إذا توصلنا إلى معادلة تحتوي على نفس الحد على كل جانب لكن بمعاملات مختلفة، يجب أن نطرح الأقيسة المتساوية من بعضها البعض حتى نحصل على حد واحد يساوي حداً آخر. لكن، إذا كانت هناك حدود سالبة على جانب واحد أو على كلا الجانبين، يجب أن نضيف النواقص على كلا الجانبين حتى تصبح جميع الحدود على كلا الجانبين موجبة. ثم يجب أن نطرح الأقيسة المتساوية من بعضها البعض حتى يتبقى حد واحد على كل جانب.
ديوفانتس الإسكندري كان عالم رياضيات إسكندرياً، وكان مؤلف سلسلة من الكتب تسمى الحسابيات (Arithmetica)، وقد فُقد الكثير منها الآن. تتناول نصوصه حل المعادلات الجبرية. أثناء قراءة Pierre de Fermat لطبعة Claude Gaspard Bachet de Méziriac من كتاب ديوفانتس الحسابيات، توصل إلى أن معادلة معينة أخذها ديوفانتس في الاعتبار لا توجد لها حلول، وكتب في الهامش دون شرح مفصل أنه وجد "برهاناً مدهشاً حقاً لهذه القضية"، يُشار إليه الآن باسم نظرية Fermat الأخيرة. أدى هذا إلى تقدم هائل في نظرية الأعداد، وبقيت دراسة معادلات ديوفانتس "الهندسة الديوفانتية" والتقريبات الديوفانتية مجالات مهمة من البحث الرياضي. صاغ ديوفانتس المصطلح παρισότης (parisotes) للإشارة إلى المساواة التقريبية. تم تقديم هذا المصطلح كـ adaequalitas باللاتينية، وأصبح تقنية الملاءمة التي طورها Pierre de Fermat للعثور على القيم العظمى للدوال والخطوط المماسة للمنحنيات. كان ديوفانتس أول عالم رياضيات يوناني يعترف بالكسور كأعداد؛ وبالتالي سمح بالأعداد النسبية الموجبة للمعاملات والحلول. في الاستخدام الحديث، عادة ما تكون معادلات ديوفانتس معادلات جبرية بمعاملات صحيحة، والمطلوب فيها إيجاد حلول صحيحة.
السيرة الذاتية
لا يُعرف الكثير عن حياة ديوفانتس. عاش في Alexandria (الإسكندرية)، مصر، خلال الحقبة الرومانية، من المحتمل أنه عاش ما بين سنة 200 و214 ميلادية إلى 284 أو 298 ميلادية. وصفه المؤرخون بطرق مختلفة بأنه إما يوناني، أو ربما مصري مُهلّن، أو بابلي مُهلّن. قد تنبع العديد من هذه التعريفات من خلط مع الخطيب Diophantus the Arab من القرن الرابع. يُستمد الكثير من معرفتنا بحياة ديوفانتس من أنطولوجيا يونانية من القرن الخامس تضم ألعاب أرقام وألغازاً ابتكرها Metrodorus. تنص إحدى المسائل التي تسمى أحياناً شاهد قبره على ما يلي:
'هنا يرقد ديوفانتس'، تأملوا العجب.
من خلال فن الجبر، الحجر يخبر كم كان عمره:
'أعطاه الله طفولته سدس حياته،
ونصف ثانية عشرة أخرى حين كان فتى والشعر ينبت على خديه؛
ثم سبع أخرى قبل أن يبدأ الزواج؛
بعد خمس سنوات ولد له ابن جميل.
آه، الطفل العزيز لصاحب العلم والحكمة
بعد أن بلغ نصف عمر والده، أخذته منه الأقدار. بعد أن واسى حزنه بعلم الأعداد لمدة أربع سنوات، انتهت حياته.'
يشير هذا اللغز إلى أن عمر ديوفانتس x يمكن التعبير عنه كما يلي
x = x/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4
مما يعطي x قيمة 84 سنة. ومع ذلك، لا يمكن التحقق من دقة المعلومات بشكل مستقل.
في الثقافة الشعبية، كان هذا اللغز هو اللغز رقم 142 في لعبة Professor Layton and Pandora's Box كأحد أصعب الألغاز في اللعبة، والذي كان يجب فتحه بحل ألغاز أخرى أولاً.
