال ويلز في بانغور، وشغله لمدة 22 عاماً حتى تقاعده في عام 1970. تذكر الزملاء رجلاً خجولاً ومنطوياً، دائماً بابتسامة ودودة، طيباً وداعماً، كان يقرأ الخيال العلمي ويعتبر الفلسفة والدين موضوعين يستحقان التحقيق أكثر بكثير من الرياضيات — وهو اعتراف غير عادي من أستاذ في هذا الموضوع.

لماذا يُدعى دادلي عبقرياً

تُطبق الكلمة على قدرة محددة وضيقة: كان بإمكانه رؤية شكل الآلية الجبرية قبل أن يتمكن أي شخص من إثبات أنها تمتلك ذلك الشكل. وصفه طالبه جيه. أيه. غرين (J. A. Green) بدقة — "كانت قوة ليتلوود الرياضية تكمن في بصيرته الاستثنائية في كيفية عمل عمليات جبرية معينة". لاحظ الزملاء فهماً حدسياً قوياً للرياضيات الرسمية وتفضيلاً صريحاً للصيغة القابلة للاستخدام على الاشتقاق الصارم، ولاحظوا أنه أخذ أساليب فروبينيوس (Frobenius) وشور (Schur) وويل (Weyl) وأعاد صياغتها بأسلوبه الخاص بدلاً من إعادة إنتاجها. قاعدة عام 1934 هي خير مثال على ذلك. توصل ليتلوود وريتشاردسون إلى قانون توافقي صحيح حول كائنات لم يفهمها أحد تماماً، في مجال تكون فيه الحدسية غير موثوقة، وكانوا على حق — بينما أخطأ العديد من الرياضيين القادرين الذين حاولوا الإثبات على مدى السنوات الأربعين التالية.

القضية المضادة حقيقية وليست مجرد تدقيق أكاديمي. لقد نشروا القاعدة كمبرهنة بينما أثبتوا فقط حالات خاصة سهلة، وكان المثال التوضيحي الذي قدموه محسوباً بشكل خاطئ. لو كان المراجع أكثر صرامة، لربما ظهرت النتيجة كحدسية، وهو ما كانت عليه بالفعل. وظيفة عالم الرياضيات هي الإثبات، وبهذا المعيار كانت أشهر مساهمات ليتلوود غير مكتملة لمدة أربعة عقود وأكملها أشخاص آخرون باستخدام أدوات لم تكن لديه. إن مجموع أعماله الأوسع — ثلاثة كتب وسلسلة من الأوراق البحثية حول الثوابت، وجبر الكواترنيون، ورموز المجموعة — هي أعمال صلبة ومفيدة وليست تغير وجه التاريخ، وقد قضى حياته المهنية في سوانزي وبانغور، بعيداً عن مراكز التخصص. الحكم الصادق هو أنه امتلك غريزة رياضية استثنائية حقاً، لم تكن متوازنة بشكل متساوٍ مع الدقة اللازمة لتجسيدها؛ وقد قضى المجتمع العلمي تسعين عاماً يستفيد من هذه الغريزة ويصلح الدقة.

الإرث

تقاعد في عام 1970 وتوفي في لاندودنو في 6 أكتوبر 1979، بعد وقت قصير من عيد ميلاده السادس والسبعين، بعد سقوط كسر ساقه بسببه. دُفن في لانروس (Llanrhos)؛ وعاشت مورييل بعده بعشر سنوات. أصبح اسمه يُنطق يومياً من قبل أشخاص لا يعرفون شيئاً آخر عنه، مقترناً بقاعدة تدعم الدراسة الحديثة للدوال المتماثلة، ونظرية تمثيل المجموعات الكلاسيكية، وحساب شوبرت. قلة قليلة من الرياضيين يحصلون على مبرهنة تحمل أسماءهم. وأقل منهم من يحصل على مبرهنة وصلت شهرتها قبل إثباتها.