أريه إيسيرليس: جعل الحواسيب تحترم الهندسة

الكوكب الذي يدور حول نجم يحافظ على طاقته بالضبط وإلى الأبد. قم بمحاكاة هذا المدار على حاسوب باستخدام طريقة عدديّة قياسية وستنحرف الطاقة - حيث يتلوّى الكوكب ببطء داخل الشمس أو يخرج إلى الظلام، ليس لأن الفيزياء تقول ذلك، بل لأن الحسابات تتسرب. ينتمي أريه إيسيرليس (Arieh Iserles) إلى مجموعة علماء الرياضيات الذين قرروا أن هذا أمر غير مقبول وشّرعوا في بناء خوارزميات تطيع القوانين التي ترمز إليها معادلاتهم.

من القدس إلى نهر كام

وُلد إيسيرليس في 2 سبتمبر 1947 ودراسة في الجامعة العبرية في القدس وجامعة بن غوريون في النقب. كان عمله للدكتوراه حول الطرق العددية للمعادلات التفاضلية العادية الصلبة - وهو موضوع يبدو ضيقاً ولكنه عكس ذلك تماماً.

الصلابة هي الحالة المرضية التي تظهر كلما احتوى النظام على عمليات تعمل على مقاييس زمنيّة مختلفة تماماً: تفاعل كيميائي تستغرق إحدى خطواته ميكروثانية وتستغرق خطوة أخرى ساعات. تُجبر الطرق العددية الساذجة على الزحف بوتيرة أسرع عملية حتى عندما لا يحدث أي شيء مثير للاهتمام هناك، وتصبح الحسابات باتظاظ باهظة التكلفة. كان حل الصلابة بشكل صحيح أحد المشاكل العملية المركزية للحوسبة العلمية في القرن العشرين، وهي أرض تدريب جيدة لشخص سيقضي حياته المهنية في عدم التوافق بين الرياضيات المستمرة والآلات المنفصلة.

كامبريدج، مع منعطف واحد

جاء إلى كامبريدج كزميل بحثي صغيراً في كلية كينغ في عام 1978، وأصبح زميلاً بحثياً أولاً هناك في عام 1982، وأمضى الفترة 1986–87 أستاذاً مشاركاً في جامعة أريزونا. ثم عاد وبقي هناك.

لقد كان محاضراً جامعياً في كامبريدج من 1987 إلى 1995، وقارئاً (أستاذ مشارك متقدم) في التحليل العددي من 1995 إلى 1999، ومنذ عام 1999 أصبح أستاذاً للتحليل العددي للرّياضيات التفاضلية في قسم الرياضيات التطبيقية والفيزياء النظرية - DAMTP، وهو القسم الذي عمل فيه ديراك وهاوكينغ. ومن عام 2010 إلى 2015 أدار مركز كامبريدج للتحليل.

التكامل الهندسي

الفكرة المركزية لحياة إيسيرليس البحثية هي أن المعادلة التفاضلية تحمل هيكلاً، ويجب على الطريقة العددية الجيدة أن تحافظ عليه.

بعض الأنظمة تحافظ على الطاقة. بعضها يحافظ على الحجم في الفضاء الطوري. يتطور البعض الآخر على مشعب منحني - جسم صلِب دوّار، على سبيل المثال، تعيش حالته على زمرة الدورانات ولا يمكنه مغادرتها أبداً بغض النظر عن المدة التي تنتظرها. الطرق العددية التقليدية لا تعرف شيئاً عن هذا. فهي تقارب الخطوة التالية وتقبل خطأً صغيراً، وعبر محاكاة طويلة تتراكم هذه الأخطاء الصغيرة لتصبح هراءً كيفياً: تتوقف مصفوفة الدوران عن كونها دوراناً، وتنجرف الطاقة، ويصبح المدار خاطئاً بطريقة لا يمكن لأي قدر من الدقة الإضافية إصلاحها.

يهاجم التكامل العددي الهندسي هذا من خلال تصميم طرق تحترم الثوابت بالضبط - تكاملات سمبليكتية لأنظمة هاملتون، وطرق محافظة على الحجم، ومخططات مبنية بحيث يبقى النظام الذي يعيش على زمرة لي (Lie group) عليها. تتركز مساهمات إيسيرليس الخاصة حول الآليات لهذا الغرض: تقريبات الأسّ المصفوفي، ولا سيما الطرق التي تعين جبر لي (Lie algebra) بشكل صحيح على زمرة لي الخاصة به، وتحليل التدفقات متساوية الطيف وتراكيب لي-بواسون (Lie–Poisson).

التذبذب، الحالة الصعبة الأخرى

مجاله الرئيسي الثاني هو الظواهر عالية التذبذب - وهي المشاكل التي يهتز فيها الحل بسرعة كبيرة.