الحسابيات
الحسابيات هي العمل الرئيسي لديوفانتس والعمل الأبرز في الجبر في الرياضيات اليونانية. إنها مجموعة من المسائل التي تعطي حلولاً عددية لمعادلات محددة وغير محددة على حد سواء. من الكتب الثلاثة عشر الأصلية التي تكونت منها الحسابيات، لم يبقَ منها سوى ستة كتب، على الرغم من أن هناك من يعتقد أن أربعة كتب عربية اكتُشفت عام 1968 هي أيضاً من تأليف ديوفانتس. تم العثور على بعض مسائل ديوفانتس من الحسابيات في مصادر عربية.
تجدر الإشارة هنا إلى أن ديوفانتس لم يستخدم أبداً طرقاً عامة في حلوله. أبدى عالم الرياضيات الألماني الشهير Hermann Hankel الملاحظة التالية بشأن ديوفانتس.
"مؤلفنا Diophantos لا توجد فيه أدنى أثر لطريقة عامة وشاملة؛ كل مسألة تتطلب طريقة خاصة بها لا تعمل حتى مع المسائل الأقرب صلة. لهذا السبب يجد الباحث الحديث صعوبة في حل المسألة 101 حتى بعد دراسة 100 من حلول Diophantos.".
التاريخ
مثل العديد من الرسائل الرياضية اليونانية الأخرى، نُسي ديوفانتس في أوروبا الغربية خلال ما يُسمى بالعصور المظلمة، حيث تراجعت دراسة اللغة اليونانية القديمة بشكل كبير، وتراجعت معرفة القراءة والكتابة بشكل عام. الجزء من الحسابيات اليونانية الذي نجا، مع ذلك، مثل جميع النصوص اليونانية القديمة المنقولة إلى العالم الحديث المبكر، تم نسخه من قبل وبالتالي أصبح معروفاً لدى العلماء البيزنطيين في العصور الوسطى. تم الحفاظ على التعليقات (Scholia) على ديوفانتس من قبل العالم البيزنطي اليوناني John Chortasmenos (1370–1437) جنباً إلى جنب مع تعليق شامل كتبه العالم اليوناني السابق Maximos Planudes (1260–1305)، الذي أنتج طبعة من ديوفانتس داخل مكتبة دير Chora في Constantinople البيزنطية. بالإضافة إلى ذلك، ربما نجا جزء من الحسابيات في التقليد العربي انظر أعلاه. في عام 1463 كتب عالم الرياضيات الألماني Regiomontanus:
لم يترجم أحد بعد من اليونانية إلى اللاتينية الكتب الثلاثة عشر لديوفانتس، والتي تحتوي على أزهى أزهار الحساب كله . . . .
تمت ترجمة الحسابيات لأول مرة من اليونانية إلى اللاتينية بواسطة Bombelli في عام 1570، لكن الترجمة لم تُنشر أبداً. ومع ذلك، استعار Bombelli العديد من المسائل لكتابه الخاص Algebra. تم نشر الطبعة الأولى (editio princeps) من الحسابيات عام 1575 بواسطة Xylander. أشهر ترجمة لاتينية للحسابيات تمت بواسطة Bachet في عام 1621 وأصبحت أول طبعة لاتينية متاحة على نطاق واسع. امتلك Pierre de Fermat نسخة منها، ودرسها، وكتب ملاحظات في الهوامش.
كتابة Fermat و Chortasmenos في الهوامش
اشتهرت طبعة عام 1621 من الحسابيات بواسطة Bachet بعد أن كتب Pierre de Fermat نظريته الشهيرة "الأخيرة" في هوامش نسخته:
إذا كان العدد الصحيح n أكبر من 2، فإن an + bn = cn لا توجد لها حلول في أعداد صحيحة غير صفرية a، b، وc. أملك برهاناً مدهشاً حقاً لهذه القضية لكن هذا الهامش ضيق جداً لاحتوائه.
لم يتم العثور على برهان Fermat، وظلت مسألة إيجاد برهان للنظرية بدون حل لقرون. تم العثور على برهان أخيراً في عام 1994 بواسطة Andrew Wiles بعد أن عمل عليها لمدة سبع سنوات. يُعتقد أن Fermat لم يكن لديه في الواقع البرهان الذي ادعى أنه لديه. على الرغم من أن النسخة الأصلية التي كتب فيها Fermat هذا فُقدت اليوم، قام ابن Fermat بتحرير الطبعة التالية من ديوفانتس، المنشورة في عام 1670. على الرغم من أن النص أقل جودة من طبعة عام 1621، تمت طباعة تعليقات Fermat—بما فيها "النظرية الأخيرة"—في هذه الطبعة.
لم يكن Fermat أول عالم رياضيات يشعر بالحاجة لكتابة ملاحظاته الهامشية الخاصة على ديوفانتس؛ فقد كان العالم البيزنطي John Chortasmenos (1370–1437) قد كتب "ليكن لعنتك يا ديوفانتس، بسبب صعوبة نظرياتك الأخرى وخاصة هذه النظرية الحالية" بجانب نفس المسألة.
أعمال أخرى
كتب ديوفانتس عدة كتب أخرى غير الحسابيات، لكن القليل جداً منها نجا.
المسلَّمات
يشير ديوفانتس نفسه إلى عمل يتضمن مجموعة من اللمات تسمى المسلَّمات (The Porisms) أو Porismata، لكن هذا الكتاب قد فُقد تماماً.
على الرغم من أن المسلَّمات قد فُقدت، نعرف ثلاث لمات وردت فيها، لأن ديوفانتس يشير إليها في الحسابيات. تنص إحدى اللمات على أن الفرق بين مكعبات عددين نسبيين يساوي مجموع مكعبات عددين نسبيين آخرين، أي أنه بمعلومية أي a و b، حيث a > b، توجد c و d، كلها موجبة ونسبية، بحيث
a³ − b³ = c³ + d³.
الأعداد المضلعة والعناصر الهندسية
معروف أيضاً أن ديوفانتس كتب عن الأعداد المضلعة، وهو موضوع كان محل اهتمام كبير من قبل Pythagoras والفيثاغوريين. بقايا من كتاب يتناول الأعداد المضلعة محفوظة.
كتاب يُسمى مقدمات الأقاليم الهندسية (Preliminaries to the Geometric Elements) نُسب تقليدياً إلى Hero of Alexandria. تم دراسته مؤخراً بواسطة Wilbur Knorr، الذي اقترح أن النسبة إلى Hero غير صحيحة، والمؤلف الحقيقي هو ديوفانتس.
التأثير
كان لعمل ديوفانتس تأثير كبير في التاريخ. أثرت طبعات الحسابيات تأثيراً عميقاً على تطور الجبر في أوروبا في أواخر القرن السادس عشر وفي القرنين السابع عشر والثامن عشر. تأثر ديوفانتس وأعماله أيضاً بالرياضيات العربية وكانت ذات شهرة عظيمة بين علماء الرياضيات العرب. خلقت أعمال ديوفانتس أساساً لعمل الجبر وفي الواقع فإن الكثير من الرياضيات المتقدمة تُبنى على الجبر. كم تأثر بها الهند مسألة قيد النقاش.
يُدعى ديوفانتس في كثير من الأحيان "مؤسس الجبر" لأنه ساهم بشكل كبير في نظرية الأعداد والرموز الرياضية، وللأن الحسابيات تحتوي على أول استخدام معروف للرموز المختزلة.
التحليل الديوفانتي
اليوم، التحليل الديوفانتي هو مجال الدراسة حيث يتم البحث عن حلول في أعداد صحيحة للمعادلات، ومعادلات ديوفانتس هي معادلات كثيرة الحدود بمعاملات صحيحة والمطلوب فيها حلول صحيحة فقط. عادة ما يكون من الصعب جداً تحديد ما إذا كانت معادلة ديوفانتية معينة قابلة للحل أم لا. معظم المسائل في الحسابيات تؤدي إلى معادلات تربيعية. درس ديوفانتس 3 أنواع مختلفة من المعادلات التربيعية: ax² + bx = c و ax² = bx + c و ax² + c = bx. السبب في وجود ثلاث حالات لديوفانتس، بينما اليوم لدينا حالة واحدة فقط، هو أنه لم يكن لديه أي مفهوم للصفر وتجنب المعاملات السالبة بالنظر في الأعداد المعطاة a و b و c لتكون جميعاً موجبة في كل من الحالات الثلاث أعلاه. كان ديوفانتس يرتضي دائماً بحل نسبي ولم يتطلب عدداً صحيحاً، مما يعني أنه قبل الكسور كحلول لمسائله. اعتبر ديوفانتس حلول الجذر التربيعي السالب أو غير النسبي "عديمة الفائدة" و"بلا معنى" وحتى "سخيفة". لإعطاء مثال محدد واحد، يسمي المعادلة 4 = 4x + 20 "سخيفة" لأنها ستؤدي إلى قيمة سالبة لـ x. كان يبحث عن حل واحد فقط في المعادلة التربيعية. لا توجد أدلة تشير إلى أن ديوفانتس أدرك حتى أنه يمكن أن يكون هناك حلان للمعادلة التربيعية. كما درس معادلات تربيعية متزامنة.
الرموز الرياضية
أحرز ديوفانتس تقدماً مهماً في الرموز الرياضية، حيث أصبح أول شخص معروف يستخدم الرموز والتدوين الجبري. قبله كان الجميع يكتبون المعادلات بالك