هذا كابوس حقيقي للتحليل العددي القياسي، ولسبب غير بديهي. تعمل التربيعات العادية عن طريق أخذ العينات؛ إذا كانت الدالة تتذبذب بشكل أسرع من أخذ العينات، فلن تتعلم شيئاً، والاستجابة الكلاسيكية هي أخذ العينات بشكل أسرع، وهو ما يكلف أكثر كلما ساءت المشكلة. عمل إيسيرليس على طرق تقدير فعالة للتكاملات شديدة التذبذب - وهي مجموعة من التقنيات حيث، بشكل ملحوظ، يمكن تحويل التذبذب العالي من عقبة إلى ميزة، مع تحسن الدقة مع ارتفاع التردد بدلاً من الانهيار. لقد وسّع هذا النهج ليشمل المعادلات التفاضلية وطيف المؤثرات، وطور تكاملات آسية للمعادلات ذات المقاييس المتعددة المتفاعلة للتذبذب.

يشمل نطاق بحثه الكامل المعادلات التفاضلية العادية والجزءية، ونظرية التقريب، وكثيرات الحدود المتعامدة، والمعادلات الدالية، والديناميكيات الحسابية.

البوّاب

كان إيسيرليس مركزياً بشكل غير عادي لمؤسسات مجاله. وهو رئيس تحرير مجلة أكتا نيميريكا (Acta Numerica)، وهي مجلد المراجعة السنوي الذي يمثل أساساً موقف المجال، ورئيس تحرير مجلة IMA للتحليل العددي (IMA Journal of Numerical Analysis)، إلى جانب مناصب مجلس الإدارة في أماكن أخرى. ومن عام 1997 إلى 2000 ترأس جمعية أسس الرياضيات الحسابية.

وقد كتب دورة أولى في التحليل العددي للمعادلات التفاضلية (A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations)، التي نشرتها مطبعة جامعة كامبريدج وهي الآن في طبعتها الثانية - وبالنسبة لعدد كبير جداً من طلاب الدراسات العليا في جميع أنحاء العالم، فإن الكتاب هو الذي علمهم هذا الموضوع.

لماذا يُدعى أريه عبقرياً

الجودة الفكرية المعروضة هي نوع محدد من الانعكاس: أخذ الخاصية التي تجعل المشكلة صعبة مراراً وتكراراً وتحويلها إلى الخاصية التي تجعل الحل يعمل. وأوضح حالة هي التكامل عالي التذبذب، حيث يتعامل الإطار القياسي مع التذبذب السريع باعتباره عدواً يجب تجاوزه بأخذ عينات أكثر، وتصبح الطرق التي عمل عليها إيسيرليس أفضل مع زيادة التذبذب. يتضمن التكامل الهندسي نفس الخطوة على مستوى أعلى - التوقف عن معاملة المعادلة التفاضلية كصيغة يجب تقريبها والبدء في معاملتها ككائن هندسي هيكله هو الشيء الذي يجب الحفاظ عليه. إعادة صياغة من هذا النوع أندر وأصعب من البراعة التقنية، وهي تغير ما يعتقد مجتمع بأكمله أنه يفعله.

الاعتراف، الذي يتم وزنه بأمانة، كبير ولكنه ثقيل الخدمات. جاءت ميدالية أونسَّاغر (Onsager Medal) في عام 1999. تلتها ميدالية ديفيد كريتون (David Crighton Medal) في عام 2012، والتي مُنحت صراحة "لخدمات الرياضيات ومجتمع الرياضيات." جاءت جائزة SIAM للخدمة المتميزة للمهنة في عام 2014. اثنتان من هذه الثلاثة، وفقاً لاقتباساتها الخاصة، تتعلقان بالخدمة وليس الاكتشاف.

لذا فإن القضية المضادة حقيقية. لا توجد نظرية تحمل اسم إيسيرليس بالطريقة التي تحمل بها طريقة رونج-كوتا أو نيوتن. تم بناء التكامل الهندسي بواسطة مجتمع - هايرر، لوبيش، فانر، مارسدن، ماكلاشلان وغيرهم إلى جانبه - وهو مساهم مهم واحد، وليس مؤلفه الوحيد. قد يكون تأثيره الأكبر القابل للقياس تحريرياً وتربوياً: إدارة أكتا نيميريكا، وإدارة مجلة IMA، وكتابة الدورة الأولى القياسية. لا يوجد مصدر يمكن الوصول إليه يسجل أن أي شخص يدعوه عبقرياً. إنه رياضياتي تطبيقي بارز وباني مؤسسات استثنائي، والنصف الثاني من هذه الجملة يقوم بعمل أكبر مما يعترف به المعجبون عادة.

الإرث

يبقي إيسيرليس في قسم الرياضيات التطبيقية والفيزياء النظرية (DAMTP)، في القسم الذي عمل فيه منذ عام 1987.

البرنامج الذي ساعد في دفعه فاز بهدوء. أصبحت التكاملات السمبليكتية والمحافظة على الهيكل الآن قياسية في الديناميكيات الجزيئية، والميكانيكا السماوية، وفيزياء البلازما، وتصميم المعجلات - في أي مكان يجب أن تعمل فيه المحاكاة لفترة طويلة جداً وتظل موثوقة في النهاية. الرؤية الكامنة وراء ذلك فلسفية بقدر ما هي تقنية: الطريقة العددية ليست أداة محايدة تقارب معادلة. إنها نظام ديناميكي صغير في حد ذاته، وإذا قمت بننائه بلا إكتراث، فسيروي لك قصة عن عالم غير موجود.